2019-2020学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题p：x1，x2+2x30的否定是（）Ax1，x2+2x30Bx1，x2+2x30Cx1，x2+2x30Dx1，x2+2x302（5分）已知向量（1，0，3），（0，1，2），（3，1，0），则（）（）A3B3C9D03（5分）已知数列an为等差数列，Sn是其前n项和，若a43，a95，则S12（）A96B72C48D604（5分）点P为椭圆上位于第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则PMO的面积的最大

2、值为（）ABC3D5（5分）已知数列an满足an0，则“a1a4a2a3”是“an为等比数列”的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件6（5分）已知椭圆E：与双曲线C：有共同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）ABCD7（5分）按照下列图形中的规律排下去，第6个图形中包含的点的个数为（）A108B128C148D1688（5分）已知直线ykx与双曲线C：的左、右两支分别交于A、B两点，F为双曲线的右焦点，其中，则双曲线C的离心率e（）A2BCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分

3、选对的得3分，有选错的得0分.9（5分）已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有（）ABC若，则abD若ab0，cd0，则acbd10（5分）若“x2+3x40”是“x2（2k+3）x+k2+3k0”的充分不必要条件，则实数k可以是（）A8B5C1D411（5分）已知方程mx2+ny21，其中m2+n20，则（）Amn0时，方程表示椭圆Bmn0时，方程表示双曲线Cn0时，方程表示抛物线Dnm0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆12（5分）已知数列an满足a11，则下列结论正确的有（）A为等比数列Ban的通项公式为Can为递增数列D的前n项和三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.个13

4、（5分）各项互不相等的等比数列an满足a5a7aman，则的最小值为 14（5分）直线ykx+2与焦点在x轴上的椭圆恒有两个公共点，则实数b的取值范围是 15（5分）在二面角AB中，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB，已知ABAC2，BD4，若CD4，则向量与所成的角为 16（5分）已知抛物线的方程为x22py（p0），过抛物线的焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，|AB|8，则p ，M为抛物线弧上的动点，AMB面积的最大值是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）若aR，解关于x的不等式ax2+（a+1）x+1018

5、（12分）已知等差数列an，a14，前n项和为Sn，各项为正数的等比数列bn满足：，2b5b3b4，S9b49（1）求数列an和bn的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，存在一系列的点，Qn（bn，1，1），若，求数列cn的前n项和Tn19（12分）某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处农业生态园建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2万元从第一年起，每年收入都为36万元设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）前n年的总收入前n年的总支出费用投资额）（1）求f（n）的表达式，计算前多少

6、年的纯利润总和最大，并求出最大值；（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值20（12分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点（1，2）（1）求抛物线C的标准方程；（2）斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程，并求线段AB的长21（12分）如图（1），在直角梯形ABCQ中，D为CQ的中点，四边形ABCD为正方形，将ADQ沿AD折起，使点Q到达点P，如图（2），E为PC的中点，且DECE，点F为线段PB上的一点（1）证明：DECF；（2）当DF与DE夹角最小时，求平面PDF与平面CDF所成锐二面角的余弦值22（12分）在以A（2，0）为圆心，6

7、为半径的圆A内有一点B（2，0），点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP交于点M（1）判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；（2）记点M的轨迹为曲线，过点B的直线与曲线交于C，D两点，求的最大值；（3）在圆x2+y214上的任取一点Q，作曲线的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，并给出证明过程2019-2020学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题p：x1，x2+2x30的否定是（）Ax1，x2+2x30Bx1，x2+2x30C

8、x1，x2+2x30Dx1，x2+2x30【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题是全称命题，则否定是特称命题，即x1，x2+2x30，故选：D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键比较基础2（5分）已知向量（1，0，3），（0，1，2），（3，1，0），则（）（）A3B3C9D0【分析】利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出【解答】解：（）（1，0，3）（3，2，2）3+0+63故选：B【点评】本题考查了空间向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知数列an为等差数列，Sn是

9、其前n项和，若a43，a95，则S12（）A96B72C48D60【分析】本题根据等差数列的求和公式及等差中项a1+a12a4+a9，即可得到S12的值【解答】解：由题意，可知S126（a1+a12）6（a4+a9）6（3+5）48故选：C【点评】本题主要考查等差数列的基础知识，等差中项和求和公式的应用本题属基础题4（5分）点P为椭圆上位于第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则PMO的面积的最大值为（）ABC3D【分析】设出P的坐标，表示三角形的面积，利用基本不等式转化求解即可【解答】解：由题意，可设P（x，y）x0，y0，点P满足椭圆，所以过点P作x轴的垂线，垂足为

10、M，O为坐标原点，则PMO的面积：，当且仅当，并且，即x，y时取等号故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质以及基本不等式的应用，是中档题5（5分）已知数列an满足an0，则“a1a4a2a3”是“an为等比数列”的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】由“an为等比数列”“a1a4a2a3”，反之不成立，可以举例说明【解答】解：“an为等比数列”“a1a4a2a3”，反之不成立，例如a12，a41，a23，a3“a1a4a2a3”是“an为等比数列”的必要不充分条件故选：C【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理

11、能力与计算能力，属于基础题6（5分）已知椭圆E：与双曲线C：有共同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）ABCD【分析】求得椭圆的焦点坐标，可得双曲线的c，求得a，可得双曲线的渐近线方程【解答】解：椭圆E：的焦点为（2，0），（2，0），可得双曲线的c2，即a2+14，可得a，则双曲线的渐近线方程为yx，故选：B【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及运算能力，属于基础题7（5分）按照下列图形中的规律排下去，第6个图形中包含的点的个数为（）A108B128C148D168【分析】第一个图形中中有a13个点，第2个图形中有a23+（3+61）个点，第3个图形中有a33+（3+61）+（3+6

12、2）个点，第4个图形中有a43+（3+61）+（3+62）+（3+63）个点，由此利用等差数列求和公式能求出第6个图形中包含的点的个数【解答】解：第一个图形中中有a13个点，第2个图形中有a23+（3+61）个点，第3个图形中有a33+（3+61）+（3+62）个点，第4个图形中有a43+（3+61）+（3+62）+（3+63）个点，第6个图形中包含的点的个数为：a63+（3+61）+（3+62）+（3+63）+（3+64）+（3+65）36+6（1+2+3+4+5）108故选：A【点评】本题考查第6个图形中包含的点的个数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分

13、）已知直线ykx与双曲线C：的左、右两支分别交于A、B两点，F为双曲线的右焦点，其中，则双曲线C的离心率e（）A2BCD【分析】取左焦点为F1，连接AF1，BF1，可得四边形AFBF1是矩形，由BF1AF2BF及双曲线的定义知BF2a，再分别求出OB，OF，BF，由勾股定理列出方程，可得，即可得到离心率【解答】解：取左焦点为F1，连接AF1，BF1，如图所示，由题意知，且四边形AFBF1是矩形，易知BF1AF2BF，由双曲线的定义知BF1BF2a，两式联立可得BF2a，则，由双曲线的对称性知，在 RtABC中，即4a2+3a2c2，所以 故选：D【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的

14、位置关系，双曲线离心率的求法，属于中档题离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 a，c，从而求出e；构造a、c的齐次式，求出e；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9（5分）已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有（）ABC若，则abD若ab0，cd0，则acbd【分析】结合基本不等式及不等式的性质检验各选项即可判断【解答】解：由于2（a2+b2）（a+b）2a2+b22ab（ab）20，故，

15、故A正确；B中，当a1时显然不成立，B错误；C中：a1，b1显然有，但ab，C错误；D中：若ab0，cd0，则ab0，cd0，则根据不等式的性质可知acbd0，故D正确故选：AD【点评】本题主要考查了不等式性质的简单应用，属于知识的灵活利用10（5分）若“x2+3x40”是“x2（2k+3）x+k2+3k0”的充分不必要条件，则实数k可以是（）A8B5C1D4【分析】分别解出”x2+3x40”，“x2（2k+3）x+k2+3k0”，根据x2+3x40”是“x2（2k+3）x+k2+3k0”的充分不必要条件，即可得出【解答】解：“x2+3x40”4x3“x2（2k+3）x+k2+3k0”xk，或

16、xk+3“x2+3x40”是“x2（2k+3）x+k2+3k0”的充分不必要条件，3k，或4k+3，解得：k3，或k7，则实数k可以是AD故选：AD【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（5分）已知方程mx2+ny21，其中m2+n20，则（）Amn0时，方程表示椭圆Bmn0时，方程表示双曲线Cn0时，方程表示抛物线Dnm0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆【分析】由椭圆方程和双曲线方程、抛物线方程的特点，可判断结论【解答】解：方程mx2+ny21，其中m2+n20，当m0，n0时，方程不表示椭圆，故A错；当mn0时，方程表示双曲线，故B对；当

17、n0时，mx21，m0，方程表示两条直线；m0时，不表示任何图象，故C错；nm0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故D对故选：BD【点评】本题考查方程表示的曲线，注意运用分类讨论思想，属于基础题12（5分）已知数列an满足a11，则下列结论正确的有（）A为等比数列Ban的通项公式为Can为递增数列D的前n项和【分析】首先利用定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的和【解答】解：数列an满足a11，整理得：2an+1+3anan+1an，转换为，故：，所以是以为首项，2为公比的等比数列故：，整理得则：an为递减数列进一步整理得：，所以的前n项和：，故选：ABD【点评】本题考查的知识要点：数列的通项

18、公式的求法及应用，数列的前n项和的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.个13（5分）各项互不相等的等比数列an满足a5a7aman，则的最小值为【分析】结合等比数列的性质可求m+n，然后利用基本不等式即可求解【解答】解：因为a5a7aman，由等比数列的性质可知，m+n5+712，则（）（m+n），当且仅当且m+n12即m4，n8时取等号，此时取得最小值故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的性质及利用基本不等式求解最值，属于基础试题14（5分）直线ykx+2与焦点在x轴上的椭圆恒有两个公共点，则实数b的取值范围

19、是（2，4）【分析】根据椭圆的焦点在x轴上，及点（0，2）在椭圆内部，即可求得b的取值范围【解答】解：由椭圆的焦点在x轴上，则0b216，即0b4，上顶点为（0，2），直线ykx+2（kR），直线恒过点（0，2），所以此点必定在椭圆中即可，所以b2，综上可知：实数b的取值范围是（2，4），故答案为：（2，4）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆的交点问题，考查转化思想，属于基础题15（5分）在二面角AB中，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB，已知ABAC2，BD4，若CD4，则向量与所成的角为【分析】根据题意，设向量与所成的角为，由向量加法公式可得+，由向量模的公式可

20、得|2（）2（+）22+2+2+2+2+2，代入数据计算可得cos的值，分析可得答案【解答】解：根据题意，设向量与所成的角为，则有+，则有|2（）2（+）22+2+2+2+2+2，又由ABAC2，BD4，CD4，且ACAB，BDAB，则有164+4+16+242cos，解可得cos，则；故答案为：【点评】本题考查空间向量夹角的计算，涉及二面角的平面角的定义，属于基础题16（5分）已知抛物线的方程为x22py（p0），过抛物线的焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，|AB|8，则p2，M为抛物线弧上的动点，AMB面积的最大值是【分析】先求出AB直线的方程，把它带入抛物线的方程，利用韦达定

21、理及|AB|AF|+|BF|8，求出p的值设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为yx+m，代入抛物线方程，由判别式等于零求出m，可得两平行直线间的距离，从而得到AMB面积的最大值【解答】解：抛物线的方程为x22py（p0），过抛物线的焦点F，且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，故直线AB的方程为yx0，即 yx+，且直线AB的倾斜角为45代入抛物线的方程为x22py，可得x22pxp20设A、B两点的横坐标分别为 m、n，mn，由韦达定理可得m+n2p，mnp2|AB|AF|+|BF|（yA+ ）+（yB+）（m+）+（n+）+8m+n+2p4p8，p2，故抛物线的方程为 x24y，A

22、B直线为yx+1设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为yx+m，代入抛物线方程，得x24x4m0由42+16m0，得m1与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为yx1，两直线间的距离为d，AMB面积的最大值为 |AB|d84，故答案为：2；4【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）若aR，解关于x的不等式ax2+（a+1）x+10【分析】讨论a与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，从而求出不等式的解集【解答】解：当a0时，x1 （2分）当a0时，当a

23、0时，解得 （4分）当a0时，当a1时，x1 （6分）当0a1时，或x1当a1时，x1，或 （8分）当a0时，解集是；当a0时，解集是（1，+）；当0a1时，解集是；当a1时，解集是 （10分）【点评】本题主要考查了不等式的求解，同时考查了分类讨论的数学思想，解题的关键是讨论的标准，属于中档题18（12分）已知等差数列an，a14，前n项和为Sn，各项为正数的等比数列bn满足：，2b5b3b4，S9b49（1）求数列an和bn的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，存在一系列的点，Qn（bn，1，1），若，求数列cn的前n项和Tn【分析】（1）设数列an的公差为d，bn的公比为q，

24、运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）设数列an的公差为d，bn的公比为q，2b5b3b4，2q21q，得，q1（舍），又，S9b49，解得a516，又a14，an4+（n1）33n+1（2）由（1）得an3n+1，式等号两边同乘以，得，得【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，错位相减法求和，属于 中档题19（12分）某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处农业生态园建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元

25、，以后每年支出费用增加2万元从第一年起，每年收入都为36万元设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）前n年的总收入前n年的总支出费用投资额）（1）求f（n）的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值【分析】（1）根据题意，可知每年的支出费用组成首项为11，公差为2的等差数列，然后求出总支出，再根据利润的计算公式求出f（n），进一步求出最大值；（2）由（1）知，前n年的年平均纯利润为，然后利用基本不等式求出其最大值【解答】解：（1）由题意，每年的支出费用组成首项为11，公差为2的等差数列，故前n年的总支出费用为，f（n）36n（n2

26、+10n）64n2+26n64，nN*又f（n）（n13）2+105，n13时，f（n）取得最大值105，即前13年的纯利润总和最大，且最大值为105万元（2）由（1）知，前n年的年平均纯利润为，当且仅当，即n8时等号成立，即前8年的年平均纯利润最大，且最大值为10万元【点评】本题考了函数的最值及其几何意义，二次函数的性质和利用基本不等式求最值，考查了函数思想和转化思想，属中档题20（12分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点（1，2）（1）求抛物线C的标准方程；（2）斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程，并求线段AB的长【分析】（1）由焦点在x

27、轴上，设抛物线的标准方程，由过点的坐标代入即可求出抛物线的标准方程；（2）两种方法求直线方程和弦长，法i：由过中点M设直线的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，由中点的坐标求出斜率k的值，进而求出直线方程，代入弦长公式求出弦长；法ii：由中点坐标设A，B的坐标，用点差法求出直线的斜率，进而求出直线的方程，将直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，代入弦长公式求出弦长【解答】解：（1）由题意知，抛物线开口向右，设方程为y22px（p0）（1，2）在抛物线上，2p4，p2，抛物线C的方程为y24x（2）法i）由题意，设直线l的方程为：，联立y24x，消y得由已知，k0，设A（x1，y1），B（

28、x2，y2），则，为AB的中点，解得，代入式检验，得800，符合题意直线l的方程为：此时，x1+x26，x1x24，又，直线l的方程为：，线段AB的长为法ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以由中点M的纵坐标为可得：y1+y22，将A，B代入抛物线：，两式相减：y12y224（x1x2），所以可得直线l的斜率k，又过M点，所以直线l的方程为：y（x3），即y20直线与抛物线联立：，整理得：x26x+40，x1+x26，x1x24，所以弦长AB2所以直线l的方程为：y20，弦长AB的长为：2【点评】考查抛物线的求法及直线与抛物线的综合应用，属于中档题21（12分）如图（1），在直角梯形

29、ABCQ中，D为CQ的中点，四边形ABCD为正方形，将ADQ沿AD折起，使点Q到达点P，如图（2），E为PC的中点，且DECE，点F为线段PB上的一点（1）证明：DECF；（2）当DF与DE夹角最小时，求平面PDF与平面CDF所成锐二面角的余弦值【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，求出向量，利用向量的数量积为0，证明即可；（2）求出cos，根据题意，求出，再求出平面DFC的一个法向量，利用向量的夹角公式，求出即可【解答】解：由ABCD为正方形，得ADPD，ADCD，E为PC的中点，DECEPE，PDC90，即PDCD设AB1，建立以D为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示，则D（0，0，

30、0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1）点F在线段PB上，设，又，又，又，又，即DECF，（2）由（1）知，cos，当时，最大，最小，此时由题知，平面PDF的一个法向量为，设平面DFC的一个法向量，即，取x2，得z1，则，平面PDF与平面CDF所成锐二面角的余弦值为【点评】考查向量法在证明直线的垂直，求二面角的余弦值中的应用，中档题22（12分）在以A（2，0）为圆心，6为半径的圆A内有一点B（2，0），点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP交于点M（1）判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；（2）记点M的轨迹为曲线，过点B的直线与

31、曲线交于C，D两点，求的最大值；（3）在圆x2+y214上的任取一点Q，作曲线的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，并给出证明过程【分析】（1）由垂直平分线的性质和椭圆的定义，可得所求轨迹和方程；（2）讨论当直线CD斜率不存在时，当CD斜率存在时，设为k，直线方程为yk（x2），联立椭圆方程，运用韦达定理，以及数量积的坐标表示，不等式的性质可得所求最大值；（3）设点Q（m，n），讨论当两切线中有一条切线斜率不存在时，当斜率存在时，设出切线方程，联立椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，即可得到结论【解答】解：（1）由题知：|MA|+|MB|6|AB|，点M的轨迹是以A、B为焦

32、点的椭圆由2a6，得a3，又c2，椭圆的标准方程为（2）当直线CD斜率不存在时，直线方程为x2，则，当CD斜率存在时，设为k，直线方程为yk（x2），与联立，消y得（5+9k2）x236k2x+36k2450，则（36k2）24（5+9k2）（36k245）900k2+9000，设C（x1，y1），D（x2，y2），则综上，的最大值为（3）垂直证明如下：设点Q（m，n），则m2+n214当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x轴垂直时，切线方程为x3，即m3，得，另一条切线方程为，即与x轴平行，两切线垂直当斜率存在时，m29，设切线方程为yk（xm）+n，联立，消y得（5+9k2）x2+18k（nkm）x+9（nkm）2450由于直线与椭圆相切，得18k（nkm）24（5+9k2）9（nkm）2450化简得（m29）k22mnk+n250m290，即两条切线相互垂直综上，过点Q作的两条切线QE与QF垂直【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义和方程、性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线和椭圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题