三年级奥数第16讲-数字趣谈(教)
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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:三年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师: 授课主题第16讲-数字趣谈 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标尝试使用探索法和分类统计法解决自然数列计数问题授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理 在日常生活中,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9是我们最常见、最熟悉的数,由这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题,动动脑筋,你就会找到答案。本周的习题,大都是关于自然数列方面的计数问题,解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法,相信你们能很好地掌握它。典例分析 考点一:枚举计数例1、在10和40之间有多
2、少个数是3的倍数?【解析】由尝试法可求出答案:34=12 35=15 36=18 37=21 38=2439=27 310=30 311=33 312=36 313=39例2、 在10和1000之间有多少个数是3的倍数?【解析】求10和1000之间有多少个数是3的倍数,用一一列举的方法显得很麻烦。可以这样思考:103=31 说明10以内有3个数是3的倍数;10003=3331 说明1000以内有333个数是3的倍数。3333=330 说明101000之间有330个数是3的倍数。例3、从19九个数中选取,将11写成两个不同的自然数之和,有多少种不同的写法?【解析】将19的九个自然数从小到大排成一
3、列:1,2,3,4,5,6,7,8,9先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求,但用第二小的2和最大的9相加,和为11符合要求,得11=29。依次做下去,可得11=38,11=47,11=56。共有4种不同的写法。例4、2000年2月的一天,有三批同学去植树,每批的人数不相等,没有一个人单独去的,三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想,这三批学生各有几人?【解析】2000年2月有29天,三批同学人数的乘积不能大于29,我们可以先用最小的几个数试乘(1除外):234=24,2429;235=30,3029,不合题意。所以,这三批学生的人数是2,3,4人。例5、一本连环画共100页,排页
4、码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下,排这本书的页码共要用多少个铅字?【解析】这道题可以分类计算:从第1页到第9页,共9页,每页用1个铅字,共用19=9个;从第10页到第99页,共90页,每页用2个铅字,共用290=180个;第100页,只有1页共用3个铅字。所以这本书的页码共用91803=192个铅字。 例6、一本书共250页,求编码时需要多少个数码?【解析】由于本书的页码有一位数、 两位数、 三位数; 而几位数就需要几个数码。故须分类计数,再相加。 一位数:有9个,共需91=9个数码; 两位数:有90个,共需902=180个数码; 三位数:有250-99=151个,共需1513=453个
5、数码; 共需9+180+453=642个数码。 记住规律:一位数: 19,有9个;两位数: 1099,有99-10+1=90个,或99-9=90;三位数: 100999,有999-100+1=900个,或999-99=900个;四位数: 9000个;例7、 给一本书编码,一共用了723个数字,这本书一共用多少页?【解析】刚才例子是正着问,此题倒着问。边尝试边计算: 一位数:有9个,共计用去9个数码; 两位数:有90个,共需902=180个数码; 三位数:有900个,共需9003=2700个数码; 而此题只有 723个数码,多于9+180,小于 9+180+2700,说明数的页数是三位数。 一位
6、数和两位数共计用去9+180=189个数码, 还剩723-189=534个数码给三位数用,每个三位数用3个数码, 则还有5343=178个三位数, 第178个三位数是99+178=277,故本书有277页。例8、 一本书的页码, 在印刷时必须用198个铅字, 自这一本书的页码中数字1出现多少次?【解析】一位数和两位数共计用去9+180=189个数码, 还剩198-189=9个数码给三位数用,每个三位数用3个数码, 则还有93=3个三位数, 第3个三位数是102,故本书有 102页。 那么本题转化为:一本书有102页,问1出现多少次? 即相当于问: 1102里1出现的次数。 数少时可以按由小到大
7、的顺序枚举,即便如此,也很少有孩子能一次想全。 因此,为使计数不重不漏,我们一定要按照一定的顺序枚举。 本题来说最好的枚举顺序我认为是这样的: 最多有3位数, 因此,1如果出现一定是在个位、十位、或百位。 所以我们把个、十、百位的1分类计数,然后再相加。 个位1: 1,11,21,31, 101。有11个;十位1: 10, 11,12, 19。有10个;百位1: 100,101,102。有3个。1出现24次。考点二:计数和数论的综合题例1、 13998这些自然数中,有多少个能被4整除?【解析】最简单的方法是找规律,除以几,数就有几种可能,如除以4,余数可能 03,共四种;连续自然数(或等差数列
8、)除以同一个数余数肯定成周期,周期为除数1 2 3 4 5 6 7 8 9 除以4余数 1 2 3 0 1 2 3 0 1 周期为4,39984=9992,余下的2个为1和2,因此能被4整除的共999个。注意:在这个范围内被4整除的和除以4余3的有999个;除以4余1的和除以4余2的都有 999+1=1000个。例2、 12343998这些自然数中,有多少个能被4整除?【解析】 12343998共有3998-1234+1=2765个数。1234 1235 1236 1237 1238 1239 1240 1241 1242 除以4余数 2 3 0 1 2 3 0 1 2 周期为4,27654=
9、6911,余下的一个是2,因此能被4整除的有691个。注意:在这个范围内被4整除的、除以4余3以及除以4余1的有691个;除以4余2的都有691+1=692个。考点三:计数问题中的乘法原理 加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关。乘法原理: 一般的, 完成一个任务有N步, 第一步有A种做法, 第二步有 B种做法,第三步有C种做法,那么完成这个任务共有ABC种方法。例1、 从北京到天津有3种路线, 从天津到大连有4种路线, 那么从北京经过天津再去大连共有几种路线。【解析】完成任务分两步,第一步从北京到天津,第二步从天津到大连, 分步用乘法原理, 34=12例2、 17中选4个不同数字,组成四位数
10、,共有多少个?【解析】组成四位数,需要一位一位的确定各个位上的数字,分四步。 第一步: 17中选一个数字放到千位,共7种; 第二步:从剩下的6个数字中选一个数字放到百位,共6种; 第三步:从剩下的5个数字中选一个数字放到十位,共5种; 第四步:从剩下的4个数字中选一个数字放到个位,共4种; 分步用乘法: 7654=840种。 特殊元素优先排列,特殊位置优先考虑。例3、 17中选4个不同数字,组成四位奇数,共有多少个?【解析】特殊位置优先考虑 奇数,末位特殊, 1,3,5,7共4中选择。第二步:从剩下的6个数字中选一个数字放到千位,共6种;第三步:从剩下的5个数字中选一个数字放到百位,共5种;第
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