2017-2018学年山西省太原市高二（下）期中数学试卷（理科）含详细解答

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1、2017-2018学年山西省太原市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复平面内，点（0，1）表示的复数为（）A1B0CiDi2（5分）已知函数f（x）sinxx，则f（0）（）A0B1C1D23（5分）下列结论正确的是（）A归纳推理是由一般到个别的推理B演绎推理是由特殊到一般的推理C类比推理是由特殊到特殊的推理D合情推理是演绎推理4（5分）已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是2+i，1i，2+2i，则点D对应的复数为（）A4iB32iC5D1+4i5（5分

2、）已知推理：“因为所有的金属都能够导电，而铜能导电，所以铜是金属”则下列结论正确的是（）A此推理大前提错误B此推理小前提错误C此推理的推理形式错误D此推理无错误6（5分）用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于60”时的假设为（）A三个内角中至多有一个不大于60B三个内角中至少有两个不大于60C三个内角都不大于60D三个内角都大于607（5分）复平面内，若与复数（m25m+4）+（m22m）i对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A（1，2）B（0，1）C（，2）（4，+）D（2，4）8（5分）观察下列各式：7249，73343，742401，则72018的末两位数字为（）A01

3、B43C07D499（5分）函数的单调递减区间是（）A（，1）B（，0）和（0，1）C（，0）D（0，1）10（5分）已知函数f（x）x3+ax23x+b在x1处的切线平行于x轴，则f（x）的极大值与极小值的差为（）A2B2C4D411（5分）在直角坐标平面内，由曲线xy1，yx，x3和x轴所围成的封闭图形的面积为（）AB4ln3C1+ln3D2ln312（5分）已知函数f（x）（2a1）xcos2xa（sinx+cosx）在0，上单调递增，则实数a的取值范围为（）A（，B，1C0，+）D1，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知复数z满足（2i）z5，则复

4、数z的共轭复数为 14（5分）若，则实数m 15（5分）“扫雷”游戏，要求游戏者找出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数字是0，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷图乙是小明玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，在ABCDEFG这七个方块中，有雷的方块为 16（5分）设函数f（x），观察下列各式：f1（x）f（x），f2（x）f（f1（x），f3（x）f（f2（x），f4（x）f（f3（x），fn（x）f（fn1（x），根据以上规律，若，则整数n的最大值为 三、解答

5、题（本大题共3小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知复数z1a+i，z21+bi，a，b是实数，i为虚数单位（1）若z1+z2i，求复数z1，z2；（2）若z1z2i，求复数z1，z218已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）当x1，2时，求f（x）的值域19已知点A1，A2是椭圆的左右顶点，P（x，y）是椭圆C上异与A1，A2的点，则直线PA1与PA2的斜率满足（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线的相应结论，并证明；（2）请利用（1）的结论解决以下问题：已知点A1，A2是双曲线的左右顶点，P（x，y）是该双曲线上异与A1，A2的点，若直线PA1的斜率为，求直线

6、PA2的方程说明：请考生在20，21两个小题中任选一题作答.20已知数列an满足，（1）计算a2，a3，a4，根据计算结果，猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论21已知数列an的前n项和为Sn，且满足，（1）计算a2，a3，a4，根据计算结果，猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论说明：请考生在22，23两个小题中任选一题作答.22已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a0时，证明：f（x）在R上至多有一个零点23已知函数f（x）（x1）exax2（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围2017-2018学年山西省太原市

7、高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复平面内，点（0，1）表示的复数为（）A1B0CiDi【分析】直接由复数在复平面内对于点的坐标得答案【解答】解：在复平面内，点（0，1）表示的复数的实部为0，虚部为1，则点（0，1）表示的复数为纯虚数i故选：D【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）已知函数f（x）sinxx，则f（0）（）A0B1C1D2【分析】先求导，再代值计算即可【解答】解：f（x）cosx1，f（0）cos01110，故选：A【点评】

8、本题考查了导数的运算，属于基础题3（5分）下列结论正确的是（）A归纳推理是由一般到个别的推理B演绎推理是由特殊到一般的推理C类比推理是由特殊到特殊的推理D合情推理是演绎推理【分析】本题考查的知识点是归纳推理、演绎推理、类比推理、合情推理的定义，根据定义对四个命题逐一判断即可得到答案【解答】解：在A中，归纳推理由特殊到一般的推理过程，故A错误；在B中，演泽推理是一般到特殊的推理过程，故B错误在C中，类比推理是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，故C正确；在D中，合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确有待证明；演绎推理

9、得到的结论一定正确，故D错误故选：C【点评】判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程4（5分）已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是2+i，1i，2+2i，则点D对应的复数为（）A4iB32iC5D1+4i【分析】设D的坐标（x，y），由，可得（x+2，y1）（1，3），求出x，y的值，即可得到点D对应的复数【解

10、答】解：复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（2，1），（1，1），（2，2），设D的坐标（x，y），由，（x+2，y1）（1，3），x+21，y13，解得x1，y4故D（1，4），则点D对应的复数为：1+4i故选：D【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量相等的条件，是基础题5（5分）已知推理：“因为所有的金属都能够导电，而铜能导电，所以铜是金属”则下列结论正确的是（）A此推理大前提错误B此推理小前提错误C此推理的推理形式错误D此推理无错误【分析】因为所有的金属都能够导电，而铜是金属，所以铜能导电，才符合三段论，故可判断【解答】解：因为所有的金属都能够导电，而铜是金属，所以铜能

11、导电，才符合三段论，故因为所有的金属都能够导电，而铜能导电，所以铜是金属”此推理的推理形式错误，故选：C【点评】本题考查了演绎推理，掌握三段论，属于基础题6（5分）用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于60”时的假设为（）A三个内角中至多有一个不大于60B三个内角中至少有两个不大于60C三个内角都不大于60D三个内角都大于60【分析】根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60”的否定是：三角形的三个内角都大于60，由此得到答案【解答】解：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60”的否定是

12、：三角形的三个内角都大于60，故选：D【点评】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题7（5分）复平面内，若与复数（m25m+4）+（m22m）i对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A（1，2）B（0，1）C（，2）（4，+）D（2，4）【分析】由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解【解答】解：由题意可得，解得0m1实数m的取值范围是（0，1）故选：B【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题8（5分）观察下列各式：7249，73343，742401，则72018的末两位

13、数字为（）A01B43C07D49【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可【解答】解：71，72，73，74，75，的末两位数字分别为07，49，43，01，07，周期性出现（周期为4），而20184504+2，所以72018的末两位数字必定和72的末两位数字相同故选：D【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键9（5分）函数的单调递减区间是（）A（，1）B（，0）和（0，1）C（，0）D（0，1）【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0求得x的范围得答案【解答】解：由，得f（x）（x0），由f（x）0，得，即x1且x0函数的单调

14、递减区间是（，0）和（0，1）故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的运算法则，是中档题10（5分）已知函数f（x）x3+ax23x+b在x1处的切线平行于x轴，则f（x）的极大值与极小值的差为（）A2B2C4D4【分析】先对函数进行求导，由题意可得f（1）0，代入可求出a的值，进而可以求出函数的单调区间，函数的极大值为f（1）2+b，极小值为f（1）2+b，即可得出函数的极大值与极小值的差【解答】解：对函数求导可得f（x）3x2+2ax3，又因为图象在x1处的切线在x1处的切线平行于x轴，所以f（1）32a30，解得联立可得a1，b0，所以f（x）3x233（x21），当

15、f（x）0时，x1或x1；当f（x）0时，1x1，所以函数的单调增区间是 （，1）和（1，+），函数的单调减区间是（1，1），因此求出函数的极大值为f（1）2+b，极小值为f（1）2+b，故函数的极大值与极小值的差为2+b（2+b）4，故选：C【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题11（5分）在直角坐标平面内，由曲线xy1，yx，x3和x轴所围成的封闭图形的面积为（）AB4ln3C1+ln3D2ln3【分析】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论【解答】解：由曲线xy1，直线y

16、x，解得x1由xy1，x3可得交点坐标为（3，）由曲线xy1，直线yx，x3所围成封闭的平面图形的面积是S（x）dx（x2lnx）4ln3故选：B【点评】本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题12（5分）已知函数f（x）（2a1）xcos2xa（sinx+cosx）在0，上单调递增，则实数a的取值范围为（）A（，B，1C0，+）D1，+）【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为a在0，恒成立，令g（x），x0，根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：f（x）（2a1）xcos2xa（sinx+cosx），f（x）2

17、a1+sin2xa（cosxsinx），若f（x）在0，递增，则f（x）0在0，恒成立，即a在0，恒成立，令g（x），x0，则g（x），令g（x）0，即sinxcosx，解得：x，令g（x）0，即sinxcosx，解得：x，故g（x）在0，）递减，在（，递增，故g（x）maxg（0）或g（），而g（0）1，g（），故a1，故选：D【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知复数z满足（2i）z5，则复数z的共轭复数为2i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【

18、解答】解：由（2i）z5，得z，故答案为：2i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题14（5分）若，则实数m2【分析】根据定积分的计算法则计算可【解答】解：exem1，解得m2，故答案为：2【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题15（5分）“扫雷”游戏，要求游戏者找出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数字是0，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷图乙是小明玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，在ABCDEFG这七个方块中，有雷的方块

19、为A、D、F、G【分析】解答时，先确定F和G有雷，再确定C和D中必有一个有雷，这时再利用假设法否定C有雷，D无雷，后面再确定A和B是否有雷【解答】解：第4行第7个数字是2，F和G方块有雷，第4行第6个数字是说明E方块没有雷，第4行第4个数字是3，C、D中必有一个有雷，假设C有雷，D无雷，第6行第7个数字是2，第7行6，7，8，9都没有雷，第5个数有雷，但是第6行第4个数字是2，这样第6行第4个数字周围就有3个雷，与题目矛盾，故C无雷，D有雷，第4行第3个数字是1，B无雷，第4行第2个数字是1，A有雷综上，有雷的是：A、D、F、G故答案为：A、D、F、G【点评】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推

20、理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题16（5分）设函数f（x），观察下列各式：f1（x）f（x），f2（x）f（f1（x），f3（x）f（f2（x），f4（x）f（f3（x），fn（x）f（fn1（x），根据以上规律，若，则整数n的最大值为9【分析】根据条件归纳出fn（x）的表达式，然后解不等式进行求解即可【解答】解：由归纳推理得fn（x），则fn（），由，得，即32n12018，即32n2019，则2n673，则当n8时，2n256，当n9时，2n512673，当n10时，2n1024673，即整数n的最大值为9，故答案为：9【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件求出

21、函数的解析式是解决本题的关键三、解答题（本大题共3小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知复数z1a+i，z21+bi，a，b是实数，i为虚数单位（1）若z1+z2i，求复数z1，z2；（2）若z1z2i，求复数z1，z2【分析】（1）由z1+z2ia+1+（1+b）i，则a+10，1+b1，解出即可得出（2）由z1z2i，可得（a+i）（1+bi）ab+（1+ab）ii，可得ab0，1+ab1，即可得出【解答】解：（1）z1+z2ia+1+（1+b）i，则a+10，1+b1，解得a1，b0复数z11+i，z21（2）z1z2i，（a+i）（1+bi）ab+（1+ab

22、）ii，ab0，1+ab1，解得ab0复数z1i，z21【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）当x1，2时，求f（x）的值域【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可判断，（2）根据（1）可得f（x）在1，0和（0，2上单调递增，在（0，1上单调递减，求出极值和端点值，比较即可得到函数的值域【解答】解：（1）由题意得f（x）x2xx（x1），xR，令f（x）0，则x0或x1；令f（x）0，则0x1；f（x）的单调增区间为（，0和（1，+），单调减区间为（0，1；（2）由（1）得f（x）在1，0和

23、（0，2上单调递增，在（0，1上单调递减，f（0）0，f（x）的值域为【点评】本题考查了导数和函数的单调性和最值之间的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题19已知点A1，A2是椭圆的左右顶点，P（x，y）是椭圆C上异与A1，A2的点，则直线PA1与PA2的斜率满足（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线的相应结论，并证明；（2）请利用（1）的结论解决以下问题：已知点A1，A2是双曲线的左右顶点，P（x，y）是该双曲线上异与A1，A2的点，若直线PA1的斜率为，求直线PA2的方程【分析】（1）将椭圆方程改为双曲线方程，斜率之积改为正值，设出双曲线的左右顶点，运用直线的斜率公式和双曲线的方程，化

24、简可得结论；（2）运用（1）的结论求得直线PA2的斜率，由双曲线的右顶点，结合点斜式方程，可得所求直线方程【解答】解：（1）已知点A1，A2是双曲线的左右顶点，P（x，y）双曲线C上异与A1，A2的点，则直线PA1与PA2的斜率满足；证明：由题意得A1（a，0），A2（a，0），P（x，y）是双曲线C上的点，直线PA1与PA2的斜率满足；（2）由（1）得，A2是双曲线的右顶点，A2（2，0），直线PA2的方程为，即为3x2y60【点评】本题考查双曲线与椭圆的性质的类比，考查直线的斜率公式和直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题说明：请考生在20，21两个小题中任选一题作答.20已知数列an满

25、足，（1）计算a2，a3，a4，根据计算结果，猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论【分析】（1）利用已知条件逐步求解a2，a3，a4，然后猜想an的表达式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，结合已知条件推出结果即可【解答】解：（1）当n2时，；当n3时，；当n4时，由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，当n1时，显然成立，假设当nk（k1）时猜想成立，即，由题意得，当nk+1时猜想也成立；由和，可知猜想成立，即【点评】本题考查数学归纳法的应用，数列的递推关系式的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力21已知数列an的前n项和为Sn，且满足，（1）计算a2，a3，a4，根据计算结果，猜

26、想an的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论【分析】（1）利用已知条件逐步求解数列的前几项，猜想数列的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，逐步证明即可【解答】解：（1）当n2时，S2a1+a24a2，当n3时，S3a1+a2+a39a3，当n4时，S4a1+a2+a3+a416a4，由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，当n1时，显然成立，假设当nk（k1）时猜想成立，即，由题意得，当nk+1时猜想也成立，由和，可知猜想成立，即【点评】本题考查数学归纳法的应用，数列的递推关系式的应用，考查分析问题解决问题的能力说明：请考生在22，23两个小题中任选一题作答.22已知函数（1）讨论函

27、数f（x）的单调性；（2）当a0时，证明：f（x）在R上至多有一个零点【分析】（1）求得f（x）的导数，讨论a0，0a1，a1，a1，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由（1）的单调性和函数零点存在定理，讨论0a1，a1，a1的零点个数，即可得证【解答】解：（1）由题意得f（x）x（exa），当a0时，令f（x）0，则x0；令f（x）0，则x0，f（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0，则x0或xlna，（）当0a1时，令f（x）0，则xlna或x0；令f（x）0，则lnax0，f（x）在（，lna）和（0，+）上单调递增，在（lna，

28、0）上单调递减；（）当a1时，f（x）x（ex1）0，f（x）在R上单调递增；（）当a1时，令f（x）0，则x0或xlna；令f（x）0，则0xlna，f（x）在（，0）和（lna，+）上单调递增，在（0，lna）上单调递减；（2）证明：由（1）得当0a1时，f（x）在（，lna）和（0，+）上单调递增，在（lna，0）上单调递减，f（x）在xlna处取得极大值f（lna），此时f（x）在R上至多有一个零点；当a1时，f（x）在R上单调递增，此时f（x）在R上至多有一个零点；当a1时，f（x）在（，0）和（lna，+）上单调递增，在（0，lna）上单调递减；f（x）在x0处取得极大值f（0），

29、f（0）10，此时f（x）在R上至多有一个零点；综上所述，当a0时，f（x）在R上至多有一个零点【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的零点个数问题解法，注意运用分类讨论思想方法和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题23已知函数f（x）（x1）exax2（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，根据a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，判断函数f（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可【解答】解：（1）f（x）ex+（x1）exaxx （exa）（i）设a0，则当x（，0）时，f（x

30、）0；当x（0，+）时，f（x）0，所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增（ii）设a0，由f（x）0得x0或xln a若a1，则f（x）x （ex1）0，所以f（x）在（，+）单调递增若0a1，则ln a0，故当x（，ln a）（0，+）时，f（x）0；当x（ln a，0）时，f（x）0，所以f（x）在（，ln a），（0，+）单调递增，在（ln a，0）单调递减若a1，则ln a0，故当x（，0）（ln a，+）时，f（x）0；当x（0，ln a）时，f（x）0，所以f（x）在（，0），（ln a，+）单调递增，在（0，ln a）单调递减综上所述，当a0时f（x）在（，0）单

31、调递减，在（0，+）单调递增；当0a1时f（x）在（，ln a），（0，+）单调递增，在（ln a，0）单调递减；当a1时f（x）在（，+）单调递增；当a1时f（x）在（，0），（ln a，+）单调递增，在（0，ln a）单调递减（2）（i）设a0，则由（1）知，f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增又f（0）1，f（1）a，取b满足b3且bln（a），则f（b）a （b1）a b2a（b2+2b2）0所以f（x）有两个零点（ii）设a1，则f（x）x （ex1），所以f（x）只有一个零点（iii）设0a1，则由（1）知，f（x）在（，ln a），（0，+）单调递增，在（ln a，0）单调递减，f（0）1，当blna时，f（x）有极大值f（b）a （b1）a b2a（b22b+2）0，故f（x）不存在两个零点；当a1时，则由（1）知，f（x）在（，0），（ln a，+）单调递增，在（0，ln a）单调递减，当x0时，f（x）有极大值f（0）10，故f（x）不存在两个零点综上，a的取值范围为a0【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于难题