2017-2018学年山西省长治二中高二（下）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2017-2018学年山西省长治二中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知集合Ax|x2160，B5，0，则（）AABBBACAB0DAB2（5分）iz1i（i为虚数单位），则z（）A1+iB1iC1+iD1i3（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x2+1，则f（1）等于（）A1B1C2D24（5分）下列命题中，真命题是（）Ax若，yR 且x+y2 则x，y至少有一个大于1BxR，2xx2Ca+b0的充要条件是 1Dx0R，05（5分）因为对数函数ylogax（a0，

2、且a1）是增函数，而yx是对数函数，所以yx是增函数，上面的推理错误的是（）A大前提B小前提C推理形式D以上都是6（5分）已知向量（x21，2+x），（x，1），若，则x（）A1BCD7（5分）若二项式（x2）n 的展开式中的二项式系数和为64，则展开式中的常数项为（）A240B160C160D2408（5分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，形成三棱锥CABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）ABCD9（5分）某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方

3、案数为（）A4320B2400C2160D132010（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率e2，圆A的圆心是抛物线y的焦点，且截双曲线C的渐近线所得的弦长为2，则圆A的方程为（）Ax2+（y）2Bx2+（y+）2Cx2+（y2）22Dx2+（y2）2411（5分）设随机变量B（2，p），B（4，p），若，则P（2）的值为（）ABCD12（5分）已知函数f（x）ex2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A（）B（C（）D（二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（理）（1+cosx）dx 14（5分）下表提供了某学生做题数

4、量x（道）与做题时间y（分钟）的几组对应数据：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为0.7x+0.35，则表中t的值为 15（5分）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（110，102），已知P（100X110）0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人16（5分）若函数f（x）sin2x+mcos2x的图象关于直线x对称，则实数m 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin2AcosA0（1）求角A的大小；（2）若b，sinB

5、sinC，求a18（12分）某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排粪型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如xIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不舍右端点）（1）估计

6、1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；（2）从乙组准确回忆结束在|12，24）范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量x求X分布列及数学期望；（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由19（12分）如图，平面PAC平面ABC，ACBC，PAC为等边三角形，PEBC，过BC作平面交AP，AE分别于点N，M，设（1）求证：MN平面ABC；（2）求的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为4520（12分）设F1，F2分别为椭圆E：1（ab0）的左、右焦点，点

7、A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|2（）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y20上21（12分）已知函数f（x）lnxmx2，g（x）mx2+x（mR），令F（x）f（x）+g（x）（1）当m时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值请考生从第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是2cos（

8、）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设直线l与y轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|x+1|2x4|（1）解不等式f（x）1；（2）求函数yf（x）的最大值2017-2018学年山西省长治二中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知集合Ax|x2160，B5，0，则（）AABBBACAB0DAB【分析】求出集合A，B，从而得到AB0【解答】解：集合Ax|x2160x|4x4，B5，0，AB0故选：C【点评】本题

9、考查交集的求法，考查交集定义等基础知识考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）iz1i（i为虚数单位），则z（）A1+iB1iC1+iD1i【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化简到最简形式即可【解答】解：iz1i（i为虚数单位），z1i，故选：D【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义和求法3（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x2+1，则f（1）等于（）A1B1C2D2【分析】法一：由函数在x0时的解析式结合函数是奇函数求得函数在x0时的解析式，然后求得f（1）的值；法二：直接由

10、奇函数的性质由f（1）f（1）求值【解答】解：法一、当x0时，f（x）x2+1，设x0，则x0，f（x）（x）2+1x2+1又f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）x2+1，f（x）x21f（1）（1）212故选：D法二、函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）x2+1，f（1）f（1）（12+1）2故选：D【点评】本题考查了奇函数的性质，考查了函数解析式的求法，是基础题4（5分）下列命题中，真命题是（）Ax若，yR 且x+y2 则x，y至少有一个大于1BxR，2xx2Ca+b0的充要条件是 1Dx0R，0【分析】根据命题的真假进行判断【解答】解：当x2时，2xx2，故B错误当a

11、b0时，满足a+b0，但 1不成立，故a+b0的充要条件是 1错误，xR，ex0，故x0R，0错误，故正确的命题是A，故选：A【点评】本题主要考查含有量词的命题的真假判断，比较基础5（5分）因为对数函数ylogax（a0，且a1）是增函数，而yx是对数函数，所以yx是增函数，上面的推理错误的是（）A大前提B小前提C推理形式D以上都是【分析】对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a1时，函数是一个增函数，当0a1时，对数函数是一个减函数，对数函数ylogax（a0且a1）是增函数这个大前提是错误的【解答】解：当a1时，函数ylogax（a0且a1）是一个增函数，当0a1时，此函

12、数是一个减函数ylogax（a0且a1）是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错故选：A【点评】本题考查演绎推理的基本方法，考查对数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的6（5分）已知向量（x21，2+x），（x，1），若，则x（）A1BCD【分析】直接由向量共线的坐标运算列式求解【解答】解：（x21，2+x），（x，1），且，x21x（2+x）0，即12x0，得x故选：D【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础的计算题7（5分）若二项式（x2）n 的展开式中的二项式系数和为64，则展开式中的常数项为（）A240B160C160D240【分析】由

13、二项式定理得到二项展开式的二项式系数和为2n，由此得到n，然后求通项，化简得到常数项【解答】解：由已知得到2n64，所以n6，所以展开式的通项为，令123r0，得到r4，所以展开式的常数项为240；故选：D【点评】本题考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法；展开式在二项式系数的和为2n；求特征项要首先求出通项，化简后取字母的指数值得到所求8（5分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，形成三棱锥CABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）ABCD【分析】根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可【解答】解：C在平面ABD上的射影为BD的中点

14、O，在边长为1的正方形ABCD中，AOCOAC；所以：左视图的面积等于SAOCCOAO故选：C【点评】本题考查空间几何体的三视图的画法，三棱锥的三视图的画法，有难度，注意左视图的形状，及其数据，是解题的关键9（5分）某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（）A4320B2400C2160D1320【分析】依题意，分（1，1，1，3）；（1，1，2，2）两组，先分组，后排列，最后求和即可【解答】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有388，第二组（1，1，2，2

15、），利用间接法，有（）932根据分类计数原理，可得388+9321320种，故选：D【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题10（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率e2，圆A的圆心是抛物线y的焦点，且截双曲线C的渐近线所得的弦长为2，则圆A的方程为（）Ax2+（y）2Bx2+（y+）2Cx2+（y2）22Dx2+（y2）24【分析】运用离心率公式和基本量a，b，c的关系可得a，b的关系，即可得到双曲线的渐近线方程，求得抛物线的焦点，可得A的坐标，求得A到渐近线的距离，结合弦长公式，可得半径r，进而得到所求圆A的方程【解答】解

16、：由e2，即c2a，ba，可得双曲线的渐近线方程为yx，即为yx，圆A的圆心是抛物线y的焦点，可得A（0，2），圆A截双曲线C的渐近线所得的弦长为2，由圆心到直线yx的距离为d1，可得22，（r为圆A的半径），解得r，可得圆A的方程为x2+（y2）22故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的求法，考查圆的方程的求法，注意运用点到直线的距离公式和弦长公式，考查运算能力，属于中档题11（5分）设随机变量B（2，p），B（4，p），若，则P（2）的值为（）ABCD【分析】根据随机变量B（2，p），写出概率的表示式，求出其中P的值，把求得的P的值代入B（4，p），求出概率

17、【解答】解：随机变量B（2，p），1p0（1p）2，P，B（4，），P（2）+，故选：B【点评】本题考查二项分布及独立重复试验的模型，本题解题的关键是首先根据条件求出题目中要用的P的值，在根据二项分布的概率公式 得到结果12（5分）已知函数f（x）ex2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A（）B（C（）D（【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为ex2m3有解，即可得到结论【解答】解：函数的f（x）的导数f（x）ex2m，若曲线C存在与直线yx垂直的切线，则切线斜率kex2m，满足（ex2m）1，即ex2m3有解，即2

18、mex+3有解，ex+33，m，故选：A【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（理）（1+cosx）dx【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可【解答】解：（x+sinx）+1（1）+2，故答案为+2【点评】此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数14（5分）下表提供了某学生做题数量x（道）与做题时间y（分钟）的几组对应数据：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方

19、程为0.7x+0.35，则表中t的值为3【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得t的值【解答】解：由题意，4.5，y对x的回归直线方程是0.7x+0.35，3.15+0.35，t3故答案为：3【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题15（5分）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（110，102），已知P（100X110）0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有8人【分析】根据考试的成绩服从正态分布N（110，102）得到考试的成绩关于110对称，根据P（100110）0.34，得到P（120）0.16，根据频率乘

20、以样本容量得到这个分数段上的人数【解答】解：考试的成绩服从正态分布N（110，102）考试的成绩关于110对称，P（100110）0.34，P（120）P（100）（10.342）0.16，该班数学成绩在120分以上的人数为0.16508故答案为：8【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解16（5分）若函数f（x）sin2x+mcos2x的图象关于直线x对称，则实数m1【分析】先将函数ysin2x+mcos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得答案【解答】解：由题意知ys

21、in2x+mcos2xsin（2x+）当x时函数ysin2x+mcos2x取到最值将x代入可得：sin（2）+mcos（2）即m1故答案为：1【点评】本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题属基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin2AcosA0（1）求角A的大小；（2）若b，sinBsinC，求a【分析】（1）已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出sinA的值，即可确定出A的度数；（2）已知等式利用正弦定理化简，把b的值代入求出c的值，利用余弦定理列出关系，将b

22、，c，cosA的值代入即可求出a的值【解答】解：（1）由sin2AcosA0，得2sinAcosAcosA0，即cosA（2sinA1）0得cosA0或sinA，ABC为锐角三角形，sinA，则A；（2）把sinBsinC，由正弦定理得bc，b，c1，由余弦定理得：a2b2+c22bccosA3+1211，解得：a1【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键18（12分）某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，

23、该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排粪型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如xIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不舍右端点）（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；（2）从乙组准确回忆结束在|12，24）范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量x求X分布列及数学

24、期望；（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由【分析】（1）利用频率分布直方图能求出1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节保持率大于等于60%的人数为180人（）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX（）分别求出甲组学生的平均保持率和乙组学生平均保持率，由此得到临睡前背单调记忆效果更好【解答】解：（1）10005%50，由甲图知，甲组有4+10+8+4+2+1+130（人），乙组有20人，又406024，识记停止8小时后，40个音节的保持率大于等于60%的在甲组有1人，乙组有（0.

25、0625+0.0375）4208（人），（1+8）5%180，即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节保持率大于等于60%的人数为180人（）由乙图知，乙组在12，24）之间有（0.025+0.025+0.075）42010（人），在20，24）有0.0754206（人），X的可能取值为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），X的分布列为：X0123PEX（）甲组学生准确回忆音节共有：24+610+108+144+1821+221+261288个，甲组学生的平均保持率为：乙组学生准确回忆音节数共有：（60.0125+100.0125+140.025+18

26、0.025+220.075+260.0625+300.0375）420432个，乙组学生平均保持率为0.24，临睡前背单调记忆效果更好【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题是中档题19（12分）如图，平面PAC平面ABC，ACBC，PAC为等边三角形，PEBC，过BC作平面交AP，AE分别于点N，M，设（1）求证：MN平面ABC；（2）求的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45【分析】（1）以点C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA1，CBt（t0），求出相关点的坐标，证明MN平面ABC（2）求出平面CMN

27、法向量，平面ABC的一个法向量，利用为平面ABC与平面CMN所成锐二面角的度数），求解即可【解答】解：（1）证明：如图，以点C为 原点，建立空间直角坐标系，Cxyz，不妨设CA1，CBt（t0），则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，t，0），P（，0，），E（，t，）由 ，得，则易知是平面ABC的一个法向量，且，故，又因为MN平面ABC，MN平面ABC（2），设平面CMN法向量为，则，故可取，又是平面ABC的一个法向量，由为平面ABC与平面CMN所成锐二面角的度数），以及45得，22+440解得或（舍去），故【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面镜的求法，考查空

28、间想象能力以及计算能力20（12分）设F1，F2分别为椭圆E：1（ab0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|2（）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y20上【分析】（）通过题意可得A（a，0）、B（0，b），利用|AB|2、，计算即可；（）设P（x0，y0），由题意知x0c，利用1、+1，x0、y00，计算即可【解答】（）解：点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，A（a，0），B（0，b），又|AB|2，a2+b24，e，a，b1，椭圆E

29、的方程为：+y21；（）证明：由题意知a2+b24，从而椭圆E的方程为：+1，则F1（c，0），F2（c，0），c，设P（x0，y0），由题意知x0c，则直线F1P的斜率，直线F2P的斜率，直线F2P的方程为：y（xc），当x0时，yc，即点Q（0，c），直线F1Q的斜率，以PQ为直径的圆经过点F1，PF1F1Q，1，化简得：（2a24），又P为椭圆E上一点，且在第一象限内，+1，x0、y00，由，解得x0，y02a2，x0+y02，即点P在直线x+y20上【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与圆的位置关系、斜率等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题21（12分）

30、已知函数f（x）lnxmx2，g（x）mx2+x（mR），令F（x）f（x）+g（x）（1）当m时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）关于x的不等式F（x）mx1恒成立，即为lnxmx2+（1m）x+10恒成立，令h（x）lnxmx2+（1m）x+1，求得导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m的最小值【解答】解：（1）当m时，f（x）lnxx2，（x0），由f（x）x0，得x1，又x0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）（2）关

31、于x的不等式F（x）mx1恒成立，即为lnxmx2+（1m）x+10恒成立，令h（x）lnxmx2+（1m）x+1，h（x）mx+1m，当m0可得h（x）0恒成立，h（x）递增，无最大值，不成立；当m0时，h（x），当x，h（x）0，h（x）递减，当0x，h（x）0，h（x）递增，则有x取得极大值，且为最大值由恒成立思想可得ln+0，即为2mlnm1，显然m1不成立，m2时，4ln21即有24e成立整数m的最小值为2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法属于中档题请考生从第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选

32、修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是2cos（）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设直线l与y轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值【分析】（I）曲线C的极坐标方程是2cos，即22cos，利用互化公式可得直角坐标方程（II）直线l的参数方程是（t为参数），令t0，可得x0，y3，可得M（0，3）利用两点之间的距离公式即可得出【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程是2cos，即22cos，可得直角坐标方程：x2+y22x，配方为：（x+1）2+y21，可得圆心C（1，0），半径r1（II）直线l的参数方程是（t为参

33、数），令t0，可得y3，可得M（0，3）|CM|，|MN|的最大值为+1【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|x+1|2x4|（1）解不等式f（x）1；（2）求函数yf（x）的最大值【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的分段函数的形式，求出函数的最大值即可【解答】解：（1）当x1时，（x+1）（42x）1，x6，x；当1x2时，（x+1）（42x）1，解得：x，x2；当x2时，（x+1）（2x4）1，x4，2x4；综上，不等式f（x）1的解集为x|x4；（5分）（2）f（x），f（x）的最大值是f（2）3（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，求函数最值问题，是一道基础题