六年级奥数第18讲-加法、乘法原理(教)
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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:六年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师: 授课主题第18讲-加法、乘法原理授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 理解加法、乘法原理的类型; 会用加法、乘法原理解应用题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理 生活中常有这样的情况,就是在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用一类中的一种方法就可以完成,并且几类方法是互不影响的。在每一类方法中,又有几种可能的做法,那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用到加法原理来解决。还有这样的一种情况就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又
2、有几种不同的方法,要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决。加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有种不同方法,在第二类方法中有种不同方法,在第n类方法中有种不同方法,那么完成这件任务共有种不同方法。乘法原理:如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有种方法,做第2步有种方法,做第n步有种方法,那么按照这样的步骤完成这件任务共有种不同方法。典例分析 例1、一个盒子内装有5个小球,另一个盒子内装有9个小球,所有这些小球颜色各不相同。 问:从两个盒子内任取一个小球,有多少种不同的取法? 从两个盒子内各取一个小球,有多少种不同的取法?【解析】“从两个盒子内任取一个
3、小球”,则这个小球要么从第一个盒子中取,要么从第二个盒子中取,共有两类方法,所以应用加法原理。 “从两个盒子内各取一个小球”,可看成先从第一个盒子中取一个,再从第二个盒子中取一个,分两步完成,所以应用乘法原理。 从两个盒子中任取一个小球共有: 5+9=14(种) 从两个盒子中各取一个小球共有: 59=45(种)例2、从1到399的所有自然数中,不含有数字3的自然数有多少个?【解析】从1到399的所有自然数可分成三类。一位数中不含3的有8个,1、2、4、5、6、7、8、9。两位数中,不含3的可以这样考虑:十位上不含3的有1、2、4、5、6、7、8、9共八种情况;个位上,不含3的有0、l、2、4、
4、5、6、7、8、9这九种情况,要确定一个两位数,可以先取十位数字,再取个位数字,应用乘法原理,这时共有89=72个数字不含3。三位数中,小于400并且不含数字3的可以这样考虑:百位上不含3的有l、2这两种情况,十位上和个位上不含3的有0、1、2、4、5、6、7、8、9这九种情况。 在从1到399中,不含3的一位数有8个; 不含3的两位数有89=72个; 不含3的三位数有299=162个。 由加法原理,在从1到399中,共有: 8+72+162=242(个)不含3的自然数。 例3、用5种颜色给图1的五个区域染色,相邻的区域染不同的颜色,每个区域染一种颜色。问:共有多少种不同的染色方法?【解析】由
5、图1可知A与D、B与E不相邻,它们之间有同色和不同色两类变化。考虑当A、D染同色时,根据乘法原理。 当A、D染同色时,有: 543+5432=60+120=180(种) 当A、D染色不同时,有: 5432+54321=120+120=240(种) 根据加法原理: 180+240=420(种) 答:共有420种不同的染色方法。 例4、学校羽毛球队有12名男队员,10名女队员。 (l)要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手,有多少种不同的搭配方法? (2)该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名,学校选一名运动员去领奖,有多少种选法?【解析】(l)组成男、女混合双打选手,先挑选男队员有1
6、2种方法,再挑选女队员有10种方法,根据乘法原理可求有多少种不同的搭配方法。 (2)选一名运动员去领奖,从男队员中选有12种选法,从女队员中选有10种方法,根据加法原理可求有多少种选法。 (1)根据乘法原理,组成男、女混合双打选手有: 1210=120(种) (2)根据加法原理,选一名运动员去领奖有: 12+10=22(种)例5、找出图2中从A点出发,经过C点和D点到B点的最短路线,共有多少条?【解析】要找出从A到B共有多少条不同的最短路线,只要根据加法原理找出A点到图上每个交点的最短路线,便可得到。 如图3所示,从A到 、 走最短路线只有1种方法,而从A到 有 、 两种路线。根据同样的道理可
7、推算出A到图上各点的走法数。先运用加法原理进行推算,AC有6种走法。再用同法得出CD、DB的走法数,再用乘法原理可得出从ACDB的最短线路。从A到C有6种走法,再以C为起点,用相同的办法得出到D的走法有10种。从D到B的走法也有6种。运用乘法原理得出,从A经C、D到B的最短不同线路共有 6106=360(种)。例6、现有壹元的人民币4张,贰元的人民币2张,伍元的人民币5张,如果从中至少取一张,至多取11张,那么共可以配成多少种不同的钱数?【解析】33(种)例7、由数字1、2、3、4、5、6、7、8、9可组成多少个三位数?三位偶数?没有重复数字的三位偶数?百位为9的没有重复数字的三位数?百位为9
8、的没有重复数字的三位偶数?【解析】要组成三位数,需一位一位地确定各个数位上的数字,即分三步完成,如,组成三位数可先从百位上考虑起,百位有9种选择方法,依次十位和个位也各有9种选择方法,根据乘法原理可求。若要排成偶数,则要考虑到尾数的排法只有4种,即只能排2、4、6、8。若要排成无重复数字的数,则须考虑到确定一个数位的选法之后,下一个数位的选法会减少。 组成三位数,百位、十位、个位各有9种选法,由乘法原理可知有: 999=729(种)。 组成三位偶数,个位有4种选法,百位、十位各有9种选法,那么有: 499=324种)。 无重复数字三位偶数,个位有4种选法,十位有(9-l)种选法,百位有(9-1
9、-l)种选法,那么共有: 487=224(种)。 百位为9的无重复数字的三位数,百位有1种选法,十位有8种选法,个位有7种选法,那么共有: 187=56种)。 百位为9的无重复数字的三位偶数,百位有一种选法,个位有4种选法,十位有(9-2)种选法。那么共有: l47=28(种)。例8、有A、B、C、D、E五人排成一队,A不许站排头,B不许站排尾,共有多少种不同排法?12345【解析】我们从排头到排尾依次编号为1、2、3、4、5。由于A不能站排头,所以我们可考虑A的站位,再由B不能站排尾,考虑B的站位,然后再考虑C、D、E的站位;同时,我们也可以换个角度:从所有可能的站位情况,扣去A站排头或B站
10、排尾的情况,从而得到所有不同排法。解法一:先讨论A的站位:(1)A站在5号位置上,则A只有一种站法,B有4个不同位置可站,C有3个不同位置可站,D有两个不同位置可站,E只有1个位置可站,由乘法原理,在这种站位方式下有14321=24(种)不同的排队方法。(2)A站在2、3、4号3个位置之一。此时A有3个位置可站,B不能站在5号位,也只有3个位置可站,C有3个位置可站,D有2个位置可站,E有1个位置可站,由乘法原理,在这种站位方式下有: 33321=54(种)不同的排队方法。最后,由加法原理,共有24+54=78(种)不同的排队方法。解法二:五个人任意排队,共有54321=120(种)不同的方法
11、。A站排头有4321=24(种)不同的排法;B站排尾有4321=24(种)不同的排法;但这两种方法有重复,即A站排头且B站排尾;有321=6(种)不同的排法。因此,由容斥原理,A站排头且B不站排尾的排队方法总数是: 120-42=78(种)。答:符合要求的排队方法共有78种。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、书架上有6本不同的画报、10本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书,共有种不同的取法?【解析】第一步:取一本画报,有6种方法; 第二步:取一本科技书,有10种方法。 根据乘法原理: 一共有610=60(种)2、用0,1,2,3,4,5,6
12、,7,8,9十个数字,能够组成个没有重复数字的三位数?【解析】第一步:排百位数字,有9种方法(0不能作首位); 第二步:排十位数字,有9种方法; 第三步:排个位数字,有8种方法。 根据乘法原理:一共有998=648(个)没有重复数字的三位数。3、书架上有不同的数学书20本,不同的语文书10本,现从书架上取书,试问: (1)取出一本书,有_种不同的取法。 (2)取出数学书和语文书各一本,有_种不同的取法。【解析】(1)取出一本书,若是数学书有20种取法,若是语文书,有10种取法,总共有: 20+10=30(种)取法。 (2)取出数学书和语文书各一本,可以分两步完成: 先取出数学书,有20种取法;
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