2019-2020学年山东省淄博七中1班高二（上）第一次月考数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020学年山东省淄博七中1班高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题：每小题5分，1-10题为单选题，11-12题为多选题1（5分）已知集合AxR|x29，集合BxR|2x6，则AB（）A3，6B（3，6）C（，32，+）D（，33，+）2（5分）已知i为虚数单位，实数a，b满足（2i）（abi）（8i）i，则ab的值为（）A6B6C5D53（5分）在ABC中，则（）ABCD4（5分）已知函数图象的相邻两对称中心的距离为，且对任意xR都有，则函数yf（x）的一个单调递增区间可以为（）ABCD5（5分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾

2、斯基1915年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）ABCD6（5分）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A72B36C24D187（5分）过抛物线y22px（p0）的焦点F作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于A，B两点，且AB的中点到抛物线准线的距离为4，则p的值为（）AB1C2D38（5分

3、）已知函数，则yf（x）的图象大致为（）ABCD9（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右顶点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于A，B，过C的右焦点右侧的点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于M，N，若OAB与OMN的面积之比为1：9，则双曲线C的渐近线方程为（）Ay2xBCDy8x10（5分）已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN+满足9，则数列an的公比为（）AB2C3D411（5分）取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体则此多面体（）A有24条棱B有12个面C表面积为3

4、a2D体积为12（5分）已知函数，若方程f（x）kx+1有四个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13（5分）若tan2，则cos（2+） 14（5分）的展开式中，常数项为 ；系数最大的项是 ；15（5分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD面ABCD，且PD1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为 16（5分）若函数的图象在x0处的切线与圆x2+y21相切，则2a+b的最大值是 三、解答题：共70分17（10分）已知函数f（x）|x2|x+a|，aR（）若a1，解不等式f（x）+x0；（）对任意xR，f（x）3

5、恒成立，求实数a的取值范围18（12分）在（1）求ABC面积的最大值；（2）若c2am恒成立，求m的最小值19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足：a11，Sn+11Sn+an，数列bn为等比数列，满足b14b3，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）若数列的前n项和为Wn，数列bn的前n项和为Tn，试比较Wn与的大小20（12分）如图，在多面体ABCDE中，AE平面ABC，平面BCD平面ABC，ABC是边长为2的等边三角形，（1）证明：平面EBD平面BCD；（2）求二面角AEBD的余弦值的绝对值21（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为

6、椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6（）求椭圆C的方程；（）若直线l的斜率为k（k0），线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，求证：为定值22（12分）已知函数（）当a0时，证明：函数f（x）只有一个零点；（）若函数f（x）的极大值等于0，求实数a的取值范围2019-2020学年山东省淄博七中1班高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，1-10题为单选题，11-12题为多选题1（5分）已知集合AxR|x29，集合BxR|2x6，则AB（）A3，6B（3，6）C（，32，+）D（，33，+）【分析】先

7、求出集合A，集合B，由此能求出AB【解答】解：集合AxR|x29x|x3或x3，集合BxR|2x6，ABx|x3或x2（，32，+）故选：C【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）已知i为虚数单位，实数a，b满足（2i）（abi）（8i）i，则ab的值为（）A6B6C5D5【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解即可得答案【解答】解：（2i）（abi）2ab（2b+a）i（8i）i18i，解得ab的值为6故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题3（5分）在ABC中，则（

8、）ABCD【分析】由平面向量的基本定理得：（），得解【解答】解：（），故选：A【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属中档题4（5分）已知函数图象的相邻两对称中心的距离为，且对任意xR都有，则函数yf（x）的一个单调递增区间可以为（）ABCD【分析】根据条件求出函数的周期和，利用条件判断函数的对称性，然后结合函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：函数f（x）图象的相邻两对称中心的距离为，即T，2，对任意xR都有，函数关于x对称，即2+k+，kZ，即k，kZ，|，当k0时，0，即f（x）sin2x，由2k2x2k+，得kxk+，kZ，即函数的单调递增区间为为k，k+，kZ，当k0时，单调递增区

9、间为，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键5（5分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）ABCD【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：P（A），得解【解答】解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色

10、部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A），故选：B【点评】本题考查了识图能力及几何概型中的面积型，属中档题6（5分）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A72B36C24D18【分析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可【解答】解：2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，若甲村分1名外

11、科，2名护士，则由339若甲村分2名外科医生和2名护士，339，则分组方法有2（9+9）36，故选：B【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键7（5分）过抛物线y22px（p0）的焦点F作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于A，B两点，且AB的中点到抛物线准线的距离为4，则p的值为（）AB1C2D3【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由点差法得到（y1+y2）2p，因为过抛物线C：y22px（p0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，所以1，AB方程为：yx，故y1+y22p，AB中点横坐标为，再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4

12、，能求出p【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，得：（y1y2）（y1+y2）2p（x1x2），（y1+y2）2p，过抛物线C：y22px（p0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，1，AB方程为：yx，为AB中点纵坐标，y1+y22p，y1x1，y2x2，y1+y2x1+x2p，x1+x2y1+y2+p，AB中点横坐标为，线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，4，解得p2故选：C【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化8（5分）已知函数，则yf（x）的图象大致为（）ABCD【分析】利用函数的定义域与

13、函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可【解答】解：令g（x）xlnx1，则g（x）1，由g（x）0，得x1，即函数g（x）在（1，+）上单调递增，由g（x）0得0x1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x1时，函数g（x）有最小值，g（x）ming（0）0，于是对任意的x（0，1）（1，+），有g（x）0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力9（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右顶

14、点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于A，B，过C的右焦点右侧的点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于M，N，若OAB与OMN的面积之比为1：9，则双曲线C的渐近线方程为（）Ay2xBCDy8x【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得2，即可求出渐近线方程【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则，9，2，C的渐近线方程为y2x，故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题10（5分）已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN+满足9，则数列an的公比为（）AB2C3D4【分析】利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q当公比q1时，存在m

15、N+满足9，9，qm+19，qm8又，即qm8，解得m3q38，解得q2q1不满足题意故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体则此多面体（）A有24条棱B有12个面C表面积为3a2D体积为【分析】如图所示，即可得出此多面体面的个数，棱的条数，表面积S及其体积V【解答】解：由题意可得：所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体如图所示：则此多面体有8+614个面，24条棱，表面积

16、S+6a2（3+）a2体积Va38a3只有A，D正确故选：AD【点评】本题考查了空间线面位置关系、正方体与三棱锥的体积面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知函数，若方程f（x）kx+1有四个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）ABCD【分析】由方程的根的个数与函数图象交点个数的关系得：方程f（x）kx+1有四个不相等的实根，等价于函数f（x）的图象与直线ykx+1有四个交点，结合导数求函数图象的切线方程可得：当直线ykx+1与函数f（x）x2相切时，k，当直线ykx+1与函数f（x）2xxlnx相切时，利用导数的几何意义可得：k1，再结合像图知函数f（x）的图象与

17、直线ykx+1有四个交点时，实数k的取值范围是，得解【解答】解：方程f（x）kx+1有四个不相等的实根，等价于函数f（x）的图象与直线ykx+1有四个交点，易得：当直线ykx+1与函数f（x）x2相切时，k，当直线ykx+1与函数f（x）2xxlnx相切时，利用导数的几何意义可得：k1，即由图知函数f（x）的图象与直线ykx+1有四个交点时，实数k的取值范围是，故选：D【点评】本题考查了方程的根的个数与函数图象交点个数的关系及利用导数求函数图象的切线方程，属中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13（5分）若tan2，则cos（2+）【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式

18、，求得cos（2+）的值【解答】解：tan2，则cos（2+）cos2，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题14（5分）的展开式中，常数项为；系数最大的项是x9；【分析】本题先根据二项式定理写出通项Tr+1，然后对通项上的系数和指数进行分析计算可得出结果【解答】解：由题意，Tr+1（x2）9rx183r故当183r0，即r6时，取得常数项为又1，9，后面由于的指数大所以数值越来越小系数最大的是，系数最大的项是，x1833x9故答案为：；x9【点评】本题主要考查二项式定理的通项公式，以及根据通项公式上的系数和指数进行分析和计算的能力本题属中档题15（

19、5分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD面ABCD，且PD1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为【分析】分别计算出四棱锥PABCD的体积V和表面积S，利用公式计算出该四棱锥的内切球的半径，最后利用球体表面积公式可得出答案【解答】解：四棱锥PABCD的体积为，如下图所示，易证PDAD，PDCD，PAAB，PCBC，所以，四棱锥PABCD的表面积为，所以，四棱锥PABCD的内切球的半径为，因此，此球的最大表面积为【点评】本题考查球体表面积的计算，考查计算能力，属于中等题16（5分）若函数的图象在x0处的切线与圆x2+y21相切，则2a+b的最大值是【分析】先求出

20、切线方程，利用直线与圆的位置关系求出a2+b21，则a，再用函数思想求出最值即可【解答】解：由题得f（x），切点坐标为（0，），切线方程为y+x，即ax+by+10，因为切线与圆相切，所以d1，即a2+b21，因为a0，b0，所以a则令f（b）2a+b2+b，令f（b）0，解得b，且当b（0，）时，f（b）0，f（b）单调递增；当b（，+）时，f（b），f（b）单调递减，所以当b时，f（b）取极大值也是最大值为f（），故答案为：【点评】本题考查利用导数求切线方程，涉及圆与直线位置关系，综合性比较强，属于中档题三、解答题：共70分17（10分）已知函数f（x）|x2|x+a|，aR（）若a1，解

21、不等式f（x）+x0；（）对任意xR，f（x）3恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）a1时函数f（x）|x2|x+1|，去掉绝对值，分段讨论求不等式f（x）+x0的解集；（）利用绝对值不等式求得f（x）的最大值f（x）max，把f（x）3恒成立化为f（x）max3，求出解集即可【解答】解：（）a1时，函数f（x）|x2|x+a|x2|x+1|，当x1时，f（x）（x2）+（x+1）3，不等式f（x）+x0可化为3+x0，解得x3，所以3x1；当1x2时，f（x）（x2）（x+1）2x+1，不等式f（x）+x0可化为x+10，解得x1，所以1x1；当x2时，f（x）（x2）（x+1）3，不等式

22、f（x）+x0可化为x30，解得x3，所以x1；综上，不等式f（x）+x0的解集为x|3x1或x3；（）因为f（x）|x2|x+a|（x2）（x+a）|a+2|，所以f（x）max|a+2|，对任意xR，f（x）3恒成立，所以|a+2|3，所以3a+23，解得5a1，所以实数a的取值范围是5，1【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题18（12分）在（1）求ABC面积的最大值；（2）若c2am恒成立，求m的最小值【分析】（1）直接利用余弦定理和基本不等式的应用三角形的面积公式的应用求出结果（2）利用三角形的外接圆的直径和边角互化，再利用正弦定理的

23、应用和函数的恒成立问题的应用求出结果【解答】解：（1）在整理得b2a2+c22accosB，利用基本不等式的应用ac3，所以（2）由于，所以c2a2sinC4sinA2sinC4sin（B+C）2，由于，所以，即，所以m的最小值为【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，恒成立问题的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足：a11，Sn+11Sn+an，数列bn为等比数列，满足b14b3，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）若数列的前n项和为Wn，数列bn的前n项和为

24、Tn，试比较Wn与的大小【分析】（）由题意可得数列an为首项和公差均为1的等差数列，即可得到所求an的通项公式；再由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到bn的通项公式；（）由，运用裂项相消求和可得Wn，由等比数列的求和公式可得Tn，由不等式的性质即可得到大小关系【解答】解：（）a11，Sn+11Sn+an，可得an+1an+1，即数列an为首项和公差均为1的等差数列，可得ann；数列bn为等比数列，满足b14b3，nN*设公比为q，可得b14b1q2，可得q，即有q时，b1，可得b1；q不成立，舍去，则bn（）n；（），Wn1+11；Tn1（0，1），则1，即有Wn【点评】本题考

25、查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题20（12分）如图，在多面体ABCDE中，AE平面ABC，平面BCD平面ABC，ABC是边长为2的等边三角形，（1）证明：平面EBD平面BCD；（2）求二面角AEBD的余弦值的绝对值【分析】（1）取BC的中点O，连结AO，DO，推导出DOBC，从而DO平面ABC，再由AE平面ABC，得AEDO，从而四边形AODE是平行四边形，进而EDAO，推导出AOBC，AO平面BCD，从而BD平面BCD，由此能证明平面EBD平面BCD（2）分别以OB，OA，OD所在直线为x，y，

26、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角AEBD的余弦值的绝对值【解答】解：（1）证明：取BC的中点O，连结AO，DO，BDCD，DOBC，DO2，DO平面BCD，平面DBC平面ABCBC，平面BCD平面ABC，DO平面ABC，AE平面ABC，AEDO，又DO2AE，四边形AODE是平行四边形，EDAO，ABC是等边三角形，AOBC，AO平面BCD，BD平面BCD，ED平面EBD，平面EBD平面BCD（2）解：分别以OB，OA，OD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（，0，0），D（0，0，2），E（0，2），（1，0），（1，2），（1，0，2），（1，2

27、），设平面ABE的一个法向量为（x，y，z），则，取x，得（），设平面BED的法向量为（x，y，z），则，取x2，得（2，0，1），设二面角AEBD的平面角为，由题意知为钝角，二面角AEBD的余弦值的绝对值为：|cos|【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的绝对值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6（）求椭圆C的方程；（）若直线l的斜率为k（k0

28、），线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，求证：为定值【分析】（）根据S四边形APBQ|AB|PQ2b26，可得b23，再根据离心率求出a，即可求出椭圆方程，（）由题意可知F（1，0），直线l的方程为yk（x1），根据韦达定理和弦长公式求出|PQ|，再求出直线MN的方程可得M的坐标，即可求出|MF|，问题得以证明【解答】解：（）由：1，令xc可得y，则|PQ|，则S四边形APBQ|AB|PQ|2a2b26，可得b23e，a2c，a2b2+c2，a24椭圆C的方程为+1证明：（）由题意可知F（1，0），直线l的方程为yk（x1），由，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1+x2，x1x2，y1

29、+y2k（x1+x2）2k，设PQ的中点为N，则N（，），则MN的过程为y+（x），令y0，可得M（，0），|MF|，|PQ|，为定值【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22（12分）已知函数（）当a0时，证明：函数f（x）只有一个零点；（）若函数f（x）的极大值等于0，求实数a的取值范围【分析】（）首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性证明题中的结论即可；（）由题意结合函数的解析式和导函数的性质分类讨论确定实数a的取值范围即可【解答】解：（）由题知：f（x）1x+alnx令，所以，当a0时，即g（x

30、）在（0，+）上单调递减又因为f（1）g（1）0，所以，当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0所以，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，所以f（x）f（1）0所以f（x）只有一个零点（）由（）知：当a0时，f（x）的极大值等于0，符合题意当0a1时，因为当x（0，a）时，g（x）0；当x（a，+）时，g（x）0；且g（1）0，故存在，满足，又x（a，1），f（x）0；x（1，+），f（x）0；所以，此时x1是f（x）的唯一极大值点，且f（1）0，符合题意当a1时，因为x（0，1），g（x）0；x（1，+），g（x）0，且g（1）0，所以g（x）0，即f（x）在（0，+）上单调递减无极值点，不合题意当a1时，因为当x（0，a）时，g（x）0；当x（a，+）时，g（x）0；且g（1）0，g（ea）1ea+a2令，则；所以W（a）W（1）1，所以1+a2ea，即g（ea）0又因为a1+a2ea，故存在x0（a，ea），满足，此时x1是f（x）的唯一极小值点，xx0是f（x）的唯一极大值点，f（x0）f（1）0因此不合题意综上可得：a1【点评】本题主要考查导数研究函数的零点，导数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题