2018-2019学年山东省济南市高新区八年级（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年山东省济南市高新区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）1（4分）若ab成立，则下列不等式成立的是（）AabBa+1b+1C（a1）（b1）Da1b12（4分）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（）Am（a+b+c）ma+mb+mcBx2+5xx（x+5）Cx2+5x+5x（x+5）+5Da2+1a（a+）3（4分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）ABCD4（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）Ax0Bx3Cx0Dx35（4分）一个正多边形

2、的每一个外角都等于45，则这个多边形的边数为（）A4B6C8D106（4分）用配方法解一元二次方程x22x30时，方程变形正确的是（）A（x1）22B（x1）24C（x1）21D（x1）277（4分）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（ab），则（ab）等于（）A7B6C5D48（4分）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）Ax2x+1B12x+x2Ca2+a+Da2+b2+2ab9（4分）如图，ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD12，则DOE的周长为（）A15B18C21D2410（4分）某校办厂生产的某种产品，今年产量

3、为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x，则可列方程为（）A200+200（1+x）21400B200+200（1+x）+200（1+x）21400C200（1+x）21400D200（1+x）+200（1+x）2140011（4分）如图，将OAB绕O点逆时针旋转60得到OCD，若OA4，AOB35，则下列结论错误的是（）ABDO60BBOC25COC4DBD412（4分）如图，在菱形ABCD中，AB16，B60，P是AB上一点，BP10，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A当C

4、A的长度最小时，则CQ的长为（）A10B12C13D14二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13（4分）分解因式：2x28x+8 14（4分）若代数式的值为0，则实数x的值为 15（4分）如图，在长方形ABCD中，AB2，BC4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，边CE，则CE的长为 16（4分）若关于x的一元二次方程ax2+4x20有两个实数根，则a的取值范围是 17（4分）如图所示，将直角三角形ACB，C90，AC6，沿CB方向平移得直角三角形DEF，BF2，DG，阴影部分面积为 18（4分）如图，在矩形ABCD中，ADAB，BAD的平分线交BC于点E，DHAE于点

5、H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：AEDCED；OEOD；BHHF；BCCF2HE；ABHF，其中正确的有 三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19（6分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来20（6分）先化简（），然后从1、2、3中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值21（6分）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点求证：ABECDF22（8分）如图，ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出ABC向左平移5个单位长度后得到的A1B1C1；（2）请画出ABC

6、关于原点对称的A2B2C2；（3）在x轴上求点P的坐标，使|PAPB|的值最大23（8分）潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元（1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？24（10分）已知：关于x的方程x24mx+4m210（1）不解方程，判断方程的根的情况；（2）若ABC为等腰三角形，腰BC5，另外两条边

7、是方程x24mx+4m210的两个根，求此三角形的周长25（10分）如图1，OA2，OB4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C点的坐标（2）如图2，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出H点坐标；若不存在，请说明理由26（12分）观察下列等式：1，将以上二个等式两边分别相加得：+1+用你发现的规律解答下列问题：（1）直接写出下列各式的计算结果：+ + （2）仿照题中的计算形式，猜想并写出： （3）解方程：+27（12分）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG

8、，CG（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）2018-2019学年山东省济南市高新区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）1（4分）若ab成立，则下列不等式成立的是（）AabBa+1b+1C（a1）（b1）Da1b1【分析】根

9、据不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变可知【解答】解：A、不等式ab两边都乘1，不等号的方向不变，不等式不成立，不符合题意；B、不等式ab两边都乘1，不等号的方向改变，都加1，不等号的方向不变，不等式不成立，不符合题意；C、不等式ab两边都减1，不等号的方向不变，都乘1，不等号的方向改变，不等式不成立，不符合题意；D、不等式ab两边都减1，不等号的方向不变，不等式成立，符合题意；故选：D【点评】主要考查了不等式的基本性质不等式两边同时乘以或除以同一个数或式子时，一定要注意不等号的方向是否改变2（4分）下列各式从左到右的

10、变形中，是分解因式的是（）Am（a+b+c）ma+mb+mcBx2+5xx（x+5）Cx2+5x+5x（x+5）+5Da2+1a（a+）【分析】利用因式分解的定义判断即可【解答】解：A、m（a+b+c）ma+mb+mc，不符合题意；B、x2+5xx（x+5），符合题意；C、x2+5x+5x（x+5）+5，不符合题意；D、a2+1a（a+），不符合题意，故选：B【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键3（4分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可【

11、解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，故选：D【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转180后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形4（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）Ax0Bx3Cx0Dx3【分析】根据分式有意义的条件列出不等式解不等式即可【解答】解：由题意得，x30，解得，x3，故选：D【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键5（4分）一个正多边形的每一个外角都等于45，则这个多边形的边数为（）A4B6C8D10【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数

12、【解答】解：多边形的边数为：360458故选：C【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键6（4分）用配方法解一元二次方程x22x30时，方程变形正确的是（）A（x1）22B（x1）24C（x1）21D（x1）27【分析】利用配方法解已知方程时，首先将3变号后移项到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方1，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，即可得到所求的式子【解答】解：x22x30，移项得：x22x3，两边都加上1得：x22x+13+1，即（x1）24，则用配方法解一元二次方程x22x30时，方程变形正确

13、的是（x1）24故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解7（4分）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（ab），则（ab）等于（）A7B6C5D4【分析】设重叠部分面积为c，（ab）可理解为（a+c）（b+c），即两个正方形面积的差【解答】解：设重叠部分面积为c，ab（a+c）（b+c）1697，故选：A【点评】本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的

14、面积之差是解题的关键8（4分）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）Ax2x+1B12x+x2Ca2+a+Da2+b2+2ab【分析】利用完全平方公式判断即可【解答】解：12x+x2（1x）2，故选：B【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键9（4分）如图，ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD12，则DOE的周长为（）A15B18C21D24【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；【解答】解：平行四边形ABCD的周长为36，BC+CD18，ODOB，DEEC，OE+DE（BC+CD）9，BD12，ODBD

15、6，DOE的周长为9+615，故选：A【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型10（4分）某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x，则可列方程为（）A200+200（1+x）21400B200+200（1+x）+200（1+x）21400C200（1+x）21400D200（1+x）+200（1+x）21400【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量1400且今后两年的产量都比前一年增

16、长一个相同的百分数x【解答】解：已设这个百分数为x200+200（1+x）+200（1+x）21400故选：B【点评】本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程11（4分）如图，将OAB绕O点逆时针旋转60得到OCD，若OA4，AOB35，则下列结论错误的是（）ABDO60BBOC25COC4DBD4【分析】由OAB绕O点逆时针旋转60得到OCD知AOCBOD60，AOCO4、BODO，据此可判断C；由AOC、BOD是等边三角形可判断A选项；由AOB35，AOC60可判断B选项，据此可得答案【解答】解：OAB绕O点逆时针旋转60得到OCD，AOCBOD60，A

17、OCO4、BODO，故C选项正确；则AOC、BOD是等边三角形，BDO60，故A选项正确；AOB35，AOC60，BOCAOCAOB603525，故B选项正确；故选：D【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质12（4分）如图，在菱形ABCD中，AB16，B60，P是AB上一点，BP10，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A当CA的长度最小时，则CQ的长为（）A10B12C13D14【分析】由AP6可知点A在以P为圆心以PA为半径的弧上，故

18、此当C，P，A在一条直线上时，CA有最小值，过点C作CHAB，垂足为H，先求得BH、HC的长，则可得到PH的长，然后再求得PC的长，最后依据折叠的性质和平行线的性质可证明CQP为等腰三角形，则可得到QC的长【解答】解：如图所示：过点C作CHAB，垂足为H在RtBCH中，B60，BC16，则BHBC8，CHsin60BC168PH2在RtCPH中，依据勾股定理可知：PC14由翻折的性质可知：APQAPQDCAB，CQPAPQCQPCPQQCCP14故选：D【点评】本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理的应用，翻折的性质、等腰三角形的判定，判断出CA取得最小值的条件是解题的关键二.填空题（共6小题，

19、满分24分，每小题4分）13（4分）分解因式：2x28x+82（x2）2【分析】先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可【解答】解：原式2（x24x+4）2（x2）2故答案为2（x2）2【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握14（4分）若代数式的值为0，则实数x的值为x1【分析】分式的值为零，分子等于零【解答】解：依题意得：，所以x10，解得x1故答案是：x1【点评】考查了分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零15（4分）如图，在长方形ABCD中，AB2，BC4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，边CE，则CE的长为2.5

20、【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AECE，设CEx，表示出ED的长度，然后在RtCDE中，利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：EO是AC的垂直平分线，AECE，设CEx，则EDADAE4x，在RtCDE中，CE2CD2+ED2，即x222+（4x）2，解得x2.5，即CE的长为2.5，故答案为：2.5【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键16（4分）若关于x的一元二次方程ax2+4x20有两个实数根，则a的取值范围是a2且a0【分析】由关于x的一元二次方程ax2+4

21、x20有有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式0，a0，继而可求得a的范围【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+4x20有两个实数根，b24ac424a（2）424a0，解得：a2，方程ax22x+60是一元二次方程，a0，a的范围是：a2且a0，故答案为：a2且a0【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得0同时考查了一元二次方程的定义17（4分）如图所示，将直角三角形ACB，C90，AC6，沿CB方向平移得直角三角形DEF，BF2，DG，阴影部分面积为10.5【分析】根据平移的性质，对应点间的距离等于平移的距离求出CEBF，再

22、求出GE，然后根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得ABC的面积等于DEF的面积，从而得到阴影部分的面积等于梯形ACEG的面积，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解【解答】解：ACB平移得到DEF，CEBF2，DEAC6，GEDEDG64.5，由平移的性质，SABCSDEF，阴影部分的面积S梯形ACEG（GE+AC）CE（4.5+6）210.5故答案为：10.5【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握性质并求出阴影部分的面积等于梯形ACEG的面积是本题的难点，也是解题的关键18（4分）如图，在矩形ABCD中，ADAB，BAD的平分线交BC于点E，DHAE于点H，连接BH并延长交C

23、D于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：AEDCED；OEOD；BHHF；BCCF2HE；ABHF，其中正确的有【分析】根据角平分线的定义可得BAEDAE45，可得出ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AEAB，从而得到AEAD，然后利用“角角边”证明ABE和AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BEDH，再根据等腰三角形两底角相等求出ADEAED67.5，根据平角等于180求出CED67.5，从而判断出正确；求出AHB67.5，DHOODH22.5，然后根据等角对等边可得OEODOH，判断出正确；求出EBHOHD22.5，AEBHDF45，然后利用“角边角”证明BEH和H

24、DF全等，根据全等三角形对应边相等可得BHHF，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得DFHE，然后根据HEAEAHBCCD，BCCFBC（CDDF）2HE，判断出正确；判断出ABH不是等边三角形，从而得到ABBH，即ABHF，得到错误【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分BAD，BAEDAE45，ABE是等腰直角三角形，AEAB，ADAB，AEAD，在ABE和AHD中，ABEAHD（AAS），BEDH，ABBEAHHD，ADEAED（18045）67.5，CED1804567.567.5，AEDCED，故正确；AHB（18045）67.5，OHEAHB（对顶角相等），OHEAED，OEOH

25、，DOH9067.522.5，ODH67.54522.5，DOHODH，OHOD，OEODOH，故正确；EBH9067.522.5，EBHOHD，又BEDH，AEBHDF45在BEH和HDF中BEHHDF（ASA），BHHF，HEDF，故正确；由上述、可得CDBE、DFEHCE，CFCDDF，BCCF（CD+HE）（CDHE）2HE，所以正确；ABAH，BAE45，ABH不是等边三角形，ABBH，即ABHF，故错误；综上所述，结论正确的是故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的

26、角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19（6分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可【解答】解：解不等式得：x1，解不等式得：x1，不等式组的解集是1x1，在数轴上表示为：【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键20（6分）先化简（），然后从1、2、3中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式要使

27、原分式有意义，故a3，当a3 时，原式2【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型21（6分）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点求证：ABECDF【分析】根据平行四边形的性质可得ABCD，AC，ADBC、再证出AECF，可利用SAS证明ABECDF【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AC，ADBC，点E、F分别是AD、BC的中点，AEAD，CFBC，AECF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键22（8分）如图

28、，ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出ABC向左平移5个单位长度后得到的A1B1C1；（2）请画出ABC关于原点对称的A2B2C2；（3）在x轴上求点P的坐标，使|PAPB|的值最大【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）延长BA，交x轴于P，利用三点共线求差最大得出P点位置【解答】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求；（3）如图所示，此时|PAPB|的值最大，P点坐标为：（2，0）【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转

29、变换和轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键23（8分）潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元（1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？【分析】（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x千克茶叶，则第二次购进2x千克茶叶，根据单价总价数量结合第二次购进茶叶每千克比第一次购进的贵10元，即可得出关于x的分式方

30、程，解之并检验后即可得出结论；（2）设每千克茶叶售价y元，根据利润销售收入成本，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论【解答】解：（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x千克茶叶，则第二次购进2x千克茶叶，根据题意得：10，解得：x200，经检验，x200是原方程的根，且符合题意，2x+x2200+200600答：凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶600千克（2）设每千克茶叶售价y元，根据题意得：600y3200068000（32000+68000）20%，解得：y200答：每千克茶叶的售价至少是200元【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1

31、）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量之间的关系，找出关于y的一元一次不等式24（10分）已知：关于x的方程x24mx+4m210（1）不解方程，判断方程的根的情况；（2）若ABC为等腰三角形，腰BC5，另外两条边是方程x24mx+4m210的两个根，求此三角形的周长【分析】（1）根据判别式即可求出答案（2）由题意可知：该方程的其中一根为5，从而可求出m的值，最后根据m的值即可求出三角形的周长；【解答】解：（1）由题意可知：16m24（4m21）40，该方程有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两根分别是a与b，由题意可知：a5，由根与系数的关系可知：a+b4m，ab4m21，5+b

32、4m，5b4m21，解得：m2或m3，当m2时，b3，3+55，该三角形的周长为：5+5+313，当m3时，b7，5+57，该三角形的周长为5+5+717【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型25（10分）如图1，OA2，OB4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C点的坐标（2）如图2，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出H点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由“AAS”可证ACDBAO，可得OACD2，ADOB4，即可求点C坐标；（2）分三种情况讨论，由平行四边形的性质和

33、中点坐标公式可求点H坐标【解答】解：（1）过点C作CDx轴，ABC是等腰直角三角形ACAB，CAB90DAC+DCA90，DAC+OAB90DACOAB，且ACAB，CDAAOB90ACDBAO（AAS）OACD2，ADOB4OD6点C（6，2）（2）设点H（x，y）OA2，OB4，A（2，0），点B（0，4），若四边形ABHC是平行四边形，AH与BC互相平分，x4，y6点H坐标（4，6）若四边形ABCH是平行四边形AC与BH互相平分，x8，y2点H坐标（8，2）若四边形CAHB是平行四边形AB与CH互相平分，x4，y2点H坐标（4，2）综上所述：点H坐标为（4，6）或（8，2）或（4，2）【

34、点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键26（12分）观察下列等式：1，将以上二个等式两边分别相加得：+1+用你发现的规律解答下列问题：（1）直接写出下列各式的计算结果：+（2）仿照题中的计算形式，猜想并写出：（3）解方程：+【分析】（1）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果；（2）根据已知等式归纳拆项法则，写出即可；（3）仿照2利用拆项法变形，变一般分式方程解答即可【解答】解：（1）+1+1，故答案为；+1+1，故答案为；（2）（3）解：仿照（2）中的结论，原方程可变形为+，即，解得x2，经检验，x2是原分

35、式方程的解故原方程的解为x2【点评】本题考查了数字的变化规律以及分式方程，学会拆项变形是解题的关键27（12分）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜

36、边的一半，可证出CGEG（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点；再证明DAGDCG，得出AGCG；再证出DMGFNG，得到MGNG；再证明AMGENG，得出AGEG；最后证出CGEG（3）结论依然成立还知道EGCG【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，DCF90，在RtFCD中，G为DF的中点，CGFD，同理，在RtDEF中，EGFD，CGEG（2）（1）中结论仍然成立，即EGCG证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中，ADCD，ADGCDG，DGDG，DAGDCG（SAS），AGCG；在DMG与FNG中，DG

37、MFGN，FGDG，MDGNFG，DMGFNG（ASA），MGNG；EAMAENAMN90，四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AMEN，在AMG与ENG中，AMEN，AMGENG，MGNG，AMGENG（SAS），AGEG，EGCG证法二：延长CG至M，使MGCG，连接MF，ME，EC，在DCG与FMG中，FGDG，MGFCGD，MGCG，DCGFMGMFCD，FMGDCG，MFCDAB，EFMF在RtMFE与RtCBE中，MFCB，MFEEBC，EFBE，MFECBEMEFCEBMECMEF+FECCEB+CEF90，MEC为直角三角形MGCG，EGMC，EGCG（3）（1）中的结论仍然成立理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N由于G为FD中点，易证CDGMFG，得到CDFM，又因为BEEF，易证EFMEBC，则EFMEBC，FEMBEC，EMECFEC+BEC90，FEC+FEM90，即MEC90，MEC是等腰直角三角形，G为CM中点，EGCG，EGCG【点评】本题考查四边形的综合题，（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答