六年级奥数第15讲-抓“不变量”解题(教)
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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:六年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师:授课主题第15讲抓“不变量”解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握“总量不变”,“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想,并能用这些思想解决现实生活中的问题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理 一个数量的变化,往往会引起其他数量的变化。如“某班转走3名女生”,女生人数变了,总人数也跟着变了,男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了只有注意到这些变化,才能防止出错。但在这些数量变化时,与它们相关的另外一些数量却没有改变。在分析数量关系时,这种不变量常常
2、会起到非常重要的作用。抓住不变量进行思考,可以顺利解答一些经典的应用题,能达到事半功倍的效果。根据不变量的不同,可以将“量不变”应用题分为三种类型:“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。典例分析 考点一:总量不变题中两个变化的量中,一个量在增加,另一个量减少,但是增加的和减少的同样多,所以两个量的总和保持不变。解题时,一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?【解析】这道题上下层都发生了变化,但总数量不变,可把总数量看
3、作单位“1”,抓住总数量不变,根据上层与下层的数量比是7:8知上层占总数的7/15,又根据上层与下层的数量比是8:7,知上层占总数的8/15,列式:10(8/15-7/15)=150(本),150本为总数量,150(7+8)=10(本)710=70(本)810=80(本)。例2、小丽有故事书108本,小芳有故事书140本,小芳借了若干本故事书给小丽后,小丽的故事书的本数是小芳的3倍。问小芳借了多少本故事书给小丽?【解析】小芳借了若干本故事书给小丽前后,小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化,但两人拥有故事书的总本数不变,这是本题解题的关键。即(108+140)本就是小芳现有故事书的本数的(3+
4、1)倍,因此小芳现有故事书的本数是(108+140) (3+1)=62本,所以小芳借给小丽故事书的本数是140-62=78(本)。可以验证一下:(108+78)(140-78)=18662=3,答案正确。例3、有一个书架,上层与下层书的数量比是2:3,现从上层拿15本书给下层,这时上层与下层书的数量比是3:7,求原来上、下层各有多少本书?【解析】根据题意,上、下两层书的本数都发生了变化,而上下两层书的总数量是不变的,可把总数量看作单位“1”。抓住总数量不变,根据上层与下层书的数量比是2:3,知道上层书占总数的2/5;又根据上层与下层书的数量比是3:7,知道上层书占总数的3/10,两人故事书的总
5、本数是:15(2/5-3/10)=150(本),所以上层原有书1502/5=60(本),下层原有书150-60=90(本)。考点二:相差量不变题中的两个量同时增加,或者同时减少,但是这两个量的差始终保持不变。根据这个不变的差量,就可以解决问题了。例1、有一个书架,上层与下层的数量比是7:8,上、下层同时都拿走10本后,剩下上层与下层本数的比是13:15,求原来上、下层各有多少本?【解析】这道题上下层都发生了变化,但它们的差不变,可把它们的差看作单位“1”,抓住相差量不变,根据上层与下层的数量比是7:8,知上层占差的7/1,又根据上层与下层的数量比是13:15,知上层占差的13/2,列式:10(
6、7/1-13/2)=20本,20(8-7)=20本,208=160(本),207=140(本)。例2、今年琪琪5岁,妈妈32岁,再过多少年妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍?【解析】不论经过多少年,琪琪和妈妈的年龄差都是不变的。今年妈妈与琪琪的年龄差为32-5=27(岁),等于妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍时的年龄差,所以27岁对应的是那一年琪琪岁数的(4-1)倍。那一年琪琪的岁数是(32-5)(4-1)=9(岁),经过的年限是:9-5=4(年)。例3、用杯子往一个空瓶里倒水,如果倒进6杯水,连瓶共重680克,如果倒进9杯水,连瓶共重920克,求空瓶的重量。【解析】随着倒进的杯数不同,瓶里水的重量和总重量
7、都在变化,但是不管倒进几杯水,每一杯水的重量都是不变的,所以,(920-680)克就正好是(9-6)杯水的重量。对应相除就能求出1杯水的重量,(920-680)(9-6)=80(克)从而就可以求出空瓶的重量。920-809=200(克)。 考点三:部分量不变这类应用题的特点是:两个量中的一个量发生了变化,而另一个量不变。解题时可以把这个不变的量作为解题突破口,寻找解题方法。例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现又拿来10本书放到上层,这时上层与下层的比是15:16,求原来上、下层各有多少本?【解析】这道题中,由于从外面拿10本书放到上层,上层的数量发生了变化,而下层本数不变,可把下
8、层本数看成单位“1”,抓住部分量不变,根据原来上层与下层书的数量比是7:8,知上层本数占下层的7/8,放入10本后,上层本数占下层的15/16,也就是下层的(15/16-7/8)是10本,列式:10(15/16-7/8)=160本,160本为原下层的本数,上层为160/87=140本。例2、小军原有的钱数是小明的3/4,小军用去100元后,这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。小军原来有多少元钱?【解析】题中小军的钱数减少了,总钱数也减少了,但小明的钱数没有变,因此,我们可以把小明的钱数看作单位“1”。这时“小军用去100元后,这时小军的钱数是两人总钱数的5/17”就转化为“小军用去100后,
9、这时小军的钱数是小明的5/(17-5),即5/12”,再根据题中前两个条件可知,100元相当于小明的钱数的3/4-5/12=1/3。因此小明的钱数是1001/3=300(元),小军原有钱数是3003/4=400(元)。例3、唐洋小学六(4)班男生人数占班级总人数的9/16,后来又转走了4名男生,这时男生人数占班级总人数的8/15,求六(4)班原来有学生多少名?【解析】从男生转走了4名看出,男生人数和班级总人数都发生了变化,但女生人数没有变。因此可以把女生人数这个不变量看作单位“1”,原来男生人数占班级总人数的9/16,女生人数就占班级总人数的1-9/16=7/16,原来男生人数是女生人数的9/
10、167/16=9/7;现在男生人数占总人数的8/15,女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/157/15=8/7,男生人数减少了4名,分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为41/7=28(名),六(4)班原有学生人数是287/16=64(名)。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、育才小学六(1)班原有学生56人,其中女生人数占全班人数的3/7,现又转入若干名女生,这时,女生人数占全班的13/29。问又转入多少名女生?【解析】这道题中,据六(1)班原有学生56人,其中女生人数占全班人数的3/7,知女生有563/
11、7=24(人),由于女生后来人数发生了变化,而男生人数一直没有变化,抓住不变量男生人数,男生人数为56-24=32(人),据又转入若干名女生,这时,女生人数占全班的13/29,知男生人数占后来全班人数的(1-13/29)=16/39,后来全班人数为32(1-13/29)=58(人),58-56=2(人),得出又转入女生2人。列式:563/7=24(人),56-24=32(人),1-13/29=16/39,32(1-13/29)=58(人),58-56=2(人)。2、某工程,由甲先做了12天,再由甲、乙两人合做,完成任务时,甲做了这项工程的5/8,甲每天的工作量是乙的2/3,假如这项工程由甲单独
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