2018-2019学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若ab0，则下列不等式中正确的是（）AB|b|a|C+2Dabb22（5分）数列，的第14项是（）ABCD3（5分）不等式1的解集为（）Ax|x3Bx|x或x3Cx|x3Dx|x或x34（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若a4+a7+a1027，则S13（）A52B78C117D2085（5分）已知函数f（x）（1+xx2）ex，xR，e为自然对数的底数，则函数f（x）的增区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，1）D（

2、，2），（1，+）6（5分）在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？（）A4日B3日C5日D6日7（5分）已知正项等比数列an满足a21，a3与a4的等差中项为，则a1的值为（）ABC3D18（5分）已知函数f（x）x3ax2+4x在区间（2，1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A（2，+）B2，+）C（，2）D（，29（5分）设等比数列an满足a1+a212，a1a36，则a1a2an的最大值为（）A32B128C64D

3、25610（5分）设a，b，c，则（）AcabBcbaCabcDbac11（5分）已知函数f（x）x2+（2m1）x+1m，若对任意m1，0，都有f（x）0成立，则实数x的取值范围为（）A（1，2）B（1，2）C（，1）（2，+）D（，1）（2，+）12（5分）已知函数f（x）k（+lnx）有两个极值点，则实数k的取值范围是（）A（，0B（1，e）（e，+）C（0，e）（e，+）D（e，+）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是 米14（5分）正数a，b满足+1，若不等式a+

4、bx2+4x+13m对xR恒成立，则实数m的取值范围为 15（5分）已知Sn为数列an的前n项和，an2n1，若bn，则b1+b2+bn 16（5分）已知f（x）的定义域为（0，+），f（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）xf（x），则不等式f（x+1）（x1）f（x21）的解集是 三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程活演算步17（10分）解关于x的不等式x（kR）18（12分）已知等差数列an的各项为正数，其公差为1，a2a45a31（1）求数列an的通项公式；（2）设bn+2n1，求b1+b2+b1019（12分）自2017年，大连“蜗享出行”正式引领共享汽车，改变人们传统的

5、出行理念，给市民出行带来了诸多便利该公司购买了一批汽车投放到市场给市民使用据市场分析，每辆汽车的营运累计收入f（x）（单位：元）与营运天数x（xN*）满足f（x）7x2+350x2800（1）要使营运累计收入高于1400元求营运天数的取值范围；（2）每辆汽车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？20（12分）设函数f（x）x2+axblnx，若函数f（x）在x1处与直线y2相切（1）求实数a，b的值；（2）求实数f（x）在，e上的最大值21（12分）已知数列an满足2Sn3an4n（nN*）（1）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn

6、22（12分）已知函数f（x）lnx，g（x）x21（1）求证：函数h（x）f（x）+在（0，+）上只有一个零点；（2）若当x1，不等式2xf（x）mg（x）恒成立，求实数m的取值范围2018-2019学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若ab0，则下列不等式中正确的是（）AB|b|a|C+2Dabb2【分析】根据不等式的性质取特殊值验证即可【解答】解：令b1，a2，则C正确，A，B，D错误，故选：C【点评】本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题2

7、（5分）数列，的第14项是（）ABCD【分析】可归纳通项公式为an（1）n1，代值计算即可【解答】解：数列，的通项公式为an（1）n1，a14（1）141，故选：D【点评】本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）不等式1的解集为（）Ax|x3Bx|x或x3Cx|x3Dx|x或x3【分析】根据题意，原不等式可以变形为（3x2）（x3）0且x30，解可得不等式的解集，即可得答案【解答】解：根据题意，10（3x2）（x3）0且x30，解可得：x或x3；即不等式的解集为x|x或x3；故选：B【点评】本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式变形为整式不等式，属于基础题4（

8、5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若a4+a7+a1027，则S13（）A52B78C117D208【分析】由等差数列an的性质可得：a4+a7+a103a7，解得a7再利用求和公式即可得出【解答】解：由等差数列an的性质可得：a4+a7+a10273a7，解得a79则S1313a7117故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）已知函数f（x）（1+xx2）ex，xR，e为自然对数的底数，则函数f（x）的增区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，1）D（，2），（1，+）【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出

9、函数的单调区间即可【解答】解：f（x）（x2x+2）ex，令f（x）0，即（x+2）（x1）0，解得：2x1，故选：C【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题6（5分）在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？（）A4日B3日C5日D6日【分析】通过已知条件转化为两个等差数列的前n项和为定值问题，进而计算可得结论【解答】解：由题可知，良马每日行程an构成一个首项为97，公差15的等差数列，驽马每日行程bn构成一个

10、首项为92，公差为1的等差数列，则an97+15（n1）15n+82，bn92（n1）93n，则数列an与数列bn的前n项和为4202840，又数列an的前n项和为（97+15n+82）（179+15n），数列bn的前n项和为（92+93n）（185n），（179+15n）+（185n）840，整理得：14n2+264n16800，即n2+26n1200，解得：n4或n30（舍），即4日相逢故选：A【点评】本题以数学文化为背景，考查等差数列，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题7（5分）已知正项等比数列an满足a21，a3与a4的等差中项为，则a1的值为（

11、）ABC3D1【分析】正项等比数列an满足a21，a3与a4的等差中项为，列方程组能求出a1的值【解答】解：正项等比数列an满足a21，a3与a4的等差中项为，解得a1的值为故选：A【点评】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）已知函数f（x）x3ax2+4x在区间（2，1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A（2，+）B2，+）C（，2）D（，2【分析】求出函数的导数，问题转化为a（x+）max2，根据不等式的性质求出a的范围即可【解答】解：f（x）2x22ax+4，由题意得x（2，1），使得不等式f（x）2（x2ax+2）

12、0成立，即x（2，1）时，a（x+）max，令g（x）x+，x（2，1），则g（x）1，令g（x）0，解得：2x，令g（x）0，解得：x1，故g（x）在（2，）递增，在（，1）递减，故g（x）maxg（）2，故满足条件a的范围是（，2），故选：C【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题9（5分）设等比数列an满足a1+a212，a1a36，则a1a2an的最大值为（）A32B128C64D256【分析】先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得a1a2an（），令f（n）n（n7），根据复合函数的单调性即可求出【解答】解：由a1

13、+a212，a1a36，可得，解得a18，q，an8（）n1（）n4，a1a2an（）321+0+1+（n4）（），令f（n）n（n7）（n27n）（n）2，当n3或n4时，f（n）有最小值，即f（n）min6，a1a2an的最大值为（）664，故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题10（5分）设a，b，c，则（）AcabBcbaCabcDbac【分析】构造函数y，利用导数研究单调性，可得f（e）最大，再利用对数的运算性质比较a与b的大小，则答案可求【解答】解：a，b，c，令f（x），得f（x），当x（0，e）时，f（x）

14、为增函数，当x（e，+）时，f（x）为减函数，则f（e）最大，而f（2），f（3），f（2）f（3），abc故选：C【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题11（5分）已知函数f（x）x2+（2m1）x+1m，若对任意m1，0，都有f（x）0成立，则实数x的取值范围为（）A（1，2）B（1，2）C（，1）（2，+）D（，1）（2，+）【分析】变更主元法：不等式左边构造以m为自变量的函数g（m），只需g（1）0和g（0）0即可【解答】解：因为f（x）0，x2+（2m1）x+1m0，（2x1）m+x2x+10对任意的m1，0恒成立，令g（m）（2x1）m+x2x+

15、1，则，即，解得x1或x2，故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，属基础题12（5分）已知函数f（x）k（+lnx）有两个极值点，则实数k的取值范围是（）A（，0B（1，e）（e，+）C（0，e）（e，+）D（e，+）【分析】f（x）有两个极值点转化为f（x）0有两个不等正根，进一步转化为xlnk0，xlnk1，k1，ke【解答】解：因为f（x）k（+lnx）有两个极值点，所以f（x）+0有两个不同正实根，（exk）（x1）0有两个不同正实根，exk0有一个不等于1的正根，xlnk0且lnk1，k1，ke故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值属难题二、填空题（本题共4小题，

16、每小题5分，共20分）13（5分）一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是752米【分析】可推出小球每次跳回的高度为等比数列an，确定首项和公比，根据等比数列的前n项和可求【解答】解：设小球每次跳回的高度为数列an，则数列an为等比数列，a1128，q，S5248，共经过的路程为：256+2S5752（米）故答案为：752【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据实际情况找出等比数列解决本题的关键属基础题14（5分）正数a，b满足+1，若不等式a+bx2+4x+13m对xR恒成立，则实数m的取值范围为m8【分析】运用函数的最值和恒成立之间

17、的关系可解决【解答】解：根据题意得，a+b+mx2+4x+13恒成立a+b+m17，m17ab 即m（17ab）max又a0，b0，1，由基本不等式得（a+b）（+）1+4+1+4+29a+b9，17ab8m8故答案为m8【点评】本题考查函数的恒成立问题15（5分）已知Sn为数列an的前n项和，an2n1，若bn，则b1+b2+bn【分析】根据等比数列的求和公式可得Sn2n1，再裂项求和即可【解答】解：an2n1，Sn2n1，Sn+12n+11，bn，b1+b2+bn（1）+（）+（）1，故答案为：【点评】本题考查了等比数列的求和公式和裂项求和，考查了运算能力，属于中档题16（5分）已知f（x

18、）的定义域为（0，+），f（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）xf（x），则不等式f（x+1）（x1）f（x21）的解集是（2，）【分析】由题意构造函数g（x）xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）（x1）f（x21），构造为g（x+1）g（x21），问题得以解决【解答】解：设g（x）xf（x），则g（x）xf（x）xf（x）+xf（x）xf（x）+f（x）0，函数g（x）在（0，+）上是减函数，f（x+1）（x1）f（x21），x（0，+），（x+1）f（x+1）（x+1）（x1）f（x21），（x+1）f（x+1）（x21）f（x21），g（x+1

19、）g（x21），x+1x21，解得x2故答案为：（2，+）【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程活演算步17（10分）解关于x的不等式x（kR）【分析】原不等式等价于x（kx+3）0 ，再利用二次函数的性质，分类讨论，求得x的范围【解答】解：关于x的不等式x，即0，即 0，即x（kx+3）0 当k0时，不等式即3x0，求得x0，不等式的解集为x|x0当k0时，此不等式对应一元二次方程的两个根为0，当k0时，的两个根为0，0，不等式的解集为x0，不等式的解集为x|x0当k0时，的两个根

20、为0，0，不等式的解集为0x，不等式的解集为x|0x综上，当k0时，不等式的解集为x|x0；当k0时，不等式的解集为x|x0；当k0时，不等式的解集为x|0x【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等方式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题18（12分）已知等差数列an的各项为正数，其公差为1，a2a45a31（1）求数列an的通项公式；（2）设bn+2n1，求b1+b2+b10【分析】（1）利用等差数列通项公式列出方程，求出a13，由此能求出数列an的通项公式（2）求出bn+2n12n+2n1，由此能求出b1+b2+b10【解答】解：（1）等差数列an的各项为正数，其公差为1，a2

21、a45a31（a1+1）（a1+3）5（a1+2）1，解得a13，或a12（舍），数列an的通项公式ana1+（n1）d3+（n1）n+2（2）bn+2n12n+2n1，b1+b2+b10（2+22+23+210）+2（1+2+3+10）101+2102046+110102146【点评】本题考查数列的通项公式、前10项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）自2017年，大连“蜗享出行”正式引领共享汽车，改变人们传统的出行理念，给市民出行带来了诸多便利该公司购买了一批汽车投放到市场给市民使用据市场分析，每辆汽车的营运累计收入f（x）（单位：元）

22、与营运天数x（xN*）满足f（x）7x2+350x2800（1）要使营运累计收入高于1400元求营运天数的取值范围；（2）每辆汽车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？【分析】（1）解关于x的不等式，求出满足条件的x的范围即可；（2）根据基本不等式的性质求出最大值即可【解答】解：（1）要使营运累计收入高于1400元，则f（x）7x2+350x28001400，即（x20）（x30）0，解得：20x30，故要使营运累计收入高于1400元，营运天数的取值范围是（20，30）；（2）每辆汽车每天的平均营运收入为：y7x+3507（x+）+35070，当且仅当x时“”成立，解得：x20，即每辆汽

23、车营运20天时，才能使每天的平均营运收入最大【点评】本题考查了二次不等式的应用，考查基本不等式的性质以及转化思想，考查方程和函数，是一道中档题20（12分）设函数f（x）x2+axblnx，若函数f（x）在x1处与直线y2相切（1）求实数a，b的值；（2）求实数f（x）在，e上的最大值【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（1），根据对应关系求出a，b的值即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+），f（x）2x+a，f（1）1+a，f（1）2+ab，故函数f（x）在（1，1+a）的切线方程是

24、：y（1+a）（2+ab）（x1），即y（2+ab）x+b1，而y2，故，解得：a1，b3；（2）由（1）f（x）x2+x3lnx，f（x）2x+1，令f（x）0，解得：x1，令f（x）0，解得：x1，故f（x）在，1）递减，在（1，e递增，f（）+3f（e）e2+e3，故f（x）maxe2+e3【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题21（12分）已知数列an满足2Sn3an4n（nN*）（1）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）anSnSn12，推导出an+23

25、（an1+2），由此能证明数列an+2是首项为6，公比为3的等比数列，从而能求出数列an的通项公式（2）bn，由此利用错位相减法能求出数列bn的前n项和【解答】证明：（1）数列an满足a11，2Sn3an4n（nN*）anSnSn12，+2，an3an1+4，an+23（an1+2），2a13a14，a14，a1+26，数列an+2是首项为6，公比为3的等比数列，an23n2解：（2）bn，数列bn的前n项和：Tn，两式相减，得：，Tn【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知函数f（

26、x）lnx，g（x）x21（1）求证：函数h（x）f（x）+在（0，+）上只有一个零点；（2）若当x1，不等式2xf（x）mg（x）恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）函数h（x）f（x）+lnx+x（x0）利用导数可证明函数h（x）f（x）+在（0，+）上只有一个零点（2）不等式2xf（x）mg（x）恒成立2xlnxm（x21）等价于h（x）mx2lnx0在1，+）恒成立求出导数，分m0，0m1，m1讨论即可【解答】解：（1）函数h（x）f（x）+lnx+x（x0），g（x）在（0，+）上单调递增，又g（1）0，函数h（x）f（x）+在（0，+）上只有一个零点（零点为1）（2）不等式2xf（x）mg（x）恒成立2xlnxm（x21）即当x1时，m2lnx恒成立，等价于h（x）mx2lnx0在1，+）恒成立即可，当m0时，h（x）0，h（x）单调递减，而h（1）0，h（x）0，不符合题意当m0时，44m20m1即m1时，h（x）0在1，+）恒成立，h（x）h（1）0，符合题意44m20时，即0m1时，x，x，x（1，x2）时，h（x）单调递减，h（x）h（1）0，不符合题意，综上，实数m的取值范围为1，+）【点评】题考查函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题