福建省福州市2020届高三毕业班适应性数学文科试题（含答案解析）

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1、福州市2020届高三毕业班适应性练习卷评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则AB

2、CD【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养【答案】D【解答】由得所以2. 已知复数满足，则ABCD【命题意图】本题主要考查复数的概念及其运算等基础知识，意在考查直观想象、数学运算等数学核心素养【答案】A【解答】设（），依题意得，解得，所以3. 已知均为单位向量，若，则与的夹角为ABCD【命题意图】本题主要考查本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养【答案】C【解答】依题意，所以，即，所以，所以4. 函数的零点所在的区间为ABCD【命题意图】本题主要考查函数零点的概念与存在性定理等基础知识

3、，意在考查逻辑推理，数学运算，直观想象等数学核心素养【答案】B【解答】依题意，为增函数，所以的零点所在的区间为5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为ABCD【命题意图】本题主要考查概率与古典概型等基础知识，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养【答案】C【解答】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为甲,乙,丙，甲,乙,丁，甲,乙,戊，甲,丙,丁，甲,丙,戊，甲,丁,戊，乙,丙,丁，乙,丙,戊，乙,丁,戊，丙,丁,戊，共10种结果记“甲、乙同时被抽到”为事件，则包含基本事件甲,乙,丙，甲,乙,丁，甲,乙,戊，共3个，故6. 若，则A

4、B1C或0D或1【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养【答案】D【解答】由题设得，所以，或所以，或7. 已知平面平面，直线，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分条件、必要条件、直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象等数学核心素养【答案】C【解析】若，则根据面面垂直的性质定理可得；若，则由，可得故选C8. 已知过点的直线与抛物线交于两点，若，则ABCD【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质、直线与抛物线的位置关系等基础知

5、识，意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养【答案】B【解答】依题意，点为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得9. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程则以下说法错误的是A丙有可能没有选素描B丁有可能没有选素描C乙丁可能两门课都相同D这四个人里恰有2个人选素描【命题意图】本题主要考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养【答案】C【解答】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描综上，必定有且只

6、有2人选择素描，选项A，B，D判断正确不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：情形一甲乙丙丁情形二甲乙丙丁素描素描摄影摄影由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确10. 定义在上的奇函数满足，且当时，则ABCD【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学核心素养【答案】B【解答】依题意，所以，所以为周期函数，周期为4又，所以，所以11. 已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象若，则的最小值为ABCD【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质、函数

7、的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养【答案】A【解答】，所以，故的周期为，且因为，所以，或，所以，所以12. 已知双曲线（）的一条渐近线方程为，分别是的左、右顶点，是上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围为ABCD【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养【答案】A【解析】依题意，则双曲线的方程为：，则，设，则，所以，因为，所以第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13. 若实数x，y满足约束条件则的最大值

8、为【命题意图】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算等数学核心素养【答案】4【解答】作出可行域如图所示，则当直线过点时取最大值414. 的内角的对边分别为，若，则【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养【答案】【解答】由题设及正弦定理得，所以又，所以，所以15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形如图中的两个勒洛三角形，它们所对应

9、的等边三角形的边长比为，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为_【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养【答案】【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为，则小勒洛三角形的面积，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，所以大勒洛三角形的面积，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率16. 在三棱锥中，底面，是线段上一点，且三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，则所得截面圆的面积的最小值为【命题意图】本题主

10、要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、球体与截面等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养【答案】【解答】将三棱锥补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，记三角形的外心为，设球的半径为，则球心到平面的距离为，即，连接，则，所以在中，取的中点为，连接，则，所以在中，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为，则，所以最小截面圆的面积为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. （本小题满分12分）已知

11、数列满足，设（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养满分12分【解答】（1）因为，所以，1分又因为，所以，即，3分所以为等差数列，4分其首项为，公差5分所以7分（2）由（1）及题设得，8分所以数列的前项和9分11分12分18. （本小题满分12分）如图，四棱柱的底面为菱形，（1）证明：平面；（2）设，若平面，求三棱锥的体积【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、多面体的体积等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养满分12分【解析】（1）证明：依题意，且，

12、1分四边形是平行四边形，2分，3分平面，平面，平面5分（2）依题意，在中，6分所以三棱锥的体积8分由（1）知平面，10分11分12分19. （本小题满分12分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在岁内的人数为15，并根据

13、调查结果画出如图所示的频率分布直方图：频率/组距年龄/岁（1）求，的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性女性总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：，其中.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【命题意图】本题主要考查概率与统计等基础知识，考查学生的创新意识和应用意识，意在

14、考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析等数学核心素养满分12分【解答】（1）因为志愿者年龄在内的人数为，所以志愿者年龄在内的频率为：；1分由频率分布直方图得：，即，3分由中位数为可得，即，4分由解得，.5分志愿者的平均年龄为（岁）7分（2）根据题意得到列联表：男性女性总计现场报名网络报名总计9分所以的观测值，11分所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系12分说明：第（1）小题中，方程列对一个给2分，两个都列对给3分20. （本小题满分12分）已知（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若存在，使得成立，求的取值范围【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用等

15、基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养满分12分.【解答】1分（1）当时，所以，3分所以曲线在处的切线方程为，即5分（2）存在，使得成立，等价于不等式在有解6分设，则，7分当时，为增函数；当时，为减函数8分又，故10分所以当时，11分所以，即的取值范围为12分21. （本小题满分12分）已知椭圆()的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切（1）求的方程；（2）直线交椭圆于，两点，且已知上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形若在直线右下方，求的值【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算

16、等数学核心素养满分12分.【解答】（1）依题意，2分因为离心率，所以，解得，4分所以椭圆的标准方程为5分（2）因为直线的倾斜角为，且是以为顶角的等腰直角三角形，在直线右下方，所以轴6分过作的垂线，垂足为，则为线段的中点，所以，故，7分所以，即，整理得8分由得.所以，解得，9分所以，10分由-得，将代入得，11分将代入得，解得综上，的值为12分（二）选考题：共10分请考生在第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22.（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程已知直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以为极点，轴的正半轴

17、为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点为上的任意一点，求到距离的取值范围【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分10分.【解答】（1）的普通方程为，即2分曲线的直角坐标方程为，即5分（2）由（1）知，是以为圆心，半径的圆，6分圆心到的距离，7分所以直线与圆相离，到曲线距离的最小值为；最大值，9分所以到曲线距离的取值范围为10分23.（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知，且（1）求的取值范围；（2）求证：【命题意图】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分10分.【解答】（1）依题意，故1分所以，3分所以，即的取值范围为5分（2）因为，所以7分8分9分又因为，所以10分数学试题（第14页 共14页）