六年级奥数第27讲-同余法解题（教）

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第27讲同余法解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有ab=qr，也就是abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b

2、整除，q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

3、用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 2.核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看

4、似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。先由，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所

5、求的自然数可以这样计算：，其中k是从1开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128。典例分析 考点一：带余除法的定义和性质例1、两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_【解析】因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为，所以，被除数为。例2、用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数

6、是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到,解方程组得，即这两个自然数分别是856，21.例3、一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于，并且小于；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为考点二：三大余数定理的应用例1、一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】设这个三

7、位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则根据题意可知，所以，即，得所以是9的倍数，是8的倍数此时，由知由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，所以，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54当时，而，所以，故此时最大为；当时，由于，所以此时最小为所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154例2、被除所得的余数是多少？【解析】31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，时被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以被13除的余数与被13除的余数相同，余12，则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，

8、时，被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数，即4，故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是例3、除以41的余数是多少？【解析】找规律：，所以77777是41的倍数，而，所以可以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7例4、求所有的质数P，使得与也是质数【解析】如果，则，都是质数，所以5符合题意如果P不等于5，那么P除以5的余数为1、2、3或者4，除以5的余数即等于、或者除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况如果除以5的余数为1，那么除以5的

9、余数等于除以5的余数，为0，即此时被5整除，而大于5，所以此时不是质数；如果除以5的余数为4，同理可知不是质数，所以P不等于5，与至少有一个不是质数，所以只有满足条件例5、甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍求等于多少？【解析】根据题意，这三个数除以都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来： 由于，要消去余数, , ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4于是我们可以得到下面的式子： 这样余数就处理成相同的最后两两相减消去余

10、数，意味着能被整除，51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以等于17考点三：余数综合应用例1、设是质数，证明：，被除所得的余数各不相同【解析】假设有两个数、，()，它们的平方，被除余数相同那么，由同余定理得，即，由于是质数，所以或，由于，均小于且大于0，可知，与互质，也与互质，即，都不能被整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证例2、从1，2，3，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？ 【解析】被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；

11、如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取个数，使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为时，可以取出57个

12、数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108例3、已知n是正整数，规定，令，则整数m除以2008的余数为多少？【解析】2008能够整除，所以的余数是2007例4、有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等

13、式一边除以9的余数为8，那么1031除以9的余数也必须为8，只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360。例5、设的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，那么？【解析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以与、 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则除以9的余数与除以9的余数相同，而除以9的余数为1，所以除以9的余数为除以9的余数，即为5另一方面，由于，所以的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过，即；那么的各位数字之和，的各位数字

14、之和，小于18且除以9的余数为5，那么为5或14，的各位数字之和为5，即考点四：中国剩余定理例1、一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数【解析】方法1：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，；再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，；这两列数中，首先出现的公共数是73与5的最小公倍数是15两个条件合并成一个就是整数，列出这一串数是7，22，37，52，；再列出除以7余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，；就得出符合题目条件的最小数是52事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52那么这

15、个数在1000和1200之间，应该是方法2：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间结果是方法3：设这个自然数为，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余，被5除与，所以满足前面两个条件的 (为自然数)，只需除以7余3，即除以7余3，而，只需m除以7余3，

16、m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为，那么这个数在1000和1200之间，应该是例2、一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？ 【解析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数而，所以这个数最小为例3、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为多少？【解析】法一：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的“中国

17、剩余定理”，步骤如下：分别找出除以7余4的3、5的公倍数，除以5余3的3、7的公倍数，除以3余2的5、7的公倍数，分别是：60、63、35；可见满足我们的条件，但是要求的是满足条件的最小的自然数，158不是最小的，对此的处理方法就是减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数所以答案为：法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4，当4被加上两个7时得到18，恰好除以5余3，此时符合后两个条件；再依次用7和5的最小公倍数的倍数加18，当18被加上1个35个，得到53，检验符合三个条件所以所求的最小自然数就是53.例4、在200至300之

18、间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？【解析】先找出两个连续自然数，第一个被3整除，第二个被7整除例如，找出6和7，下一个连续自然数是83和7的最小公倍数是21，考虑8加上21的整数倍，使加得的数能被13整除，能被13整除，那么258，259，260这三个连续自然数，依次分别能被3，7，13整除，又恰好在200至300之间由于3，7，13的最小公倍数为273，所以在200至300之间只有258，259，260这三个数满足条件例5、一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数 【解析

19、】法一：将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：3、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以被11除余5，由此可知是符合条件的一个值，但不是最小值，还需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小于它们的最小公倍数由于3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以是符合条件的最小值法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是；由于53除以11的余数为9，105除以11的余数为6，可知除以11的余数为5，所以是满足条件的最小

20、数也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8，也就是除以3、5、7的余数都是1，所以满足前三个条件的数最小为，后面的步骤与上面的解法相同P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【解析】(法1) ，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数，所以这个数是2、求的最后两位数【解析】即考虑除以100的余数由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余

21、1；又因为除以4余1，则除以4余1；即能被4 和25整除，而4与25互质，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余数即等于除以100的余数，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余数等于除以100的余数，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后两位数为633、试求不大于100，且使能被11整除的所有自然数n的和【解析】通过逐次计算，可以求出被11除的余数，依次为：为3，为9，为5，为4，为1，因而被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，；类似地，可以求出被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6

22、，9，8，1，；于是被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即时能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n的和为：4、将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数【解析】以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于被9除的余数，但是由于1999与被9除的余数相同，2000与被9除的余数相同，所以19992000就与被9除的余数相同由此可得，从1开始的自然数123456789101112

23、1320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同根据等差数列求和公式，这个和为：，它被9除的余数为1另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同因此，此数被9除的余数为15、的末三位数是多少？首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于的平方再乘以的末三位而，其末三位为；然后来看前者它是一个奇数的平方，设其为 (k为奇数)，由于，而奇数的平方除以8余1，所以是8的

24、倍数，则是200的倍数，设，则，所以它与105的乘积，所以不论m的值是多少，所求的末三位都是6256、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？【解析】方法一：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，；它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，；除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，；它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，；一个数除以12的余数是唯一的上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5方法二：一个数，除以3余2，除以4余1，可以理解为除以3余，除以4余，所以这个数减去5后，既能被3整除，又

25、能被4整除，设这个数为，则，(m为自然数)所以这个数除以12余5。 课后反击1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3713，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.2、求除以7的余数【解析】法一：由于 (143被7除余3)，所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而，（72

26、9除以7的余数为1），所以故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表： 于是余数以6为周期变化所以3、若为自然数，证明【解析】，由于与的奇偶性相同，所以，如果能被5整除，那么；如果不能被5整除，那么被5除的余数为1、2、3或者4，被5除的余数为、被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管为多少，被5除的余数为1，而，即14个相乘，所以除以5均余1，则能被5整除，有所以由于2与5互质，所以4、将自然数1，2，3，4依次写下去，若最终写到2000，成为，那么这个自然数除以99余几？【解析】由于，可以分别求这个数除以9和1

27、1的余数，进而求出它除以99的余数实际上求得这个数除以9和11的余数均为3，所以这个数减去3后是9和11的倍数，那么也是99的倍数，所以这个数除以99的余数为35、一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【解析】法一：仔细分析可以发现，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于，所以这个数最小是法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数6、对任意的自然数n，证明能被1897整除 【解析】，7与271互质，因为，所以，故能被7整除又因为，所以，故能被271整

28、除因为7与271互质，所以能被1897整除直击赛场 1、(南京市少年数学智力冬令营试题) 与的和除以7的余数是_【解析】找规律用7除2，的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4因为，所以除以7余4又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同而2003除以7余1，所以除以7余1故与的和除以7的余数是2、(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果

29、发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的2倍，则丙手中卡片上的数是_(第五届小数报数学竞赛初赛) 【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数计算这六个数的总和是，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为11933、(奥数网杯)已知，问：除以13所得的余数是多少？【解析】2008除以13余6，10000除以13余3，注意到；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余，2008200

30、82008除以13余，即200820082008是13的倍数而除以3余1，所以除以13的余数与除以13的余数相同，为6.4、(“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式 (其中)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的是多少？【解析】由于， 于是，从而(用代入上式检验)(1)，对进行讨论：如果，那么(2)，又的个位数字是6，所以的个位数字为4，可能为、，其中只有符合(2)，经检验只有 符合题意如果，那么(3)，又的个位数字为2或7，则可能为、，其中只有符合(3)，经检验，不合题意如果，那么(4)，则可能为、，其中没有符合(4)的如果，那么，因此这时不可能符

31、合题意综上所述，是本题唯一的解5、(华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗? 【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为2，3，4，B孔的编号就是圆圈上的孔数我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1按题意，小明最后跳到B孔，因此

32、总孔数是3的倍数加1同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为，则（为非零自然数）而且能被7整除注意15被7除余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而已经大于1007以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 一、带余除法的定义及性质二、三大余数定理：1.余数的加法定理2.余数的乘法定

33、理3.同余定理四、中国剩余定理1.中国古代趣题2.核心思想和方法名师点拨 弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个

34、加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是