2017-2018学年山东省德州市高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2017-2018学年山东省德州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知命题p：x0，exx+1，则p为（）Ax0，exx+1Bx0，exx+1Cx0，exx+1Dx0，exx+12（5分）抛物线y2x2的焦点坐标是（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）3（5分）过点（1，0）且与直线x2y20平行的直线方程是（）Ax2y10Bx2y+10C2x+y20Dx+2y104（5分）若变量x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为（）A4B3C2D15（5分）函数f（x）xex在点A（

2、0，f（0）处的切线斜率为（）A0B1C1De6（5分）“0n2”是“方程表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm），可知此几何体的体积是（）A24cm3BCD8（5分）圆x2+y24与圆（x3）2+（y4）249的位置关系为（）A内切B相交C外切D相离9（5分）设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）Am，n且，则mnBm，n且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则10（5分）过点（2，0）引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时

3、，直线l的斜率等于（）ABCD11（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点圆x2+y2a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|3|AF2|，则双曲线离心率为（）ABCD12（5分）已知A（0，2），抛物线C：y2mx（m0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N中，若|FM|：|MN|1：，则三角形OFN面积为（）ABC4D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若曲线yxa+1（aR）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a 14（5分）某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高h为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米

4、，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是 米15（5分）若f（x）+blnx在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是 16（5分）已知圆C：（x5）2+（y12）21和两点A（a，0），B（a，0）（a0）若圆C上至少存在一点P，使得APB90，则a的取值范围 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知，圆C：x2+y28y+120，直线l：ax+y+2a0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB2时，求直线l的方程18（12分）如图，已知PAO所在的平面，AB是O的直

5、径，AB4，C是O上一点，且ACBC，PCA45，E是PC中点，F为PB中点（1）求证：EF面ABC；（2）求证：EF面PAC；（3）求三棱锥BPAC的体积19（12分）已知函数f（x）ax3+bx22x，且f（x）在x1和x2处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线yg（x）与x轴有两个交点，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由20（12分）已知命题p：直线ax+y20和直线3ax（2a+1）y+10垂直；命题q：三条直线2x3y+10，4x+3y+50，axy10将平面划分为六部分若pq为真命题，求实数a的取值集合21（12分）

6、已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）证明：当x1时，f（x）x1；（3）确定实数k的值，使得存在x01当x（1，x0）时，恒有f（x）k（x1）22（12分）椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有PQAPQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2017-2018学年山东省德州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

7、是符合题目要求的）1（5分）已知命题p：x0，exx+1，则p为（）Ax0，exx+1Bx0，exx+1Cx0，exx+1Dx0，exx+1【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】解：命题p：x0，exx+1，则p为x0，exx+1，故选：B【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化2（5分）抛物线y2x2的焦点坐标是（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）【分析】直接利用抛物线的简单性质写出结果即可【解答】解：抛物线y2

8、x2，化为x2，它的焦点坐标为：（0，）故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题3（5分）过点（1，0）且与直线x2y20平行的直线方程是（）Ax2y10Bx2y+10C2x+y20Dx+2y10【分析】因为所求直线与直线x2y20平行，所以设平行直线系方程为x2y+c0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值【解答】解：设直线方程为x2y+c0，又经过（1，0），10+c0故c1，所求方程为x2y10；故选：A【点评】本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活4（5分）若变量x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为（）A4B3C2D1【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求

9、最值，zx2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可【解答】解：画出可行域（如图），zx2yyxz，由图可知，当直线l经过点A（1，1）时，z最大，且最大值为zmax12（1）3故选：B【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题5（5分）函数f（x）xex在点A（0，f（0）处的切线斜率为（）A0B1C1De【分析】求得f（x）的导数，运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，即可得到所求值【解答】解：函数f（x）xex的导数为f（x）（x+1）ex，由导数的几何意义，可得在点A（0，f

10、（0）处的切线斜率为kf（0）（0+1）e01故选：C【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，正确求导是解题的关键，属于基础题6（5分）“0n2”是“方程表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】首先方程表示双曲线的等价条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断【解答】解：方程表示双曲线，（1+n）（3n）0，1n3；0n21n3，1n3推不出0n2；“0n2”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定

11、义是解决本题的关键7（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm），可知此几何体的体积是（）A24cm3BCD【分析】判断几何体的形状，画出直观图，然后求解几何体的体积即可【解答】集体：由题意可得，几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为4，所以几何体的体积为：（cm3）故选：B【点评】本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，是基本知识的考查8（5分）圆x2+y24与圆（x3）2+（y4）249的位置关系为（）A内切B相交C外切D相离【分析】根据圆心距等于两圆半径之差，得出两圆内切【解答】解：因为圆心距为：5，大圆半径减小圆半径为：725，故两圆内切故选：A【点评

12、】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定属基础题9（5分）设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）Am，n且，则mnBm，n且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m，n且，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与、都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可【解答】解：对于A，若m，n且，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该

13、是平行或异面，故A错；对于B，由m，n且，则m与n一定不平行，否则有，与已知矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为，则与和的交线所成的角即为与所成的角，因为，所以m与n所成的角为90，故命题B正确对于C，根据面面垂直的性质，可知m，n，mn，n，也可能l，也可能，故C不正确；对于D，若“m，n，m，n”，则“”也可能l，所以D不成立故选：B【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目10（5分）过点（2，0）引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）ABCD【分析】当AOB

14、面积取最大值时，OAOB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，由此能求出直线l的斜率【解答】解：当AOB面积取最大值时，OAOB，曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，圆心O（0，0），半径r，OAOB，AB2，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，不合题意；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为yk（x2），圆心（0，0）到直线l的距离d1，解得k，k0，k故选：D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用问题，解题的关键是根据AOB的面积取到最大值时OAOB，是中档题11（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点圆x2+

15、y2a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|3|AF2|，则双曲线离心率为（）ABCD【分析】可设A为第一象限的点，且|AF1|m，|AF2|n，运用双曲线的定义和勾股定理可得m，n的方程，消去m，n，即可得到所求离心率【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|m，|AF2|n，由题意可得2m3n，由双曲线的定义可得mn2a，由勾股定理可得m2+n24（a2+b2），联立消去m，n，可得：36a2+16a24a2+4b2，即b212a2，则e，故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意定义法的运用，考查化简运算能力，属于中档题12（5分）已知A（0，2）

16、，抛物线C：y2mx（m0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N中，若|FM|：|MN|1：，则三角形OFN面积为（）ABC4D【分析】求出N点纵坐标，过M向准线作垂线，利用抛物线性质和锐角三角函数定义计算|OF|，从而得出三角形的面积【解答】解：过M作抛物线的准线的垂线MP，设准线与x轴的交点为Q，如图所示：则|MP|MF|，F（，0），直线FA的方程为：1，即8x+my2m0，抛物线的准线方程为：x，代入直线FA的方程得N（，4），即|NQ|4，cosNMP，sinNMP，tanNMP，tanNFOtanNMP，即，|FQ|2，|OF|FQ|，SOFN2故选：A【点

17、评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若曲线yxa+1（aR）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a2【分析】求出函数的导函数，求出x1时的导数值，写出曲线yxa+1（aR）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得的值【解答】解：由yxa+1，得yaxa1所以y|x1a，则曲线yxa+1（R）在点（1，2）处的切线方程为：y2a（x1），即yaxa+2把（0，0）代入切线方程得，a2故答案为：2【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题14（5分）某隧道的

18、拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高h为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是32米【分析】由已知可得椭圆短半轴长，设出椭圆方程，求得x4时的y值，由y4.5求得a的最大值，即可得到隧道设计的拱宽d的最小值【解答】解：由题意可知，b6，设椭圆方程为，则当x4时，车辆的高度不超过4.5米，y4.5，得a16隧道设计的拱宽d至少应是2a32（米）故答案为：32【点评】本题考查椭圆的性质，关键是对题意的理解，是基础题15（5分）若f（x）+blnx在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是b1【分析】求出原函数的导函数，由f（

19、x）+blnx在（1，+）上是减函数，则其导函数在（1，+）上小于等于0恒成立，由此可以求得b的取值范围【解答】解：由f（x）+blnx，定义域为（0，+）函数f（x）+blnx在（1，+）上是减函数，则在x（1，+）上恒成立，即bx2在x（1，+）上恒成立，因为x21，所以b1故答案为b1【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系属基础题16（5分）已知圆C：（x5）2+（y12）21和两点A（a，0），B（a，0）（a0）若圆C上至少存在一点P，使得APB90，则a的取值范围12，14【分析】根据题意，分析可得P在以AB为直径的圆的圆周上，据此设该圆与圆M，分析圆心与半径；

20、分析可得若圆C上至少存在一点P，则圆M与圆C至少有1个交点，由圆与圆的位置关系分析可得a113a+1，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，A（a，0），B（a，0）（a0），若APB90，则P在以AB为直径的圆的圆周上，设该圆与圆M，其圆心为（0，0），半径ra，其方程为x2+y2a2，若圆C上至少存在一点P，则圆M与圆C至少有1个交点，且|MC|13，则必有a113a+1，解得12a14，即a的取值范围为12，14；故答案为：12，14【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意分析满足APB90的P的轨迹三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

21、.）17（10分）已知，圆C：x2+y28y+120，直线l：ax+y+2a0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB2时，求直线l的方程【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：将圆C的方程x2+y28y+

22、120配方得标准方程为x2+（y4）24，则此圆的圆心为（0，4），半径为2（1）若直线l与圆C相切，则有解得（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）0设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2，x1x2则AB2两边平方并代入解得：a7或a1，直线l的方程是7xy+140和xy+20另解：圆心到直线的距离为d，AB22，可得d，解方程可得a7或a1，直线l的方程是7xy+140和xy+20【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题18（12分）如图，已知PAO所在的

23、平面，AB是O的直径，AB4，C是O上一点，且ACBC，PCA45，E是PC中点，F为PB中点（1）求证：EF面ABC；（2）求证：EF面PAC；（3）求三棱锥BPAC的体积【分析】（1）在三角形PBC中，由E是PC中点，F为PB中点，可得EFBC，由线面平行的判定可得EF面ABC；（2）由PA面ABC，得BCPA，结合AB是O的直径，得BCAC，则BC面PAC，而EFBC，可得EF面PAC；（3）由已知求解三角形ABC，可得，再由等积法求三棱锥BPAC的体积【解答】（1）证明：在三角形PBC中，E是PC中点，F为PB中点，EFBC，又BC平面ABC，EF平面ABC，EF面ABC；（2）证明：

24、PA面ABC，BC平面ABC，BCPA，又AB是O的直径，BCAC，又PAACA，BC面PAC，EFBC，EF面PAC；（3）解：PCA45，PAAC，在RtABC中，ACBC，AB4，【点评】本题考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19（12分）已知函数f（x）ax3+bx22x，且f（x）在x1和x2处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线yg（x）与x轴有两个交点，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的

25、方程组，求出a，b的值，从而求出函数的解析式；（2）求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出g（x）的极值，从而确定t的值即可【解答】解：（1）f（x）3ax2+2bx2，因为f（x）在x1和x2处取得极值，所以x1和x2是f（x）0的两个根，则，解得，经检验符合已知条件，故；（2）由题意知，令g（x）0得，x1或x2，g（x）、g（x）随着x变化情况如下表所示：x（，1）1（1，2）2（2，+）g（x）0+0g（x）递减极小值递增极大值递减由上表可知，又x取足够大的正数时，g（x）0，x取足够小的负数时，g（x）0，因此，为使曲线yg（x）与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，得或，或，

26、即存在t，且或时，曲线yg（x）与x轴有两个交点【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题20（12分）已知命题p：直线ax+y20和直线3ax（2a+1）y+10垂直；命题q：三条直线2x3y+10，4x+3y+50，axy10将平面划分为六部分若pq为真命题，求实数a的取值集合【分析】由两直线垂直与系数间的关系求得p为真命题的a的范围；再由三条直线2x3y+10，4x+3y+50，axy10将平面划分为六部分分类求得a的范围，取并集得答案【解答】解：p真：则3a2（2a+1）0，即3a22a1（3a+1）（a1）0，解得或a1；q真：2x3y+10与

27、4x+3y+50不平行，则2x3y+10与axy10平行或4x+3y+50与axy10平行或三条直线交于一点，若2x3y+10与axy10平行，由，得，若4x+3y+50与axy10平行，由，得，若三条直线交于一点，由，得，代入axy10，得q真，或或，pq真，p、q至少有一个为真，a的取值集合为【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查两直线平行、垂直与系数间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题21（12分）已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）证明：当x1时，f（x）x1；（3）确定实数k的值，使得存在x01当x（1，x0）时，恒有f（x）k（x1）【分析】（1）求出

28、函数 到底是，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令F（x）f（x）（x1），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）通过讨论k的范围，令G（x）f（x）k（x1），求出函数的导数，根据函数的单调性确定k即可【解答】解：（1），由f（x）0得解得，故f（x）的单调递增区间是；（2）令F（x）f（x）（x1），x（0，+），则有，当x（1，+）时，F（x）0，所以F（x）在（1，+）上单调递减，故当x1时，F（x）F（1）0，即当x1时，f（x）x1；（3）由（2）知，当k1时，不存在x01满足题意，当k1时，对于x1，有f（x）x1k（x1），则f（x）k（x1），从而

29、不存在x01满足题意，当k1时，令G（x）f（x）k（x1），x（0，+），则有，由G（x）0得，x2（1k）x10，解得，当x（1，x2）时，G（x）0，故G（x）在（1，x2）内单调递增，从而当x（1，x2）时，G（x）G（1）0，即f（x）k（x1），综上，k的取值范围是（，1）【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22（12分）椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化

30、时，总有PQAPQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用已知条件求出a，b关系，利用点在椭圆上求解a，b，即可得到椭圆方程（2）当直线l斜率存在时，设直线l方程：ykx+1，联立直线与椭圆方程，设AB坐标，利通过韦达定理，假设存在定点Q（0，t）符合题意，结合kQAkQB，转化求解即可【解答】解：（1），a22c2b2+c2，bc，a22b2，椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，解得b24，a28，所以椭圆C的方程为：；（2）当直线l斜率存在时，设直线l方程：ykx+1，由得（2k2+1）x2+4kx60，16k2+24（2k2+1）0，设，假设存在定点Q（0，t）符合题意，PQAPQB，kQAkQB，上式对任意实数k恒等于零，4t0，即t4，Q（0，4），当直线l斜率不存在时，A，B两点分别为椭圆的上下顶点（0，2），（0，2），显然此时PQAPQB，综上，存在定点Q（0，4）满足题意【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力