2018-2019学年山东省菏泽市高二（上）期末数学试卷（a卷）含详细解答

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1、2018-2019学年山东省菏泽市高二（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设命题p：x0，|x|x，则p为（）Ax0，|x|xBx00，|x0|x0Cx0，|x|xDx00，|x0|x02（5分）在等差数列an中，已知a4+a152，则该数列的前18项和S18（）A2B9C18D363（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）ABCD4（5分）设直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，则使l成立的是（）A（1，1，2），（1，1，2）B（2，1，3），（1，1，1）C（1

2、，1，0），（2，1，0）D（1，2，1），（1，1，2）5（5分）“m2”是“直线（m+1）x+y+10与直线2x+（m+4）y+20互相垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）函数y的定义域是（）A（0，1）（1，3B（0，3C（0，1）D3，+）7（5分）已知数列an满足a11，an+1an+2n1，则a5（）A16B17C31D328（5分）如图，在正三棱锥SABC中，SAAB2，点E为AB的中点，则（）A1B2C1D29（5分）已知椭圆C：1，点F是椭圆的左焦点，点A是它的上顶点，点B是右顶点，则（）A31B31C1D910（5分）已知等

3、比数列an的各项均为正数，且a1，a2成等差数列，则q（）ABCD或11（5分）如图，在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAC为等腰直角三角形，PAPC4，平面PAC平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（）ABCD12（5分）抛物线y22px（p0）的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q下列说法不正确的是（）ABFNABCQ是线段MN的一个三等分点DQFMQMF二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13（

4、5分）已知a0，则的最小值为 14（5分）双曲线x22y22的渐近线方程为 15（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a23，6，则an的公差d 16（5分）若不等式（a+2）x22（a+2）x+40对xR恒成立，则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列an的前n项和Snan+n21（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn18（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，ACAB，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1与AB的中点（1）证明：EF平面BCC1B1（2）求

5、B1F与平面AEF所成角的正弦值19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足S11，且对任意正整数n，都有（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列bn的前n项和Tn20（12分）已知过M（3，4）的直线l与抛物线C：y216x交于点A，B（1）若M为弦AB的中点，求直线l的方程；（2）若F为抛物线C的焦点，P为抛物线C上的动点，求|PF|+|PM|的最小值21（12分）如图，四边形ABCD为正方形，BEDF，且ABBEDFEC，AB平面BCE（1）证明：平面AEC平面BDFE；（2）求二面角AFCE的余弦值22（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为（1）求

6、椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由2018-2019学年山东省菏泽市高二（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设命题p：x0，|x|x，则p为（）Ax0，|x|xBx00，|x0|x0Cx0，|x|xDx00，|x0|x0【分析】利用全称命题的否定是图象命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是推出明天吧，所以命题p：x0，|x|x，

7、则p为：x00，|x0|x0故选：D【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查2（5分）在等差数列an中，已知a4+a152，则该数列的前18项和S18（）A2B9C18D36【分析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出【解答】解：等差数列an中，a4+a152，则a1+a182，则S18（a1+a18）18，故选：C【点评】本题考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础题3（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）ABCD【分析】利用双曲线的离心率以及虚轴长，列出方程组，然后求解双曲线方程即可【解答】解：双曲线的离心率，且其虚轴长为8，由

8、，得可得故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力4（5分）设直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，则使l成立的是（）A（1，1，2），（1，1，2）B（2，1，3），（1，1，1）C（1，1，0），（2，1，0）D（1，2，1），（1，1，2）【分析】由直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，使l成立，得到0，由此能求出结果【解答】解：直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，使l成立，0，在A中，1146，故A错误；在B中，21+30，故B成立；在C中，211，故C错误；在D中，12+21，故D错误故选：B【点评】本题考查线面平行的判断与求法，考查直线的

9、方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题5（5分）“m2”是“直线（m+1）x+y+10与直线2x+（m+4）y+20互相垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的等价，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：，直线（m+1）x+y+10与直线2x+（m+4）y+20互相垂直，则2（m1）+m+40，解得m2，故“m2”是“直线（m+1）x+y+10与直线2x+（m+4）y+20互相垂直的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件 求出m是解

10、决本题的关键6（5分）函数y的定义域是（）A（0，1）（1，3B（0，3C（0，1）D3，+）【分析】根据函数成立的条件，建立不等式组进行求解即可【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，即0x1或0x3，即函数的定义域为（0，1）（1，3，故选：A【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合出函数成立的条件建立不等式组关系是解决本题的关键7（5分）已知数列an满足a11，an+1an+2n1，则a5（）A16B17C31D32【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可【解答】解：数列an满足a11，an+1an+2n1，则a2a1+202，a3a2+24，a4a3+224+48，a5a4+238

11、+816故选：A【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力8（5分）如图，在正三棱锥SABC中，SAAB2，点E为AB的中点，则（）A1B2C1D2【分析】由已知可得，从而有，结合向量数量积的定义即可求解【解答】解：正三棱锥SABC中，SAAB2，各面都为正三角形点E为AB的中点，则2，故选：D【点评】本题主要考查了向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题9（5分）已知椭圆C：1，点F是椭圆的左焦点，点A是它的上顶点，点B是右顶点，则（）A31B31C1D9【分析】根据题意，由椭圆的方程求出a、b、c的值，由椭圆的几何性质可得A、F、B的坐标，进而可得、的坐标，由向

12、量的坐标计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，椭圆C：1，其焦点在x轴上，且a5，b4，则c3，点F是椭圆的左焦点，点A是它的上顶点，点B是右顶点，则F（3，0），A（0，4），B（5，0），则（3，4），（5，4），则（3）5+（4）（4）1；故选：C【点评】本题考查椭圆的标准方程，关键是求出A、F、B的坐标，属于基础题10（5分）已知等比数列an的各项均为正数，且a1，a2成等差数列，则q（）ABCD或【分析】由题意可得q0，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求q的值【解答】解：等比数列an的各项均为正数，且q0，由a1，a2成等差数列，可得a3a1+a2，即有

13、a1q2+a1+a1q，即有q2q10，解得q，故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题11（5分）如图，在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAC为等腰直角三角形，PAPC4，平面PAC平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（）ABCD【分析】取AC的中点O，连结OP，OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值【解答】解：取AC的中点O，连结OP，OB，PAPC，ACOP，平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，OP平面ABC，又ABBC，A

14、COB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，PAC是等腰直角三角形，PAPC4，ABC为直角三角形，A（2，0，0），C（2，0，0），P（0，0，2），D（，0），（4，0，0），（，2），cos，异面直线AC与PD所成角的余弦值为故选：B【点评】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题12（5分）抛物线y22px（p0）的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q下列说法不

15、正确的是（）ABFNABCQ是线段MN的一个三等分点DQFMQMF【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，判断选项的正误即可【解答】解：由抛物线的定义，得|AC|AF|，|BD|BF|又，则，A正确由，可知ANB是直角三角形，MN是斜边上的中线，所以MANMNA，而MNACAN，所以MANCAN所以ANCANF，可知AFNACN90，所以FNAB，B正确由QFMQMF，可知|QF|QM|，所以|NQ|QM|，即Q是MN的中点，故C不正确在RtMNF中，|QN|QF|，可知QNFQFN，所以QFMQMF，D正确故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查以及数形结合思想的

16、应用二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13（5分）已知a0，则的最小值为2【分析】直接利用基本不等式的运算求出结果【解答】解：由于a0，所以：故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型14（5分）双曲线x22y22的渐近线方程为yx【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由渐近线方程为yx，即可得到所求【解答】解：双曲线x22y22即为：y21，即有a，b1，则渐近线方程为yx，即有yx故答案为：yx【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题15

17、（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a23，6，则an的公差d【分析】利用等差数列an的前n项和公式和通项公式，列出方程组，能求出an的公差【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a23，6，解得，dan的公差d故答案为：【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）若不等式（a+2）x22（a+2）x+40对xR恒成立，则实数a的取值范围是2，2【分析】当a2时，显然成立；当a2时，判别式小于等于0；当a2时，不等式不恒成立【解答】解：当a2时，不等式显然成立，aR；当a2时，根据二次函数的图象知：2（a+2）216（a+

18、2）0，解得2a2，当a2时，二次函数的图象开口向下，不等式不可能恒成立，故答案为：2，2【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列an的前n项和Snan+n21（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn【分析】（1）当n2时，anSnSn1，化简即可得到所求通项公式；（2）求得Snan+n21n2+2n，（），由数列的裂项相消求和，化简整理可得所求和【解答】解：（1）Snan+n21，当n2时，Sn1an1+（n1）21，相减可得anSnSn1an+n21an1（n1）2+1，化

19、为an12n1，即有a13，则an2n+1；（2）Snan+n21n2+2n，（），则前n项和Tn（1+）（1+）（+）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题18（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，ACAB，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1与AB的中点（1）证明：EF平面BCC1B1（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值【分析】（1）建立空间坐标系，利用与平面BCC1B1的法向量垂直可证；（2）找到和平面AEF的法向量，代入公式计算即可【解答】解：（1）证明：直三棱柱ABC

20、A1B1C1中，ACAB，可以以A1为顶点建立空间坐标系如图，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1与AB的中点，取B1C1中点D，A1（0，0，0），D（2，2，0），E（2，0，3），F（0，2，6），在RtA1B1C1中，A1DB1C1，A1D平面BCC1B1，为平面BCC1D1的一个法向量，而，4+40，又EF平面BCC1B1，EF平面BCC1B1；（2）易知A（0，0，6），B1（0，4，0），设是平面AEF的一个法向量，则，取x1，则y0，z，即，设B1F与平面AEF所成角为，则sin|cos|，故B1F与平面AEF所成角的正弦值为【点评】此题考查了线面平行，斜线与平面所成角等

21、，难度适中19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足S11，且对任意正整数n，都有（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）首先利用递推关系式求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解析：（1）由S11，得a11又对任意正整数n，都成立，即Sn+1+n（n+1）（n+1）Sn+1（n+1）Sn，所以nSn+1（n+1）Snn（n+1），所以即数列是以1为公差，1为首项的等差数列所以，即，得anSnSn12n1（n2），又由a11，所以解法2：由，可得Sn+1+n（n+1）（n+1）an+1，当n2时，Sn+

22、n（n1）nan，两式相减，得an+1+2n（n+1）an+1nan，整理得an+1an2，在中，令n2，得，即1+a2+22a2，解得a23，a2a12，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列，an1+2（n1）2n1（2）由（1）可得，所以，则，得，整理得，所以【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型20（12分）已知过M（3，4）的直线l与抛物线C：y216x交于点A，B（1）若M为弦AB的中点，求直线l的方程；（2）若F为抛物线C的焦点，P为抛物线C上的动点，求|PF|+|PM|的最小

23、值【分析】（1）由题意知直线的斜率存在，设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求得直线斜率，再由直线方程点斜式求解；（2）过M作准线的垂线，把求|PF|+|PM|的最小值转化为点M到准线l的距离求解【解答】解：（1）由题意知直线的斜率存在，设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）则有，两式作差可得：，即，y1+y2248，k则直线l的方程为y4k（x3），即2xy20；（2）记P到抛物线C的准线的距离为d，由抛物线的定义可得|PF|d，于是|PF|+|PM|PM|+d，当直线PM与x轴平行时，|PM|+d最小，故|PF|+|PM|的最小值为3+【点评】

24、本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的简单性质，体现了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题21（12分）如图，四边形ABCD为正方形，BEDF，且ABBEDFEC，AB平面BCE（1）证明：平面AEC平面BDFE；（2）求二面角AFCE的余弦值【分析】（1）推导出ABDF，ADDC，ACBD，BEBC，从而BE平面ABCD，进而ACBC，由此能证明AC平面BDFE，从而平面AEC平面BDFE（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角AFCE的余弦值【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形，BEDF，且ABBEDFEC，AB

25、平面BCE四边形BDEF是平行四边形，ABDF，ADDC，ACBD，BE2+BC2EC2，BEBC，BE平面ABCD，ACBC，BDBEB，AC平面BDFE，AC平面ACE，平面AEC平面BDFE解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，设ABBEDFEC，则A（，0，0），C（0，0），E（），F（0，0，），（），（0，），（，0），设平面AFC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设平面EFC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设二面角AFCE的平面角为，则cos二面角AFCE的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，

26、考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，则，转化求解K，即可得到直线方程【解答】解：（1）直线的一般方程为bx+

27、ayab0依题意，解得，故椭圆C的方程式为（2）假若存在这样的直线l，当斜率不存在时，以|AB|为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点，所以可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx+2由，得（3+5k2）x2+20kx+50由400k220（3+5k2）0，得记A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，而y1y2（kx1+2）（kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+4要使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，则，即0，所以0，整理解得或，所以存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，直线l的方程为或【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力