2019-2020学年山东省德州市高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020学年山东省德州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设命题p：xR，x21x，则p为（）AxR，x21xBxR，x21xCxR，x21xDxR，x21x2（5分）已知双曲线的实轴长为2，焦点为（4，0），（4，0），则该双曲线的标准方程为（）ABCD3（5分）若直线ax+2y+10与直线a2x+y20互相平行，那么a的值等于（）A1或0BC0D0或4（5分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则下列选项中与向量相等的是（）ABCD5（5分）已知

2、m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，n，m，n，则6（5分）点P在直线yx上，过点P作圆C：x2+y26x+80的切线PA和PB，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（）ABCD7（5分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，点D为棱BB1的中点，则AD与平面ACC1A1所成角的正弦值为（）ABCD8（5分）已知直线l1：xcos2+y+20，若l1l2，则l2倾斜角的取值范围是（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

3、目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9（5分）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是（）A该双曲线的离心率为B该双曲线的渐近线方程为C点P到两渐近线的距离的乘积为D若PF1PF2，则PF1F2的面积为3210（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（点A在第一象限），则下列结论中正确的是（）ABC若直线l的倾斜角为，则D若直线的倾斜角为，则|AB|4p11（5分）若原点O到直线l的距离不大于1，则直线l与下列曲线一定有公共点的是（）Ayx22B（x1）2+y21CDx2y21

4、12（5分）在ABC中，AC3，BC4，AB5，点E、F分别为边AB，BC上的两点（不与端点重合），且EFAB，将BEF沿EF折起，使平面BEF平面ACFE，则下列说法正确的是（）AEF平面ABEB若E为AB的中点，三棱锥EABC的体积等于三棱锥BACF的体积C若F为BC的中点，三棱锥FABC的体积为DBC上存在两个不同的点F，G，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A（3，5，2），B（2，7，0），则 14（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是

5、 15（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA1ACBC1，则异面直线BC1与A1B1所成角为 ；二面角ABC1C的余弦值是 16（5分）已知O为坐标原点，F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，过点F1且斜率为的直线与椭圆C交于点P，且|OP|OF2|，则椭圆C的离心率为 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知命题p：方程表示双曲线，命题q：方程表示椭圆或圆，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围18（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，0），N（5，0），P（x，y）为曲线C上任一点，P到点M的距

6、离和到点N的距离的比值为2；圆C经过A（4，0），B（6，2），且圆心在直线xy60上从中任选一个条件（1）求曲线C的方程；（2）若直线xay+4被曲线C截得弦长为2，求a的值19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，边长为2，且A1AB60，ACBC，D是AB的中点（1）求证：BC1平面A1DC；（2）若平面ABB1A1平面ABC，A1C与平面ABC所成的角为45，求四棱锥A1BCC1B1的体积20（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，A为抛物线上一点，O为坐标原点，OFA的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为6（1）求抛物线C的方程；（

7、2）已知点B（1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，若MBONBO，证明直线l过定点并写出定点坐标21（12分）正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，平面PEF平面ABFD（1）证明：PF平面PDE；（2）求二面角BAPD的余弦值22（12分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆的四个顶点构成的四边形面积为（1）求椭圆C的方程；（2）若A是椭圆上的一点，过A且斜率等于的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D求ABD面积的最大值及取最大值时直线BD的方程2019-2020学年山东省德州市高二（上）期末

8、数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设命题p：xR，x21x，则p为（）AxR，x21xBxR，x21xCxR，x21xDxR，x21x【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】解：命题的特称命题的否定是特称命题，则否定是全称命题，即xR，x21x，故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础2（5分）已知双曲线的实轴长为2，焦点为（4，0），（4，0），则该双曲线的标准方程为（）ABCD【分析】由题意可设双曲线方程为（

9、a0，b0）并求得a与c的值，再由隐含条件求得b，则双曲线方程可求【解答】解：由题意可设双曲线方程为（a0，b0），且2a2，c4，则a1，b2c2a216115双曲线的标准方程为故选：C【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，是基础的计算题3（5分）若直线ax+2y+10与直线a2x+y20互相平行，那么a的值等于（）A1或0BC0D0或【分析】结合已知直线方程及直线平行的一般式方程即可建立关于a的方程，从而可求【解答】解：由题意可得，a2a20，解可得a0或a，当a时，直线方程分别为，满足平行，当a0时，直线方程分别为2y+10，y20，满足平行，故选：D【点评】本题主要考查了直线平行的条件

10、的简单应用，属于基础试题4（5分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则下列选项中与向量相等的是（）ABCD【分析】利用向量加法法则直接求解【解答】解：平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，故选：B【点评】本题考查向量的求法，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，n，m，n，则【分析】结合空间线面的位置关系及平行于垂直的判定与性质定理对选项分别进行判断【解答】解：若mn，n，则m或

11、m，故A错误；若m，则m或m，由n可得nm，故A 正确；若mn，n，则m或m，故C错误；若m，n，m，n，则，可能平行，也可能相交，故D错误，故选：B【点评】本题以复合命题的真假判断为载体，主要考查了空间线面位置关系的判断，属于知识的综合应用6（5分）点P在直线yx上，过点P作圆C：x2+y26x+80的切线PA和PB，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（）ABCD【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，求出圆心到直线的距离，得到PA，PB的长度，再由三角形面积公式求解【解答】解：化圆C：x2+y26x+80为（x3）2+y21，得圆心C（

12、3，0），半径r1根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心C（3，0）到直线xy0的距离为d|PA|PB|则四边形PACB面积的最小值为S2故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学转化思想方法，是中档题7（5分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，点D为棱BB1的中点，则AD与平面ACC1A1所成角的正弦值为（）ABCD【分析】以B为原点，在平面ABC内过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用量法能求出AD与平面ACC1A1所成角的正弦值【解答】解：以B为原点，在

13、平面ABC内过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0），D（0，0，1），C（0，1，0），C1（0，1，1），（，1），（，0），（，1），设平面ACC1A1的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0），设AD与平面ACC1A1所成角为，则sinAD与平面ACC1A1所成角的正弦值为故选：B【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8（5分）已知直线l1：xcos2+y+20，若l1l2，则l2倾斜角的取值范围是（）ABCD【分析】根据已知直线垂直的斜率关系及直线的斜率与倾斜角

14、的关系即可求解【解答】解：因为l1：xcos2+y+20的斜率k1，当cos0时，即k10时，k不存在，此时倾斜角，由l1l2，k10时，可知直线l2的斜率k，此时倾斜角的取值范围），综上可得l2倾斜角的取值范围故选：C【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系及直线垂直的斜率关系的应用，属于基础试题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9（5分）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是（）A该双曲线的离心率为B该双曲线的渐近线方程为C点P到两渐近线的距离的

15、乘积为D若PF1PF2，则PF1F2的面积为32【分析】由已知双曲线方程分别求出a，b，c，然后结合双曲线的性质对各选项进行检验即可判断【解答】解：由题意可知，a3，b4，c5，故离心率e，故A错误；由双曲线的性质可知，双曲线线的渐近线方程为即y，B正确；设P（x，y），则P到两渐近线的距离之积，C正确；若若PF1PF2，则PF1F2的面积S16，D错误，故选：BC【点评】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了双曲线性质的灵活应用，属于中档试题10（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（点A在第一象限），则下列结论中正确的是

16、（）ABC若直线l的倾斜角为，则D若直线的倾斜角为，则|AB|4p【分析】求得抛物线的焦点坐标，过F的直线l的方程设为xmy+，联立抛物线方程，运用韦达定理，可判断A；以F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设抛物线的方程为，A（1，），B（2，+），运用三角函数的诱导公式梅花园可判断B；可令，计算可判断C；可令，可判断D【解答】解：抛物线y22px（p0）的焦点为F（，0），过F的直线l的方程设为xmy+，联立抛物线方程可得y22pmyp20，可得y1y2p2，x1x2p2，故A对；以F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设抛物线的方程为，A（1，），B（2，+），可得|AF|1，|BF|，可得+，

17、故B错；可令，可得|AF|2p，|BF|，则3，故C对；可令，可得|AB|AF|+|BF|+4p，故D错故选：AC【点评】本题考查可得抛物线的方程和性质，以及抛物线的极坐标方程和运用，考查化简运算能力，属于中档题11（5分）若原点O到直线l的距离不大于1，则直线l与下列曲线一定有公共点的是（）Ayx22B（x1）2+y21CDx2y21【分析】原点（0，0）到直线l的距离小于或等于1，故直线l一定经过圆面 x2+y21 内的点，画图可得与直线l一定有公共点的曲线的序号是AC【解答】解：原点（0，0）到直线l的距离小于或等于1，故直线l一定经过圆面x2+y21 内的点，如图所示：故与直线l一定有

18、公共点的曲线的序号是AC，故选：AC【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数形结合和的数学思想，判断直线l一定经过圆面x2+y21 内的点是解题的关键，属于基础题12（5分）在ABC中，AC3，BC4，AB5，点E、F分别为边AB，BC上的两点（不与端点重合），且EFAB，将BEF沿EF折起，使平面BEF平面ACFE，则下列说法正确的是（）AEF平面ABEB若E为AB的中点，三棱锥EABC的体积等于三棱锥BACF的体积C若F为BC的中点，三棱锥FABC的体积为DBC上存在两个不同的点F，G，使得【分析】由线面垂直和面面垂直的判断和性质，结合棱锥的体积公式，和等积法的运用，可判断结论【

19、解答】解：由BEEF，EFAE，可得EF平面ABE，故A正确；由BEEF，平面BEF平面ACFE，可得BE平面ACFE，可设BE4t，（0t），BF5t，EF3t，E为AB的中点时，t，可得VEABCVBACEBESACE23，VBAFCVBACEBESACF（4）3，故B错误；F为BC的中点时，t，VFABCVBACFBESACF23，故C正确；由，可得4t3（45t），化为10t28t+0，解得t，可得该方程在（0，）有两个不等的正根，故D正确故选：ACD【点评】本题考查空间线面的位置关系，以及棱锥的体积的求法，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共

20、20分.13（5分）已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A（3，5，2），B（2，7，0），则3【分析】利用两点间距离公式直接求解【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，点A（3，5，2），B（2，7，0），3故答案为：3【点评】本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是64【分析】通过SAB的面积为8求得母线长，利用母线与底面所成角可得轴截面为120等腰三角形，易得外接球球心和半径，得解【解答】解：如图，设母线长为a，SASB，

21、a4，SAM30，ASC120，延长SM使MOMS，则O为外接球球心，半径为4，表面积为64，故答案为：64【点评】此题考查了圆锥外接球，难度不大15（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA1ACBC1，则异面直线BC1与A1B1所成角为；二面角ABC1C的余弦值是【分析】建立如图空间直角坐标系，求出，利用夹角公式求出异面直线BC1与A1B1所成角，再求出平面ABC的一个法向量，利用夹角公式求出即可【解答】解：建立如图空间直角坐标系，A（0，1，0），B（1，0，0），C（0，0，1），由cos，故异面直线BC1与A1B1所成角为，设平面ABC的一个法向量为，由，由a1，

22、得（1，1，1），平面BC1C的一个法向量，cos，故答案为：；【点评】考查向量法求异面直线的交集，向量法求二面角的余弦值，中档题16（5分）已知O为坐标原点，F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，过点F1且斜率为的直线与椭圆C交于点P，且|OP|OF2|，则椭圆C的离心率为【分析】由于|OF|为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点P的坐标，代入椭圆标准方程即可得椭圆的离心率【解答】解：O为坐标原点，F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，过点F1且斜率为的直线与椭圆C交于点P，且|OP|OF2|，椭圆上点P使POF为正三角形，设F为右焦点，|OF|c，P在第一象限，点P的坐标为（，）代入椭圆

23、方程得：+1，e，即+1，e（0，1）解得e1故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其求法，属基础题四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知命题p：方程表示双曲线，命题q：方程表示椭圆或圆，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围【分析】根据题意，由双曲线、椭圆的标准方程分析两个命题为真命题时m的取值范围，结合充分必要条件的定义可得m|kmk+1是m|3m2的真子集，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，对于命题p：因为方程表示双曲线，所以（m2）（m+3）0，解得3m2，对于命题q：因为方

24、程表示椭圆或圆，所以，得kmk+1，因为p是q的必要不充分条件，所以m|kmk+1是m|3m2的真子集，所以，所以3k1经检验满足条件，所以k的取值范围3，1【点评】本题考查充分必要条件的定义以及应用，涉及双曲线、椭圆的标准方程，属于基础题18（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，0），N（5，0），P（x，y）为曲线C上任一点，P到点M的距离和到点N的距离的比值为2；圆C经过A（4，0），B（6，2），且圆心在直线xy60上从中任选一个条件（1）求曲线C的方程；（2）若直线xay+4被曲线C截得弦长为2，求a的值【分析】（1）选择条件，运用两点的距离公式，化简可得所求方程；选择条

25、件，求得AB的垂直平分线方程，以及圆心C，半径r，可得所求方程；（2）运用点到直线的距离公式和勾股定理，解方程可得所求值【解答】解：（1）选择条件则，即，所以，整理得：x2+y212x+320，即（x6）2+y24选择条件，A（4，0），B（6，2）的中点为E（5，1），所以AB的垂直平分线方程为y1（x5），即x+y60，所以，解得圆心C（6，0）r|CA|2，所以曲线C的方程为（x6）2+y24（2）直线xay+4被曲线C截得弦长为2，圆心到直线的距离由点到直线的距离公式可得，解得【点评】本题考查曲线方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查方程思想和运算能力，属

26、于中档题19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，边长为2，且A1AB60，ACBC，D是AB的中点（1）求证：BC1平面A1DC；（2）若平面ABB1A1平面ABC，A1C与平面ABC所成的角为45，求四棱锥A1BCC1B1的体积【分析】（1）连接C1A，设A1CAC1E，连接DE推导出DEBC1由此能证明BC1平面A1DC（2）推导出A1DAB，从而A1D平面ABC，进而A1CD为A1C与平面ABC所成的角，A1CD45，推导出CDAB四棱锥A1BCC1B1的体积为，由此能求出结果【解答】解：（1）证明：连接C1A，设A1CAC1E，连接DE因为三棱柱的侧面

27、AA1C1C为平行四边形，所以E为A1C的中点在ABC1中，因为D是AB的中点，所以DEBC1因为DE平面A1DC，BC1平面A1DC，所以BC1平面A1DC（2）因为A1AB为正三角形，所以A1DAB，因为平面ABB1A1平面ABC，平面ABB1A1平面ABCAB，所以A1D平面ABC，所以A1CD为A1C与平面ABC所成的角，所以A1CD45，所以，因为ACBC，D为AB中点，所以CDAB所以四棱锥A1BCC1B1的体积为：【点评】本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知抛物线C：y22p

28、x（p0）的焦点为F，A为抛物线上一点，O为坐标原点，OFA的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为6（1）求抛物线C的方程；（2）已知点B（1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，若MBONBO，证明直线l过定点并写出定点坐标【分析】（1）由抛物线的性质和垂直平分线的性质可得p，进而得到抛物线方程；（2）设MN的方程为ykx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，结合直线的斜率公式，计算可得所求定点【解答】解：（1）因为OFA的外接圆与抛物线的准线相切，所以OFA的外接圆的圆心到准线的距离等于半径，因为外接圆的周长为6，所以圆的半径为3，又圆心在

29、OF的垂直平分线上，解得：p4，所以抛物线C的方程为y28x（2）设MN的方程为ykx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），由得k2x2+（2kb8）x+b20，6432kb0，则kb2所以，因为MBONBO，所以kBM+kBN+0，即，化简得2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b0，所以，所以bk，所以MN的方程为yk（x1），恒过定点（1，0）【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，属于中档题21（12分）正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C

30、到达点P的位置，平面PEF平面ABFD（1）证明：PF平面PDE；（2）求二面角BAPD的余弦值【分析】（1）根据面面垂直先证明线面垂直，得到线线垂直ADPF，再证明出结论即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量为，和向量，再根据向量的夹角公式求出即可【解答】解：（1）由已知可得，平面PEF平面ABFD，BF平面ABFD，BFEF，平面PEF平面ABFDEF，所以BF平面PEF，BFPF，又BFAD，所以ADPF，又PFPD，且ADPDD，所以PF平面PDE（2）作POEF，垂足为O由（1）得，PO平面ABFD以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐

31、标系Oxyz由（1）可得，DEPE又DP2，DE1，所以故PEPF可得，则O（0，0，0），由（1）知：PF为平面APD的法向量，设平面ABP的法向量为，则：，即，所以y0，令，则z2，则，所以二面角BAPD的余弦值为【点评】考查面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质，向量法求二面角的余弦值，中档题22（12分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆的四个顶点构成的四边形面积为（1）求椭圆C的方程；（2）若A是椭圆上的一点，过A且斜率等于的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D求ABD面积的最大值及取最大值时直线BD的方程【分析】（1）根据椭圆的离心率及，即可求得a与b的值，求得椭圆方程；（2

32、）根据椭圆的点差法，求得直线BD的斜率，设直线BD的方程，代入椭圆方程，由0，求得t的取值范围，由韦达定理及三角形的面积公式，利用基本不等式，即可求得当时，SABD取得最大值，因此表示出直线BD的方程【解答】解：（1）根据题意，椭圆C：的离心率为，则有，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为，则有，又a2b2+c2，解得，故椭圆C的方程为（2）设D（x1，y1），B（x2，y2），则A（x1，y1），直线BD的斜率，由，两式相减，由直线，所以连结OB，因为A，D关于原点对称，所以SABD2SOBD，设BD方程为yx+t，联立方程组，消去y，整理得：5x2+6tx+3t260，36t220（3t26）0，得，所以当时，SABD取得最大值此时直线BD的方程为【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形的面积公式的应用，考查利用基本不等式求函数的最值，考查转化思想，计算能力，属于中档题