六年级奥数第28讲-“牛吃草”问题（教）

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题 第28讲-“牛吃草”问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 明确牛吃草问题中，必须把草的生长与牛吃的草问题，分开来分析解决，避免复杂错乱。 能够了解问题中的基本不变量并会求出，清楚牛吃草中等量的关系，能够利用求出的不变量来求解变化的问题。 授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 一、专题引入 英国物理学家牛顿曾经编了这样一道数学题：牧场上有一片草，每天生长的一样快，这片草可供10头牛吃22天，或者供16头牛吃10天，如果供22头牛可吃几天？这道题就是有名的

2、牛吃草问题，也叫牛顿问题。解决这一问题的关键是:在牛吃草的同时，草每天也在不断均匀生长，所以草总量也在不断变化。二、知识清单1、牛吃草问题中不变基本量：草的原有量、草的生长速度2、牛吃草问题中可变量:牛的数量、天数3、等量关系：草的总量与牛吃的草的总量一致 草的总量=原有草量+草的生长速度天数（或者草的总量=原有草量-草的减少速度天数），牛吃的草量=牛头数1天数（一般设1头牛1天吃“1”份草）。 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)； 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；典例分析 考点一：求时间例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这

3、片牧草可供27头牛吃6周，或者可供23头牛吃9周。问：可供21头牛吃几周?【解析】1、这片草每天以同样的速度生长是分析问题的难点。我们可以设1头牛1周吃草1份，27头牛6周吃276=162份，23头牛9周吃草239=207份，比较这两个量发现总草量是不一样的，那是为什么呢？思考后得出，总草量的差实际上是由于草生长了不同的时间所导致的。9周比6周的草多长了（207-162=45份），所以每周长出的草量为（453=15份），那么原来草量为162-156=72（份）。2、接下来也是一个难点，我们可以巧妙的处理一下21头牛，我们可以把它分为2部分，15头牛去吃新草，剩下的6头牛去吃旧草，什么时候将旧草

4、吃完，整个牧场的草也就吃完了。 解：设1头牛1周吃的草为1份 每周长出的草量为：（239-276）（9-6）=15（份） 草场原有的草量为：276156 = 72（份） 21头牛可以吃的周数：72（2115）= 12（周） 答：这片草地可供21头牛吃12周。考点二:求牛数例1：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【解析】设1头牛1周的吃草量为“1”，每周草的生长速度为，原有草量为 ，可供（头）牛吃18周考点三：草量匀速减少 例1： 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或

5、可供15头牛吃6天照此计算，可以供多少头牛吃10天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：，原有草量为：；10天吃完需要牛的头数是：(头)考点四：牛羊同吃例1：（年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?【解析】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么1头牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17

6、头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。考点五：牛数变化例1：有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为，原有草量为：现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数(头)考点六：牛吃草问题变化例1：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完.如果要求

7、2小时淘完，要安排多少人淘水？【解析】解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量。而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船 内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。 每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和 等于每人每小时淘水量时间人数，即131030.船内原有水量与8小时漏水量之和为158=40。每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差时间差，即（40-30）（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。船内原有的水量等于10人3小时淘出的总

8、水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于32=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-（23）=24。如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24212（人），但与此同时，每小时 的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+214（人）。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则多少头牛96天可以把草吃完【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为，牧场原有草量为，要吃96天，需要(头)牛2、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周

9、内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）【解析】设一只猴子一周吃的野果为“”，则野果的生长速度是，原有的野果为，如果要4周吃光野果，则需有只猴子一起吃3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 原来牧场有草可供10头牛吃的天数是：(天)。4、一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊

10、一起吃可以吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，所以草的生长速度为，原有草量为，12头牛与88只羊一起吃可以吃（天）5、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了份；15头牛吃10天共吃了 份第一种吃法比第二种吃法多吃了份草，这50份草是牧场的草天生长出来的，所以每天生长的草量为，那么原有草量为：供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天6、有

11、一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天那么它可供几头牛吃20天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么天生长的草量为，所以每天生长的草量为；原有草量为：20天里，草场共提供草， 可以让头牛吃20天7、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天那么，可供11头牛吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，天自然减少的草量为，原有草量为： 若有11头牛来吃草，每天草减少；所以可供11头牛吃(天) 8、：一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再

12、吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为，原有草量为：如果4头牛吃30天，那么将会吃去120的草量，此时原有草量还剩，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：(天) 课后反击1、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？【解析】 6天时共有草：246144 10天时共有草：2010200 草每天生长的速度为：（200144）（106）14 原有草量：14461460 可供19头牛： 60（1914）12（天）2、旅客在车站候车室等车,并且排队的

13、乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 。求增加人数的速度还有原来的人数？【解析】这是一道是比较复杂的牛吃草问题。把每头牛每天吃的草看作1份。因为第一块草地5亩面积原有草量5亩面积30天长的草1030300份所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300560份因为第二块草地15亩面积原有草量15亩面积45天长的草28451260份所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是12601584份所以453015天，每亩面积长846024份所以，每亩面积每天长24151.6份所以，每亩原有草量60

14、301.612份第三块地面积是24亩，所以每天要长1.62438.4份，原有草就有2412288份新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288803.6头牛所以，一共需要38.43.642头牛来吃。两种解法：解法一： 设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：1030/5=60；每亩45天的总草量为：2845/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.630=12，那么24亩原有草量为1224=288，24亩80天新长草量为241.680=3072，24亩80天共有草量307

15、2+288=3360，所有3360/80=42(头)解法二： 10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量 (2845-3030)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-2445=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24) (24/15)=42头3、有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？【解析】为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即5，6

16、，8最小公倍数为120这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，1205=24，变为120公顷草地可供1124=264（头）牛吃10天第二块6公顷可供12头牛吃14天，1206=20，变为120公顷草地可供1220=240（头）牛吃14天。1208=15。问题变成：120公顷草地可供1915=285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛齿及天？即每天新长出的草：（24014-26410）（14-10）=180（份）草地原有草：（264-180）10=840（份）可供285头牛吃的时间：8

17、40（285-180）=8（天） 答：第三块草地可供19头牛吃8天。4、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天那么可供18头牛吃几天？【解析】设1头牛1天吃的草为1份。 则每天新生的草量是（2010-246）(10-6)=14份， 原来的草量是（24-14）6=60份。 可供18头牛吃60（18-14）=15 直击赛场 1、（年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?【解析】“4只羊一天的吃草量相当于1

18、头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么1头牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。S(Summary-Embedded)归纳总结 名师点拨 1、专题特点：关于一块地的牛吃草问题，2、解题方法：同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：设定1头牛1天吃草量为“1”；草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度3、注意事项 牛吃草问题是草地的草在不断的增长，时间不同，草地里草的总量也不同。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是