六年级奥数第27讲-同余法解题(学)
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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:六年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师:授课主题第27讲同余法解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理),及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理 一、带余除法的定义及性质一般地,如果a是整数,b是整数(b0),若有ab=qr,也就是abqr, 0rb;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:(1)当时:我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)当时:我们称a不可以被b
2、整除,q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理:1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:ab ( mod m ),左边的式子叫做同余式。同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除
3、用式子表示为:如果有ab ( mod m ),那么一定有abmk,k是整数,即m|(ab)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少? 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。 2.核心思想和方法对于这一类问题,我们有一套看
4、似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以孙子算经中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所
5、求的自然数可以这样计算:,其中k是从1开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上3,5,7即可,即23+105=128。典例分析 一、带余除法的定义和性质例1、两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是_例2、用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少?例3、一个两位数除以1
6、3的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数二、三大余数定理的应用例1、一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?例2、被除所得的余数是多少?例3、除以41的余数是多少?例4、求所有的质数P,使得与也是质数例5、甲、乙、丙三数分别为603,939,393某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍求等于多少?三、 余数综合应用例1、设是质数,证明:,被除所得的余数各不相同例2、从1,2,3,n中,任取57个数,使这57个数必有两个数的差为13,则n的最
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