2018-2019学年山东省济南市天桥区八年级（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年山东省济南市天桥区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共12题，每小题4分）1（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）Ax（ab）axbxBx21（x1）（x+1）Cx21+y2（x1）（x+1）+y2Dax+bx+cx（a+b）+c2（4分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）ABCD3（4分）若mn，则下列各式错误的是（）A2m2nB3m3nCm+1n+1Dm5n54（4分）分式，的最简公分母是（）A5abxB5abx3C15abxD15abx25（4分）如果甲图上的点P（2，4）经过平移变换之后Q（2，2），则甲图上的点M（1，2）经过这样平

2、移后的对应点的坐标是（）A（1，4）B（4，4）C（1，3）D（3，5）6（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD7（4分）下列说法正确的是（）A对角线相等的四边形是平行四边形B对角线互相平分的四边形是平行四边形C对角线互相垂直的四边形是平行四边形D对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形8（4分）若一个多边形的内角和与外角和总共是900，则此多边形是（）A四边形B五边形C六边形D七边形9（4分）如图，一次函数y1x+b与一次函数y2kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+bkx+4的解集是（）Ax2Bx0Cx1Dx110（4分）如图，菱形ABCD的周长为24，对角

3、线AC、BD交于点O，DAB60，作DHAB于点H，连接OH，则OH的长为（）A2B3C2D411（4分）如图，菱形ABCD中，AB2，A120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A1BC2D+112（4分）如图，ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去利用这一图形，能直观地计算出+（）A1BCD1二、填空题（共6小题，每小题4分）13（4分）分解因式：x29 14（4分）如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，B

4、C8，则DE 15（4分）对于分式，当x 时，分式的值为016（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx60的一个根是2，则另一个根为 17（4分）如图，将三个边长都为a的正方形一个顶点重合放置，则1+2+3 18（4分）以正方形ABCD的边AD作等边ADE，则BEC的度数是 三、简答题（共9小题，共78分）19（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来20（6分）先化简，再求值：（），其中m3，n521（6分）如图，在矩形ABCD，ADAE，DFAE于点F求证：ABDF22（8分）（1）分解因式：a32a2b+ab2；（2）解方程：x2+12x+27023（8分）2018年1月25日，济南

5、至成都方向的高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速24（10分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个ABC和一点O，ABC的顶点和点O均与小正方形的顶点重合（1）在方格纸中，将ABC向下平移5个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1；（2）在方格纸中，将ABC绕点O旋转180得到A2B2C2，请画出A2B2C2；（3）求出四边形BCOC1的面积25（10分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车

6、一次可以运货17吨（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？（2）现有31吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆把全部货物一次运完求至少需要安排几辆大货车？26（12分）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D（0，0），B（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E，F分别在BC，AB边上且F（1，4）（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M，N，F，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由27（12分）已知四边形ABCD是菱形，AB4，ABC6

7、0，EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且EAF60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE、AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BECF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB15，求FBC的面积2018-2019学年山东省济南市天桥区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每小题4分）1（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）Ax（ab）axbxBx21（x1）（x+1）Cx21+y2（x1）（x+1）+y2Dax+bx+cx（a+b）+c【分析】直接利用因式

8、分解的定义分析得出答案【解答】解：A、x（ab）axbx，是多项式乘以单项式，故此选项错误；B、x21（x1）（x+1），从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；C、x21+y2（x1）（x+1）+y2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D、ax+bx+cx（a+b）+c，不符合因式分解的定义，故此选项错误故选：B【点评】本题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键2（4分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故

9、此选项错误；C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合3（4分）若mn，则下列各式错误的是（）A2m2nB3m3nCm+1n+1Dm5n5【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、mn，2m2n，故本选项符合题意；B、mn，mn，3m3n，故本选项不符合题意；C、mn，m+1n+1，故本选项不符合题意；D、mn，m5n5，故本选项不符合题意故选：A

10、【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键4（4分）分式，的最简公分母是（）A5abxB5abx3C15abxD15abx2【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母【解答】解：分式，的分母分别是ax、3b、5x2，故最简公分母是15abx2；故选：D【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母一般方法：如

11、果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂5（4分）如果甲图上的点P（2，4）经过平移变换之后Q（2，2），则甲图上的点M（1，2）经过这样平移后的对应点的坐标是（）A（1，4）B（4，4）C（1，3）D（3，5）【分析】先由P与Q的坐标得出对应点之间的关系是横坐标不变，纵坐标减2，那么让点M的横坐标不变，纵坐标减2即为所求点的坐标【解答】解：甲图形上的点P（2，4）经平移变换后是Q（2，2），将甲

12、图形上的点横坐标不变，纵坐标减2，可得对应点的坐标甲图上的点M（1，2）经这样平移后的对应点的坐标是（1，22），即（1，4）故选：A【点评】本题考查图形的平移变换，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律6（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可【解答】解：，由得，x2；由得，x1，故此不等式组的解集为：2x1在数轴上表示为：故选：C【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知解不等式组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键7（4分）下列说法正确的是（）A对角线相等的四边形是平行四

13、边形B对角线互相平分的四边形是平行四边形C对角线互相垂直的四边形是平行四边形D对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定定理对以下选项进行判断，也可以举出反例；【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形的对角线相等，故本选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如：筝形的对角线互相垂直，故本选项错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；故选：B【点评】本题考查了平行四边形的判定平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同

14、时要根据条件合理、灵活地选择方法8（4分）若一个多边形的内角和与外角和总共是900，则此多边形是（）A四边形B五边形C六边形D七边形【分析】本题需先根据已知条件，再根据多边形的外角和是360，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数【解答】解：多边形的内角和与外角和的总和为900，多边形的外角和是360，多边形的内角和是900360540，多边形的边数是：540180+23+25故选：B【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可9（4分）如图，一次函数y1x+b与一次函数y2kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的

15、不等式x+bkx+4的解集是（）Ax2Bx0Cx1Dx1【分析】观察函数图象得到当x1时，函数yx+b的图象都在ykx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+bkx+4的解集为x1【解答】解：当x1时，x+bkx+4，即不等式x+bkx+4的解集为x1故选：C【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数yax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线ykx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合10（4分）如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，DAB60，作DHAB于点H，连接OH，则OH的长

16、为（）A2B3C2D4【分析】根据菱形ABCD的周长为24，可求出边长，可得到对角线互相平分，由于DAB60，可判断ABD为等边三角形，再由DHAB，可得AHBH，最后用三角形中位线定理得出答案【解答】解：ABCD是菱形，ABBCCDDA2446，AOCO，BODO，DAB60，ABD是等边三角形，又DHAB，AHBH，OH3，故选：B【点评】本题主要考查菱形的性质，综合利用菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及三角形中位线定理等知识，正确的分析和基础知识的掌握是解决问题的前提，同时注意知识之间的联系和综合应用11（4分）如图，菱形ABCD中，AB2，A120，点P，Q，K分别为线段BC，CD

17、，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A1BC2D+1【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，ADBC，由A120可知B60，作点P关于直线BD的对称点P，连接PQ，PC，则PQ的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CPAB时PK+QK的值最小，再在RtBCP中利用锐角三角函数的定义求出PC的长即可【解答】解：四边形ABCD是菱形，ADBC，A120，B180A18012060，作点P关于直线BD的对称点P，连接PQ，PC，则PQ的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当PQAB时PK+QK的值最小，在RtBCP中，BCAB2，B60，PQCPBCsinB2故选：B【点

18、评】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键12（4分）如图，ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去利用这一图形，能直观地计算出+（）A1BCD1【分析】由CA1B1CAB得出面积比等于相似比的平方，得出CA1B1的面积为，因此四边形A1ABB1的面积为1，以此类推四边形的面积为，根据规律求出式子的值【解答】解：A1、B1分别是AC、BC的中点，A1B1是ABC的中位线，A1B1AB，A1B1CABC，SABC

19、1，同理得：，+；故选：D【点评】本题考查了三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质；相似三角形面积比等于相似比的平方是关键二、填空题（共6小题，每小题4分）13（4分）分解因式：x29（x+3）（x3）【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式【解答】解：x29（x+3）（x3）故答案为：（x+3）（x3）【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法14（4分）如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC8，则DE4【分析】根据三角形的中位线定理得到DEBC，即可得到答案【

20、解答】解：D、E分别是边AB、AC的中点，BC8，DEBC4故答案为：4【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能正确运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键15（4分）对于分式，当x3时，分式的值为0【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案【解答】解：分式的值为0，x290，x+30，解得：x3故答案为：3【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关性质是解题关键16（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx60的一个根是2，则另一个根为3【分析】设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2t6，然后解一次方程即可【解答】解：设方程另一根为t，

21、根据题意得2t6，解得t3故答案为3【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1x217（4分）如图，将三个边长都为a的正方形一个顶点重合放置，则1+2+390【分析】先根据同角的余角相等得：34，最后由1+2+390可得结论【解答】解：如图：根据同角的余角相等得：34，1+4+290，1+2+390，故答案为：90【点评】本题考查了余角的定义，其关键要弄清哪两个角互余及角的和差，并利用数形结合的思想解决问题18（4分）以正方形ABCD的边AD作等边ADE，则BEC的度数是30或150【分析】分等边ADE在正方形的内部和

22、外部两种情况分别求解可得【解答】解：如图1，四边形ABCD为正方形，ADE为等边三角形，ABBCCDADAEDE，BADABCBCDADC90，AEDADEDAE60，BAECDE150，又ABAE，DCDE，AEBCED15，则BECAEDAEBCED30如图2，ADE是等边三角形，ADDE，四边形ABCD是正方形，ADDC，DEDC，CEDECD，CDEADCADE906030，CEDECD（18030）75，BEC36075260150故答案为：30或150【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键三、简答题（共9小题，共7

23、8分）19（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来【分析】先解不等式组中的每一个不等式，得到不等式组的解集，再把不等式的解集表示在数轴上即可【解答】解：由得：x1；由得：x1；不等式组的解集为：1x1，解集在数轴上表示为：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键20（6分）先化简，再求值：（），其中m3，n5【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值【解答】解：原式，当m3，n5时，原式【点评

24、】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键21（6分）如图，在矩形ABCD，ADAE，DFAE于点F求证：ABDF【分析】利用矩形和直角三角形的性质得到AEBEAD、AFDB，从而证得两个三角形全等，可得结论【解答】证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，B90，AEBDAE，DFAE，AFDB90，在ABE和DFA中ABEDFA，ABDF【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度不是很大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键22（8分）（1）分解因式：a32a2b+ab2；（2）解方程：x2+12x+270【分析】（1）原式提取公因式，再利用完

25、全平方公式分解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可【解答】解：（1）原式a（a22ab+b2）a（ab）2；（2）分解因式得：（x+3）（x+9）0，解得：x13，x29【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握各种解法是解本题的关键23（8分）2018年1月25日，济南至成都方向的高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速【分析】设普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为4x千米/小时，根据时间路程速度结

26、合从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：设普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为4x千米/小时，根据题意得：，解得：x66，经检验，x66是原方程的根，且符合题意，原方程的解为x66，4x664264答：高铁列车的平均时速为264千米/小时【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键24（10分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个ABC和一点O，ABC的顶点和点O均与小正方形的顶点重合（1）在方格纸中，将ABC向下平移5个单位长度得到A1B1C

27、1，请画出A1B1C1；（2）在方格纸中，将ABC绕点O旋转180得到A2B2C2，请画出A2B2C2；（3）求出四边形BCOC1的面积【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到A1B1C1；（2）延长AO到A2使OA2OA，延长BO到B2使OB2OB，延长CO到C2使OC2OC，从而得到A2B2C2；（3）通过计算两个三角形的面积的和得到四边形BCOC1的面积【解答】解：（1）如图，A1B1C1为所作；（2）如图，A2B2C2为所作；（3）四边形BCOC1的面积45+15【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，

28、对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形25（10分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？（2）现有31吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆把全部货物一次运完求至少需要安排几辆大货车？【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨”列方程组求解可得；（2）设安排m辆大货车，则小货车需要（10m）辆

29、，根据两种货车运送的货物总质量不低于31吨列一元一次不等式求解可得【解答】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意，得：，解得：，答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨、1.5吨（2）设安排m辆大货车，则小货车需要（10m）辆，根据题意，得：4m+1.5（10m）31，解得：m6.4，所以至少需要安排7辆大货车【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解26（12分）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D（0，0），B（3，4），矩形AB

30、CD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E，F分别在BC，AB边上且F（1，4）（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M，N，F，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）由F（1，4），B（3，4），得出AF1，BF2，根据折叠的性质得到GFBF2，在RtAGF中，利用勾股定理求出AG，那么OGOAAG4，于是G（0，4）；（2）先在RtAGF中，由tanAFG，得出AFG60，再由折叠的性质得出GFEBFE60，解RtBFE，求出BEBFtan602，那么CE42，E（3，42）设直线E

31、F的表达式为ykx+b，将E（3，42），F（1，4）代入，利用待定系数法即可求出直线EF的解析式；（3）因为M、N均为动点，只有F、G已经确定，所以可从此入手，结合图形，按照FG为一边，N点在x轴上；FG为一边，N点在y轴上；FG为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状确定平行四边形的位置与形状之后，利用平行四边形及平移的性质求得M点的坐标【解答】解：（1）F（1，4），B（3，4），AF1，BF2，由折叠的性质得：GFBF2，在RtAGF中，由勾股定理得，AGB（3，4），OA4，OG4，G（0，4）；（2）在RtAGF中，tanAFG，AFG60，由折叠的性质得知：GFEBFE60

32、，在RtBFE中，BEBFtan602，CE42，E（3，42）设直线EF的表达式为ykx+b，E（3，42），F（1，4），解得，yx+4+；（3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况：FG为平行四边形的一边，N点在x轴上，GFMN为平行四边形，如图1所示过点G作EF的平行线，交x轴于点N1，再过点N1作GF的平行线，交EF于点M1，得平行四边形GFM1N1GN1EF，直线EF的解析式为yx+4+，G（0，4），直线GN1的解析式为yx+4，当y0时，x，N1（，0）GFM1N1是平行四边形，且G（0，4），F（1，4），N1（，0），M1（，）；FG为平行四边形的

33、一边，N点在x轴上，GFNM为平行四边形，如图2所示GFN2M2为平行四边形，GN2与FM2互相平分G（0，4），N2点纵坐标为0，GN2中点的纵坐标为2，设GN2中点的坐标为（x，2）GN2中点与FM2中点重合，x+4+2，x，GN2中点的坐标为（，2），N2点的坐标为（，0）GFN2M2为平行四边形，且G（0，4），F（1，4），N2（，0），M2（，）；FG为平行四边形的一边，N点在y轴上，GFNM为平行四边形，如图3所示GFN3M3为平行四边形，GN3与FM3互相平分G（0，4），N2点横坐标为0，GN3中点的横坐标为0，F与M3的横坐标互为相反数，M3的横坐标为1，当x1时，y（1）

34、+4+4+2，M3（1，4+2）；FG为平行四边形的对角线，GMFN为平行四边形，如图4所示过点G作EF的平行线，交x轴于点N4，连结N4与GF的中点并延长，交EF于点M4，得平行四边形GM4FN4G（0，4），F（1，4），FG中点坐标为（，4），M4N4的中点与FG的中点重合，且N4的纵坐标为0，M4的纵坐标为8解方程x+4+8，得x，M4（，8）综上所述，直线EF上存在点M，使以M，N，F，G为顶点的四边形是平行四边形，此时M点坐标为M1（，），M2（，），M3（1，4+2），M4（，8）【点评】本题是一次函数的综合题，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数的解析式，矩形、平行四边形的性质

35、，轴对称、平移的性质，勾股定理等，对解题能力要求较高难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有四种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏27（12分）已知四边形ABCD是菱形，AB4，ABC60，EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且EAF60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE、AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BECF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB15，求FBC的面积【分析】（1）结论AEEFAF只要证明AEAF即可证明AEF是等边三角形（2）欲证明BECF，只要

36、证明BAECAF即可（3）过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，根据FHCFcos30，因为CFBE，只要求出BE即可解决问题【解答】解：（1）结论AEEFAF理由：如图1中，连接AC，四边形ABCD是菱形，B60，ABBCCDAD，BD60，ABC，ADC是等边三角形，BACDAC60BEEC，BAECAE30，AEBC，EAF60，CAFDAF30，AFCD，AEAF（菱形的高相等），AEF是等边三角形，AEEFAF（2）证明：连接AC，如图2中，BACEAF60，BAECAE，在BAE和CAF中，BAECAF（ASA），BECF（3）解：过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，连接BFEAB15，ABC60，AEB45，在RtAGB中，ABC60，AB4，BGAB2，AGBG2，在RtAEG中，AEGEAG45，AGGE2，EBEGBG22，BACEAF60，BAECAF，ABCACD60，ABEACF120在AEB和AFC中，AEBAFC（ASA），AEAF，EBCF22，在RtCHF中，HCF180BCD60，CF22，FHCFsin60（22）3BCF的面积BCFH4（3）62【点评】本题属于四边形综合题、考查了菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题