2019-2020学年山东省临沂市兰陵县高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020学年山东省临沂市兰陵县高二（上）期末数学试卷一、单项选择题，本题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数3+2i的共轭复数的虚部为（）A2iB2iC2D22（5分）设命题p：所有正方形都是平行四边形，则p为（）A所有正方形都不是平行四边形B有的平行四边形不是正方形C有的正方形不是平行四边形D不是正方形的四边形不是平行四边形3（5分）设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是（）AacbdBacbdCa+db+cDa+cb+d4（5分）设p：2x2，q：log2x0，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条

2、件D既不充分也不必要条件5（5分）庄子天下篇中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”如果经过n天，该木锤剩余的长度为an（尺），则an与n的关系为（）AanBan1CanDan16（5分）若两个向量（1，2，3），（3，2，1），则平面ABC的一个法向量为（）A（1，2，1）B（1，2，1）C（1，2，1）D（1，2，1）7（5分）直线yx+2与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（）A（，0）（1，+）B（0，3）（3，+）C（1，3）（3，+）D（1，+）8（5分）已知F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点，且PF1F22PF2F

3、1，则这个双曲线的离心率是（）AB+2C+1D9（5分）下列不等式的证明过程正确的是（）A若a0，b0，则B若x，yR*，则C若x为负实数，则D若x为负实数，则10（5分）下列命题是真命题的是（）A若|，则，的长度相等而方向相同或相反B若，为空间的一个基底，则+，+，+构成空间的另一个基底C若两个非零向量与满足，则D若空间向量，满足，且与同向，则11（5分）已知双曲线C过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）A双曲线C的方程为B双曲线C的离心率为C曲线yex+21经过C的一个焦点D直线x2y10与C有两个公共点12（5分）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a

4、11，a7a81，则下列结论正确的是（）A0q1Ba7a91CTn的最大值为T7DSn的最大值为S7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若（xi）iy+2i（x，yR），则复数x+yi 14（5分）若x，yR*且满足x+y2，则xy的最大值为 15（5分）如图，过抛物线y24x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若，则直线AB的方程 |AB| 16（5分）如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是PB、PC上的点，AEPB，AFPC，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC其中正确结论的序号是 四、解

5、答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）记Sn为等差数列an的前n项和已知S28，S39（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最大值18（12分）已知命题p：方程的曲线是焦点在x轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m2）x+30有实根若p为真，q为假，求实数m的取值范围19（12分）等比数列an的各项均为正数，且a1+6，9a12a2a4（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog3a1+log3a2+log1an，求数列的前n项和20（12分）已知抛物线C：y22px（0p2）的焦点为F，M（x0，2）是C上的一点，且（1）求C的方程

6、；（2）斜率为的直线l交C于A、B两点，且，求l的方程21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CAC2，ABBC，且ABBC，O为AC中点（1）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（2）在BC1上是否存在一点E，使得OE平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置22（12分）已知椭圆经过点离心率（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N分别是椭圆长轴的左、右端点，动点D满足DNMN，连接MD交椭圆于点Q问：x轴上是否存在异于点M的定点G，使得以QD为直径的圆恒过直线QN，GD的交点？若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由20

7、19-2020学年山东省临沂市兰陵县高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题，本题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数3+2i的共轭复数的虚部为（）A2iB2iC2D2【分析】直接利用共轭复数的概念得答案【解答】解：复数3+2i的共轭复数为32i，复数3+2i的共轭复数的虚部为2故选：C【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题2（5分）设命题p：所有正方形都是平行四边形，则p为（）A所有正方形都不是平行四边形B有的平行四边形不是正方形C有的正方形不是平行四边形D不是正方形的四边形不是平行四边形【分析】找出条件和结论，

8、否定条件和结论【解答】解：命题的否定为否定量词，否定结论故p，有的正方形不是平行四边形故选：C【点评】本题考查命题的否定，为基础题3（5分）设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是（）AacbdBacbdCa+db+cDa+cb+d【分析】根据不等式的基本性质知D正确，取a0，b1，d0，c1可排除ABC【解答】解：ba，dc，a+cb+d，故D正确；取a0，b1，d0，c1可知ABC不正确故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题4（5分）设p：2x2，q：log2x0，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据题意，求出p、q两个命

9、题成立时x的取值范围，进而分析可得答案【解答】解：根据题意，对于p：2x2，解可得x1，对于q：log2x0，解可得0x1，分析可得：若p成立，q不一定成立，反之若q成立，则p一定成立，则p是q的必要不充分条件；故选：B【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及指数、对数不等式的解法，属于基础题5（5分）庄子天下篇中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”如果经过n天，该木锤剩余的长度为an（尺），则an与n的关系为（）AanBan1CanDan1【分析】根据木锤前几天的剩余量，得到数列an满足的关系，由此即可解决问题【解答】解：依题意，解：由题意可得：第一次剩下尺，第二次剩下尺，第三次剩下尺

10、，则第n天后“一尺之棰”剩余的长度为：尺，故选：A【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题本题属于基础题6（5分）若两个向量（1，2，3），（3，2，1），则平面ABC的一个法向量为（）A（1，2，1）B（1，2，1）C（1，2，1）D（1，2，1）【分析】设平面ABC的一个法向量（x，y，z），则，由此能求出平面ABC的一个法向量【解答】解：两个向量，设平面ABC的一个法向量（x，y，z），则，取x1，得平面ABC的一个法向量为（1，2，1）故选：A【点评】本题考查平面的法向量的求法，考查平面的法向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5分）直

11、线yx+2与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（）A（，0）（1，+）B（0，3）（3，+）C（1，3）（3，+）D（1，+）【分析】根据椭圆方程的条件及将直线代入椭圆方程，利用判别式，即可求解m的取值范围【解答】解：由表示椭圆，则m0且m3，联立方程组，消去y，整理得（3+m）x2+4mx+m0，因为直线与椭圆有两个公共点，则有，解得，综上满足条件的m的取值范围是（1，3）（3，+）故选：C【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，代入消元，转化为一元二次方程是解决本题的关键，属于基础题8（5分）已知F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个

12、交点，且PF1F22PF2F1，则这个双曲线的离心率是（）AB+2C+1D【分析】先设|F1F2|2c，由题意知F1F2P是直角三角形，利用PF1F260，求出|PF1|、|PF2|，根据双曲线的定义求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得【解答】解：设|F1F2|2c，由于P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点则F1F2P是直角三角形，F1PF290，由PF1F22PF2F1，则PF1F260，|PF2|c，|PF1|c，|PF2|PF1|cc2a，e+1故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题9（5分）下列不等式的

13、证明过程正确的是（）A若a0，b0，则B若x，yR*，则C若x为负实数，则D若x为负实数，则【分析】结合基本不等式的应用条件：一正，二定，三相等，对各选项进行检验判断即可【解答】截：由a0，b0可得，则由基本不等式可得，2，故A正确；x，yR时，lgx，lgy有可能为0或负数，不符合基本不等式的条件，B错误；若x0，则x+，C错误；x0时，2x0，由基本不等式可得，2x+2x2，故D正确故选：AD【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的配凑，一正二定三相等条件要注意10（5分）下列命题是真命题的是（）A若|，则，的长度相等而方向相同或相反B若，为空间的一个基底，则+，+，+构成空间的另一个

14、基底C若两个非零向量与满足，则D若空间向量，满足，且与同向，则【分析】由向量的概念判断A；由共面向量及空间的基底的概念判断B；利用共线向量基本定理判断C；由两个向量不能比较大小判断D【解答】解：对于A，由|，得a，b的长度相等，但两向量的方向可以是任意的，故A错误；对于B，若为空间向量的一组基底，则三个向量不共面，则，也不共面，故，构成空间向量的一组基底，故B正确；对于C，若两个非零向量与满足，即，故C正确；对于D，由两个向量不能比较大小，知D错误故选：BC【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间向量的有关概念，是基础题11（5分）已知双曲线C过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）A双曲

15、线C的方程为B双曲线C的离心率为C曲线yex+21经过C的一个焦点D直线x2y10与C有两个公共点【分析】由双曲线的渐近线为，可设双曲线方程为，代入已知点的坐标求得，可得双曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断B，C；联立直线方程与双曲线方程，利用判别式法判断D【解答】解：由双曲线的渐近线为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即1双曲线C的方程为，故A正确；由a23，b21，得c，双曲线C的离心率为，故B错误；取x+20，得x2，y0，曲线yex+21过定点（2，0），故C正确；联立，得x2+6x150，由36+60960，可得直线x2y10与C有两个公共点，故D正确故选：ACD【点评】本题

16、考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单性质，是中档题12（5分）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a7a81，则下列结论正确的是（）A0q1Ba7a91CTn的最大值为T7DSn的最大值为S7【分析】由已知结合等比数列的性质判断0q1，得到A正确，再由1判断B正确，构造数列lgan，可知该数列是递减数列，从第8项开始小于零，故前7项和lgTn最大，即Tn的最大值为T7，故C正确；由0q1，a11，可知数列各项均为正的，Sn没有最大值，判断D错误【解答】解：等比数列an，公比为q，由a11，a7a81，得q0，由，得a71，

17、a81，若不然，a8a7，则q1，又a11，数列ana1qn11，则a71，a81，0不成立，故q1，0q1成立，故A正确；1，故B正确；由a71，a81，构造数列lgan，则该数列为等差数列，公差dlgq，得lga70，lga80，又lga10，数列lgan是递减数列，从第8项开始小于零，故前7项和lgTn最大，即Tn的最大值为T7，故C正确；0q1，a11，数列各项均为正的，Sn没有最大值，故D错误故选：ABC【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了等差数列与等比数列的性质和前n项和公式，是中档题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若（xi）iy+2i（x，yR

18、），则复数x+yi2+i【分析】根据复数相等的关系即可得到结论【解答】解：若（xi）iy+2i1+xi（x，yR），则y1且x2，则x+yi2+i，故答案为：2+i【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础14（5分）若x，yR*且满足x+y2，则xy的最大值为1【分析】结合已知，利用基本不等式xy即可求解【解答】解：x，yR*满足x+y2，则xy1，当且仅当xy1时取等号，此时取得最大值1故答案为：1【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题15（5分）如图，过抛物线y24x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若，则直线AB的方程|AB|【分析】求出抛物

19、线的焦点坐标，准线方程，结合向量关系求出B，C的坐标，结合直线方程和弦长公式进行求解即可【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x1，设C（1，m），B（a，b），（2，m）3（a1，b）（3a3，3b），则3a32，m3b，即a，此时b24，得b，即m2，则C（1，2），则AB的斜率k，则直线方程为y（x1），代入y24x得3x210x+30，得x1+x2，即|AB|x1+x2+2+2，故答案为：y（x1），【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用向量关系求出点的坐标是解决本题的关键难度中等16（5分）如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F

20、分别是PB、PC上的点，AEPB，AFPC，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC其中正确结论的序号是【分析】PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点BC平面PAC，继而可证BCAF，AFPC，从而易证AF平面PBC，从而可对作出判断【解答】解：PA圆O所在的平面，BC，PABC，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，BCAC，又PAACA，BC平面PAC，AF平面PAC，BCAF，又AFPC，PCBCC，AF平面PBC，PB平面PBC，AFPB，即正确；又AEPB，同理可证PB平面AFE，EF平面AFE，EFPB，即正确；由BC平面PAC，AF平面PAC知，B

21、CAF，即正确；AF平面PBC（前边已证），AEAFA，AE不与平面PBC垂直，故错误，综上所述，正确结论的序号是故答案为：【点评】不同考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与线面垂直的性质定理，考查推理与证明的能力，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）记Sn为等差数列an的前n项和已知S28，S39（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最大值【分析】本题第（1）题根据等差数列的定义及等差中项的性质即可计算出首项a1，公差d，即可求出an的通项公式；第（2）题根据等差数列的求和公式写出Sn的表达式，然后根据二次

22、函数的性质即可得到Sn的最大值【解答】解：（1）由题意，可知：S3a1+a2+a33a29，故a23又S28，即a1+a28，a15公差da2a12an52（n1）72n，nN*（2）由（1），可知a15，d2，（n3）2+9根据二次函数的性质，可知当n3时，Sn取得最大值9【点评】本题主要考查等差数列的基础知识，求和公式，以及函数思想的应用，数学运算能力本题属基础题18（12分）已知命题p：方程的曲线是焦点在x轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m2）x+30有实根若p为真，q为假，求实数m的取值范围【分析】结合双曲线的性质可求p为真时m的范围，由二次方程的根的存在条件可求q为真时m的范围

23、，结合复合命题的真假即可求解【解答】解：若方程的曲线是焦点在x轴上的双曲线，则满足，即，得m1，即p：m1，若方程4x2+4（m2）x+30有实根，则判别式16（m2）21630，即（m2）23，得或，即或，q为假，又p为真，即实数m的取值范围是【点评】本题主要考查了双曲线的性质及二次方程的根的存在条件及复合命题的真假关系的应用，属于基础试题，19（12分）等比数列an的各项均为正数，且a1+6，9a12a2a4（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog3a1+log3a2+log1an，求数列的前n项和【分析】（1）设数列an的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得所求；（2）求得

24、bn，由裂项相消求和可得所求和【解答】解：（1）设数列an的公比为q，由得，所以q29由条件可知q0，故q3由得，所以a13故数列an的通项公式为（2），故，所以数列的前n项和为【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题20（12分）已知抛物线C：y22px（0p2）的焦点为F，M（x0，2）是C上的一点，且（1）求C的方程；（2）斜率为的直线l交C于A、B两点，且，求l的方程【分析】（1）将点的坐标代入求出横坐标，再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出p的值，进而写出抛物线的方程；（2）由直线l的斜率设直线l的方程，与抛物线

25、联立求出两根之和及两根之积，再求直线OA，OB 的斜率，由斜率之积求出直线l的方程【解答】解：（1）将M（x0，2）代入y22px得，又，p1，p4（舍去），抛物线的方程为y22x（2）设直线，A（x1，y1），B（x2，y2），由得：，由，b4，直线方程为【点评】考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CAC2，ABBC，且ABBC，O为AC中点（1）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（2）在BC1上是否存在一点E，使得OE平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置【分析

26、】（1）由已知中AA1A1C，O为AC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得A1OAC，又由已知中侧面AA1C1C底面ABC，故A1O平面ABC，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出直线A1C的方向向量与平面A1AB的法向量，代入空间向量夹角公式，即可得到直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（2）设出E点的坐标，根据OE平面A1AB，则OE的方向向量与平面A1AB的法向量垂直，数量积为零，我们可以求出E点坐标，进而确定E点的位置【解答】证明：（1）因为A1AA1C，且O为AC的中点，所以A1OAC又由题意可知，平面AA1C1C平面ABC

27、，交线为AC，且A1O平面AA1C1C，所以A1O平面ABC（3分）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系由题意可知A1AA1CAC2，又ABBC，ABBC，OBAC1，所以得：O（0，0，0），A（0，1，0），C（0，1，0），B（1，0，0）则有：（1，1，0）设平面AA1B的一个法向量为n（x，y，z），则有，令y1，得x1，z所以cosn，直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为（8分）（2）设E（x0，y0，z0），即，得所以，得，令OE平面A1AB，得n0，即1+20，得，存在这样的点E，且E为BC1的中点（12分）【点评】本题考查的知识

28、点是向量语言表述面面垂直、平行关系，用空间向量求直线与平面的夹角，其中建立恰当的空间坐标系，将空间直线与平面的位置关系问题转化为空间向量的夹角问题是解答本题的关键22（12分）已知椭圆经过点离心率（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N分别是椭圆长轴的左、右端点，动点D满足DNMN，连接MD交椭圆于点Q问：x轴上是否存在异于点M的定点G，使得以QD为直径的圆恒过直线QN，GD的交点？若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）将点代入椭圆方程，根据椭圆的离心率求得a和b值，求得椭圆方程；（2）设直线方程，联立方程组，根据题意求得Q，设G点坐标，根据题意可知，即可求得G点坐标【解答】

29、解：（1）由点在椭圆上得，（1分）又，所以（2分）由得c23，a24，b21（3分）故椭圆C的标准方程为（4分）（2）存在定点G（1，0）使得以QD为直径的圆恒过直线QN，GD的交点理由如下：由（1）知，点M（2，0），N（2，0）由题意可设直线DM：yk（x+2），Q（x1，y1），D（2，4k）联立方程组，整理得（1+4k2）x2+16k2x+16k240（6分）方程显然有两个解，得，所以点（8分）设点G（x0，0）（x00），若存在满足题设的点G，则QNDG，（9分）由，及，故恒成立，所以x01（1分）故存在定点G（1，0）满足题设要求（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题