2018-2019学年青海省西宁四中高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年青海省西宁四中高二（上）期末数学试卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）抛物线y28x的焦点到准线的距离是（）A1B2C4D82（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）ABCD3（5分）过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x26，那么|AB|（）A6B8C9D104（5分）过点P（4，1）且与直线3x4y+60垂直的直线方程是（）A4x3y190B4x+3y130C3x

2、4y160D3x+4y805（5分）已知圆x2+y24x50，则过点P（1，2）的最短弦所在直线l的方程是（）A3x+2y70B2x+y40Cx2y30Dx2y+306（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A1B2CD7（5分）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，则球O的表面积等于（）A4B3C2D8（5分）“3m5”是“方程+1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9（5分）已知m，n是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A若 m，mn，则 nB若 m，n，则 nmC若 m，m，则D若，m，则

3、m10（5分）过椭圆+1（ab0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为（）ABCD11（5分）已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为（）ABCD212（5分）已知点A（4，2），F为抛物线y28x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|+|MF|取最小值时，点M的坐标为（）A（0，0）B（1，2）C（2，4）D（，2）二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上）13（5分）过点M（3，2）作O：x2+y2+4x2y+40的切线方程 14（5分）在平面

4、直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为过F1的直线交于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为 15（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆+1所截得的线段的中点，则l的方程是 16（5分）已知命题P：不等式0的解集为x|0x1；命题q：在ABC中，“AB”是“sinAsinB”成立的必要不充分条件有下列四个结论：p真q假；“pq”为真；“pq”为真；p假q真其中正确结论的序号是 （请把正确结论的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分0分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17已知p：2x10，q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要非充分条

5、件，求实数m的取值范围18已知圆C的圆心为（2，1），且圆C与圆x2+y23x0的公共弦所在的直线经过点（5，2），求圆C的方程19已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为yx，且过点（4，）（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求20已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点（1）若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；（2）若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离21如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（1）证明BC1平面A1CD（2）设AA1ACCB2，AB2，求三菱锥CA1DE的体积22

6、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC1，AB2，M是PB的中点（）证明：面PAD面PCD；（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（ III）求二面角AMCB的余弦值23平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+1（a0，b0）的离心率为，左右焦点分别是F1，F2，以点F1为圆心，以3为半径的圆与以点F2为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（I）求椭圆C的方程；（II）设椭圆E：+1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykx+m交椭圆E于A，B两点射线PO交椭圆E于点Q求的值（理科生做）求ABQ面积的最大值（文科生做）当k时，ABQ面积的

7、最大值2018-2019学年青海省西宁四中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）抛物线y28x的焦点到准线的距离是（）A1B2C4D8【分析】先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案【解答】解：由y22px8x，知p4，又焦点到准线的距离就是p故选：C【点评】本题主要考查抛物线的基本性质属基础题2（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）ABCD【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以

8、可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）（2，0，1），（2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量cos，BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题3（5分）过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x26，那

9、么|AB|（）A6B8C9D10【分析】抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|x1+x2+2，由此易得弦长值【解答】解：由题意，p2，故抛物线的准线方程是x1，抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点|AB|x1+x2+2，又x1+x26|AB|x1+x2+28故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度4（5分）过点P（4，1）且与直线3x4y+60垂直的直线方程是（）A4x3y190B4x+3y

10、130C3x4y160D3x+4y80【分析】与直线3x4y+60垂直的直线方程可设为：4x+3y+m0，把点P（4，1）代入解出m即可【解答】解：与直线3x4y+60垂直的直线方程可设为：4x+3y+m0，把点P（4，1）代入可得：443+m0，解得m13满足条件的直线方程为：4x+3y130故选：B【点评】本题可怜虫相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题5（5分）已知圆x2+y24x50，则过点P（1，2）的最短弦所在直线l的方程是（）A3x+2y70B2x+y40Cx2y30Dx2y+30【分析】由圆心与点P的连线与直线l垂直时，所截的弦长最短求解【解答】解：根据题意：弦最短时，则圆心

11、与点P的连线与直线l垂直圆心为：O（2，0）由点斜式整理得直线方程为：x2y+30故选：D【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，弦长问题及直线的斜率及方程形式，考查数学用几何法解决直线与圆的能力6（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A1B2CD【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论【解答】解：由题得：其焦点坐标为（4，0），（4，0），渐近线方程为yx所以焦点到其渐近线的距离d2故选：D【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题7（5分）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABB

12、C，SAAB1，则球O的表面积等于（）A4B3C2D【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OAOBOCOS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可【解答】解：已知S，A，B，C是球O表面上的点OAOBOCOS1又SA平面ABC，ABBC，SAAB1，球O的直径为2RSC2，R1，表面积为4R24故选：A【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题8（5分）“3m5”是“方程+1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件

13、【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断【解答】解：若方程+1表示椭圆，则，所以，即3m5且m1所以“3m5”是“方程+1表示椭圆”的必要不充分条件故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程9（5分）已知m，n是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A若 m，mn，则 nB若 m，n，则 nmC若 m，m，则D若，m，则 m【分析】在A中，n或n；在B中，由线面垂直的性质得nm；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，m与相交、平行或m【解答】解：由m，n 是不同的直线，是不重合的平面，知：在A中，若 m，mn，则 n或n，故A错误；在B中，若 m，n，

14、则 由线面垂直的性质得nm，故B错误；在C中，若 m，m，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，m，则 m与相交、平行或m，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题10（5分）过椭圆+1（ab0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】把xc代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据F1PF260推断出整理得e2+2e0，进而求得椭圆的离心率e【解答】解：由题意知点P的坐标为（c，）或（c，），F1PF260，即2acb2（

15、a2c2）e2+2e0，e或e（舍去）故选：B【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力11（5分）已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为（）ABCD2【分析】由条件MF1MF2，sinMF2F1，列出关系式，从而可求离心率【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨，丨MF2丨，sinMF2F1，可得：2b4a2c2，即b2ac，又c2a2+b2，可得e2e0，e1，解得e故选：A【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于

16、中档题12（5分）已知点A（4，2），F为抛物线y28x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|+|MF|取最小值时，点M的坐标为（）A（0，0）B（1，2）C（2，4）D（，2）【分析】先由抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线方程，把x4代入抛物线方程判断A点在抛物线内部，设M在抛物线准线方程上射影为M，根据抛物线的定义可知|MA|+|MF|MA|+|MM|，分析M，M，A三点共线时，|MA|+|MM|的值最小，求得其最小值，进而求得|MA|+|MF|取最小值【解答】解：由抛物线方程可知，2p8，抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x2，设M在抛物线准线方程上射影为M，点M到准线的距离与M到

17、焦点距离相等，|MA|+|MF|MA|+|MM|，当x4，代入抛物线方程求得y4，AD点抛物线的内部，当M，M，A三点共线时，|MA|+|MM|的值最小，此时|MA|+|MM|AM|6此时M的纵坐标为2，x，即M的坐标为（，2）故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的基本性质，解题的关键是利用抛物线的定义，是中档题二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上）13（5分）过点M（3，2）作O：x2+y2+4x2y+40的切线方程y2或5x12y+90【分析】求出圆心和半径，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出切线方程中的变量，即可得到切线方程【解答】解：

18、圆方程：（x+2）2+（y1）21所以圆心：（2，1）设切线为yk（x3）+2圆心O到切线距离为 解之：k0或k故切线为：y2或12y5x+9故答案为：y2或5x12y+90【点评】本题是基础题，考查圆心到直线的距离和圆的半径的大小比较，相等是相切，求出切线的斜率，求出切线方程，注意切点在圆上，圆外，切线的条数不同14（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为过F1的直线交于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为+1【分析】根据题意，ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF116，结合椭圆的定义，有4a16，即可得a的值；又由椭圆

19、的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程【解答】解：根据题意，ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF116；根据椭圆的性质，有4a16，即a4；椭圆的离心率为，即，则ac，将ac，代入可得，c2，则b2a2c28；则椭圆的方程为+1；故答案为：+1【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可15（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆+1所截得的线段的中点，则l的方程是x+2y80【分析】设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k再由由点斜式

20、可得l的方程【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k由点斜式可得l的方程为x+2y80【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”16（5分）已知命题P：不等式0的解集为x|0x1；命题q：在ABC中，“AB”是“sinAsinB”成立的必要不充分条件有下列四个结论：p真q假；“pq”为真；“pq”为真；p假q真其中正确结论的序号是（请把正确结论的序号都填上）【分析】由题意判断命题P是不是真命题，命题q是不是真命题，即可判断正确选项【解答】解：命题P：不等式0x（x1）0，故不等式0的解集为x|0x

21、1，故p为真命题；命题q：sinAsinB由正弦定理可得a 2Rb 2RabAB即sinAsinBAB若AB若90AB，则ysinx在（0，90单调递增，从而可得sinAsinB若A90B，则0180A90A+B1800B180A90sin（180A）sinBsinAsinBsinA即ABsinAsinBAB”是“sinAsinB成立的充要条件，故q是假命题故答案为 【点评】本题注要考查了p或q命题及p且q命题的真假判断，解题的关键是利用不等式的知识解绝对值不等式及利用正弦定理及三角函数的单调性判断q的真假三、解答题（本大题共7小题，满分0分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17已知p：

22、2x10，q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围【分析】求出不等式对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论【解答】解：p是q的必要非充分条件，q是p的必要非充分条件，即p是q的充分不必要条件由x22x+1m20，得1mx1+m，m0要使p是q的充分不必要条件，则，或，得m9，实数m的取值范围是m9【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键18已知圆C的圆心为（2，1），且圆C与圆x2+y23x0的公共弦所在的直线经过点（5，2），求圆C的方程【分析】设出圆C的方程，化为一般式方程，

23、求出公共弦所在的直线方程，利用点在直线上，求出圆的半径，即可得到圆C的方程【解答】解：设圆的方程为（x2）2+（y1）2r2，即x2+y24x2y+5r20，它与圆x2+y23x0相交的公共弦所在的直线方程为x+2y5+r20，将（5，2）代入上式得r24，所以圆C的方程是：（x2）2+（y1）24【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，两个圆的位置关系，考查计算能力，考试通常以选择题、填空题为主的题目19已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为yx，且过点（4，）（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求【分析】（1）设双曲线方程为x2y2，0，由

24、双曲线过点（4，），能求出双曲线方程（2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m由此能求出的值【解答】解：（1）双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为yx，设双曲线方程为x2y2，0，双曲线过点（4，），1610，即6，双曲线方程为1（2）点M（3，m）在此双曲线上，1，解得mM（3，），或M（3，），F1（2，0），当M（3，）时，（23，），（，），1260；当M（3，）时，（23，），（，），126+6+9+30故0【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用20已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相

25、交于A、B两点（1）若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；（2）若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离【分析】（1）由y26x，得准线方程、焦点F（1，0）直线l的方程为y0tan60（x1.5），与抛物线方程联立，消y，整理得4x220x+90，其两根为x1，x2，且x1+x25，由抛物线的定义可知线段AB的长；（2）|AB|p+x1+x29，即可求线段AB的中点M到准线的距离【解答】解：（1）由y26x，准线方程为x1.5，焦点F（1.5，0）直线l的方程为y0tan60（x1.5），即yx与抛物线方程联立，消y，整理得4x220x+90，其两根为x1，x2，且x1+x25由抛物线

26、的定义可知，|AB|p+x1+x28所以，线段AB的长是8（2）|AB|p+x1+x29，则4.5线段AB的中点M到准线的距离为4.5【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题21如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（1）证明BC1平面A1CD（2）设AA1ACCB2，AB2，求三菱锥CA1DE的体积【分析】（1）连结AC1交A1C于点F，连结DF，则BC1DF，由此能证明BC1平面A1CD（2）由已知得AA1CD，CDAB，从而CD平面ABB1A1由此能求出三菱锥CA1DE的体积【解答】（1）证明：连结AC1交A

27、1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF因为DF平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，所以BC1平面A1CD（2）解：因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1由AA1ACCB2，得ACB90，A1E3，故A1D2+DE2A1E2，即DEA1D所以三菱锥CA1DE的体积为：1【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三菱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养22已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAAD

28、DC1，AB2，M是PB的中点（）证明：面PAD面PCD；（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（ III）求二面角AMCB的余弦值【分析】（）推导出ADDC，PDDC，从而CD平面PAD，由此能证明面PAD面PCD（）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角AMCB的余弦值【解答】证明：（）四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，ADDC，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PDDC，PDADD，CD平面PAD，CD平面PCD，面P

29、AD面PCD解：（）四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC1，AB2，M是PB的中点，以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），（1，1，0），（0，2，1），设直线AC与PB所成角为，则cos直线AC与PB所成角的余弦值为（III）A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），（1，1，0），（0，1，），（1，1，0），（0，1，），设平面ACM的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，2），设平面BCM的法向量

30、（a，b，c），则，取a1，得（1，1，2），设二面角AMCB的平面角为，则cos二面角AMCB是钝二面角，二面角AMCB的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用23平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+1（a0，b0）的离心率为，左右焦点分别是F1，F2，以点F1为圆心，以3为半径的圆与以点F2为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（I）求椭圆C的方程；（II）设椭圆E：+1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykx+m交椭圆E于A，B两点射线PO交椭圆E于点Q求的值（理科生做）求AB

31、Q面积的最大值（文科生做）当k时，ABQ面积的最大值【分析】（I）设两圆的一个交点为P，运用椭圆的定义可得a，再由离心率公式可得c，进而得到b，即有椭圆方程；（）椭圆E为方程为+1，设P（x0，y0），设Q（x0，y0），0，代入椭圆E方程，求得2，即可得到所求值；（理）由可得OQ2OP，P在直线上，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得|AB|，以及k，m的关系，运用三角形的面积公式化简整理，结合不等式的性质可得所求最大值；（文）此时直线方程为yx+m，由可得OQ2OP，P在直线上，则Q到直线的距离与O到直线的距离相等，求得O到直线的距离，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和

32、弦长公式，求得|AB|，以及m的范围，可得所求三角形的面积的最大值【解答】解：（）设两圆的一个交点为P，则PF13，PF21，由P在椭圆上可得PF1+PF22a4，则a2，e，得c，则b1，故椭圆方程为+y21；（）椭圆E为方程为+1，设P（x0，y0），则有+y021，Q在射线OP上，设Q（x0，y0），0，代入椭圆E可得+（+y02）1，解得2，即Q（2x0，2y0），2；（理）由可得OQ2OP，P在直线上，故d，联立ykx+m和x2+4y216，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2160，则x1+x2，x1x2，|AB|4，联立ykx+m和x2+4y24，得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，0可得m21+4k2，SABQ|AB|3d3336，当且仅当m21+4k2时等号成立，故SABQ最大值为6；（文）此时直线方程为yx+m，由可得OQ2OP，P在直线上，则d，联立yx+m和x2+4y216，可得9x2+8mx+4m2160，则x1+x2，x1x2，|AB|，联立yx+m和x2+4y24，得9x2+8mx+4m240，0可得m29，SABQ|AB|3d3336，故SABQ最大值为6【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于综合题