2017-2018学年山西省实验中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）含详细解答

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1、2017-2018学年山西省实验中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题12小题，每小题4分，共48分）1（4分）已知f（x）x2+10，则f（x）在x处的瞬时变化率是（）A3B3C2D22（4分）曲线y在点（1，1）处的切线方程为（）Axy20Bx+y20Cx+4y50Dx4y503（4分）设P为曲线C：yx2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）AB1，0C0，1D，14（4分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且，则f（1）（）A1BCD15（4分）若关于x的方程x33x+3a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）

2、A（1，5）B（，1）C（0，5）D（5，+）6（4分）已知直线yx+1与曲线yln（x+a）相切，则a的值为（）A1B2C1D27（4分）若直线l：（t为参数）与曲线C：（为参数）相切，则实数m为（）A4或6B6或4C1或9D9或18（4分）在极坐标系中，直线（cossin）2与圆4sin的交点的极坐标为（）A（2，）B（2，）C（4，）D（4，）9（4分）若函数f（x）x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A（，）B（，+）C，+）D2，+）10（4分）直线（t为参数）和圆x2+y216交于A、B两点，则AB中点对应的t为（）A5B4C4D511（4分）已知函数f（

3、x）在x0上可导且满足xf（x）f（x）0，则下列一定成立的为（）ABf（）f（e）CDf（）f（e）12（4分）已知函数f（x）lnx+ax22x有两个极值点，则a的取值范围是（）A（，1）B（0，2）C（0，1）D（0，3）二、填空题（本题4小题，每小题4分，共16分）13（4分）函数的最大值为 14（4分）若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为 15（4分）曲线C：x2+y21，经过伸缩变换，得到曲线C，直线l：（t为参数），直线l与曲线C交于A、B两点，已知点P（2，1），则|PA|+|PB| 16（4分）已知函数f（x）+4x3lnx在t，t+1上不单调，则t的取

4、值范围是 三、解答题（本题4小题，共36分）17（9分）（1）已知函数，求f（x）（2）已知函数f（x）ex（cosx+sinx），求f（x）18（9分）已知函数f（x）ax3+x2在处取得极值（1）求a；（2）若g（x）f（x）ex，求函数g（x）的单调递减区间19（9分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标20（9分）已知函数f（x）ln（1+x）x+（k0）（）当k

5、2时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）的单调区间2017-2018学年山西省实验中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题12小题，每小题4分，共48分）1（4分）已知f（x）x2+10，则f（x）在x处的瞬时变化率是（）A3B3C2D2【分析】根据导数的物理意义求函数的导数即可【解答】解：f（x）x2+10，f（x）2x，即当x时，f（）3，即在点x处的瞬时变化率是3，故选：B【点评】本题主要考查导数的物理意义的应用，求函数的导数解决本题的关键比较基础2（4分）曲线y在点（1，1）处的切线方程为（）Axy20Bx+y20Cx+4y

6、50Dx4y50【分析】求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：y的导数为y， 可得在点（1，1）处的切线斜率为1，则所求切线的方程为y1（x1），即为x+y20故选：B【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题3（4分）设P为曲线C：yx2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）AB1，0C0，1D，1【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围【解答】解：设点P的横坐标为x0，yx2+2x+3，y

7、2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2tan（为点P处切线的倾斜角），又，02x0+21，故选：A【点评】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题4（4分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且，则f（1）（）A1BCD1【分析】求函数的导数，直接代入即可得到结论【解答】解：f（x）f（1）+1，f（1）f（1）+1，即f（1），故选：C【点评】本题主要考查导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键，比较基础5（4分）若关于x的方程x33x+3a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A（1，5）B（，1）C（0，5）D（5，+）【分析】首先设f（x）x33x求出函数的导数

8、，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，再分析可知yf（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程有三个不同的实根，求得实数a的范围【解答】解：原方程化为：x33xa3，设f（x）x33x，f（x）3x233（x+1）（x1），当x（，1），f（x）0；x（1，1），f（x）0；x（1，+），f（x）0f（x）在x1取极大值2，在x1时取极小值2根据f（x）的大致图象的变化情况，有三个不同的实数解时，2a32解得a的取值范围是1a5故选：A【点评】考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类

9、讨论属中档题6（4分）已知直线yx+1与曲线yln（x+a）相切，则a的值为（）A1B2C1D2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0x0+1，y0ln（x0+a），又x0+a1y00，x01a2故选：B【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线7（4分）若直线l：（t为参数）与曲线C：（为参数）相切，则实数m为（）A4或6B6或4C1或9D9或1【分析】把参数方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得m的值【解答】解：直线l：（t为参数）即 2x+y10曲线C：（为参数）

10、即 x2+（ym）25，表示以（0，m）为圆心，半径等于的圆再根据圆心到直线的距离等于半径，可得 ，求得 m4或6，故选：A【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题8（4分）在极坐标系中，直线（cossin）2与圆4sin的交点的极坐标为（）A（2，）B（2，）C（4，）D（4，）【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得它们的交点的直角坐标，再化为极坐标【解答】解：直线（cossin）2即 xy20，圆4sin 即 x2+（y2）24，表示以（0，2）为圆心、半径等于2的圆由 ，求得，故直线

11、和圆的交点坐标为（，1），故它的极坐标为（2，），故选：A【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题9（4分）若函数f（x）x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A（，）B（，+）C，+）D2，+）【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为ax+在（，3）恒成立，令g（x）x+，x（，3），根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：函数f（x）x2+x+1，f（x）x2ax+1，若函数f（x）在区间（，3）上递减，故x2ax+10在（，3）恒成立，即ax+在（，3）恒成立，令g（x）x+，x（，3）

12、，g（x），令g（x）0，解得：x1，令g（x）0，解得：x1，g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增，而g（），g（3），故a故选：C【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，是中档题10（4分）直线（t为参数）和圆x2+y216交于A、B两点，则AB中点对应的t为（）A5B4C4D5【分析】把直线的参数方程化为普通方程，代入圆的方程化简，利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x26，故AB的中点的横坐标为3，代入，求解即可得答案【解答】解：直线（t为参数） 即yx4，代入圆x2+y216化简可得x26x+80，设直线与圆的两个交点横坐标分别为x1，x2，x1+

13、x26，即AB的中点的横坐标为3，代入，解得t4故选：C【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题11（4分）已知函数f（x）在x0上可导且满足xf（x）f（x）0，则下列一定成立的为（）ABf（）f（e）CDf（）f（e）【分析】构造g（x）（x0），求导数g（x），利用利用导数判定g（x）的单调性，可以得出结论【解答】解：令g（x）（x0），则 g（x），由已知xf（x）f（x）0恒成立得，当x0时，g（x）0故函数g（x）在（0，+）上是增函数，又e0，故g（）g（e），即，故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调

14、性以及构造函数来解题的方法，是易错题12（4分）已知函数f（x）lnx+ax22x有两个极值点，则a的取值范围是（）A（，1）B（0，2）C（0，1）D（0，3）【分析】求出函数的导数，根据函数的极值的应用以及二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：f（x）+ax2，（x0），若函数f（x）lnx+ax22x有两个极值点，则方程ax22x+10有2个不相等的正实数根，解得：0a1，故选：C【点评】本题考查了函数的极值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题二、填空题（本题4小题，每小题4分，共16分）13（4分）函数的最大值为+【分析】求出f（x）的导数，令导数为0，可得极值点，

15、求出单调区间，可得极大值，且为最大值【解答】解：函数的导数为f（x）12sinx，由12sinx0，解得x0，当x0，时，f（x）0，f（x）递增；当x，时，f（x）0，f（x）递减可得f（x）在x处取得极大值，且为最大值+故答案为：+【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题14（4分）若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为【分析】设直线l倾斜角为直线l的参数方程为（t为参数）化为，可得tan，利用三角函数的定义即可得出【解答】解：设直线l倾斜角为直线l的参数方程为（t为参数）化为，则tan，（0，），故答案为：【点评】本题考查了直线的参

16、数方程化为普通方程、直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数的定义，属于基础题15（4分）曲线C：x2+y21，经过伸缩变换，得到曲线C，直线l：（t为参数），直线l与曲线C交于A、B两点，已知点P（2，1），则|PA|+|PB|【分析】把代入曲线C得到曲线C的方程为（x1）2+（y+1）2，直线l：（t为参数）代入曲线C，得0，由此能求出|PA|+|PB|【解答】解：曲线C：x2+y21，经过伸缩变换，得到曲线C，把代入曲线C：x2+y21，得：1，曲线C的方程为（x1）2+（y+1）2，直线l：（t为参数）代入曲线C，得：（）2+（+2）2，整理得：0，t1t2，|PA|+|PB|2+1故答案为

17、：2+1【点评】本题考查两线段和的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16（4分）已知函数f（x）+4x3lnx在t，t+1上不单调，则t的取值范围是0t1或2t3【分析】先由函数求f（x）x+4，再由“函数在t，t+1上不单调”转化为“f（x）x+40在区间t，t+1上有解”从而有在t，t+1上有解，进而转化为：g（x）x24x+30在t，t+1上有解，用二次函数的性质研究【解答】解：函数f（x）x+4函数在t，t+1上不单调，f（x）x+40在t，t+1上有解在t，t+1上有解g（x）x24x+30在t，t+1上有解g（t）g（t+1）0或0t1或2

18、t3故答案为：0t1或2t3【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题注意判别式的应用三、解答题（本题4小题，共36分）17（9分）（1）已知函数，求f（x）（2）已知函数f（x）ex（cosx+sinx），求f（x）【分析】分别根据导数的运算法则求导即可【解答】解：（1）f（x）+ln（x2）+，（2）f（x）ex（cosx+sinx）+ex（sinx+cosx）2exsinx【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题18（9分）已知函数f（x）ax3+x2在处取得极值

19、（1）求a；（2）若g（x）f（x）ex，求函数g（x）的单调递减区间【分析】（1）通过函数的导数，函数的极值点，导函数为0，求解a的值即可（2）求出导函数，结合函数的图象，求解函数的单调减区间即可【解答】解：（1）由题可知f（x）3ax2+2x，函数f（x）在处取得极值，解得（2），令h（x）x（x+1）（x+4），对应的大致图象如图，g（x）在（，4）和（1，0）上单调递减【点评】本题考查函数的极值与单调性的应用，考查转化思想以及计算能力19（9分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）

20、2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用xcos，ysin，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y40的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y40平行的直线方程为x+y+t0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标另外：设P（cos，sin），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标【解

21、答】解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），移项后两边平方可得+y2cos2+sin21，即有椭圆C1：+y21；曲线C2的极坐标方程为sin（+）2，即有（sin+cos）2，由xcos，ysin，可得x+y40，即有C2的直角坐标方程为直线x+y40；（2）由题意可得当直线x+y40的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y40平行的直线方程为x+y+t0，联立可得4x2+6tx+3t230，由直线与椭圆相切，可得36t216（3t23）0，解得t2，显然t2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|，此时4x212x+90，解得x，即为P（，）另解：设P（cos，sin），由P到直

22、线的距离为d，当sin（+）1时，|PQ|的最小值为，此时可取，即有P（，）【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题20（9分）已知函数f（x）ln（1+x）x+（k0）（）当k2时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）的单调区间【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f（x），讨论k0，0k1，k1，k1四种情形，在函数的定义域内解不等式f

23、（x）0和f（x）0即可【解答】解：（I）当K2时，f（x）ln（1+x）x+x2，f（x）1+2x，由于f（1）ln（2），f（1），所以曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：yln2（x1）即3x2y+2ln230；（II）f（x）1+kx（x1）当k0时，f（x），因此在区间（1，0）上，f（x）0；在区间（0，+）上，f（x）0；所以f（x）的单调递增区间为（1，0），单调递减区间为（0，+）；当0k1时，f（x）0，得x10，x20；因此，在区间（1，0）和（，+）上，f（x）0；在区间（0，）上，f（x）0；即函数f（x）的单调递增区间为（1，0）和（，+），单调递减区间为（0，）；当k1时，f（x），f（x）的递增区间为（1，+）当k1时，由f（x）0，得x10，x2（1，0）；因此，在区间（1， ）和（0，+）上，f（x）0，在区间（，0）上，f（x）0；即函数f（x）的单调递增区间为（1，）和（0，+），单调递减区间为（，0）【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想