六年级奥数第09讲-比的应用（教）

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师： 授课主题第09讲-比的应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题； 进一步体会比的意义，感受比在生活中的广泛应用，提高解决问题的能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 在学生学习了比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，掌握了按比分配的解题方法，不仅能有效地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题，也为以后学习“比例”“比例尺”奠定了

2、基础。比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。典例分析 考点一：简单的数比的应用我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。例1、甲数是乙数的2/3，乙数是丙数的4/5，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。【解析】甲、乙两数的比 ： 2：3 乙、丙两数的比 ： 4：5 甲、乙、丙三数的比 8：12：15 答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。例2、光明小学将五年级的140名学生，分

3、成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？【解析】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。 一、二两组人数的比 2：3 二、三两组人数的比 4：5 一、二、三组人数的比 8：12：15 总份数：8+12+1535 第一组：1408/3532（人） 第二组：14012/3548（人） 第三组：14015/3560（人） 答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。例3、甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3：4。原来甲校有图书多少本？【解析】由

4、甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知，原来甲校图书的本数是两校图书总数的，由于甲校给了乙校650本，这时甲校的图书占两校图书总数的，甲校给乙校的650本图书，相当于两校图书总数的。即： 650（）2450（本） 答：原来甲校有图书2450本。例4、从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子分得1/2，二儿子分得1/3，小儿子分得1/9，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？【解析】因为1/2+1/3+1/917/18，17/181，就是说三兄弟并未将全部牛分完，所以我们求出三个儿子分牛头

5、数的连比，最后再按比例分配。 三个儿子分牛头数的连比：1/2：1/3：1/99：6：2 总份数：9+6+217 三个儿子各分得牛的头数：179/179（头）176/176（头）172/172（头） 答：大儿子分得9头，二儿子分得6头，小儿子分得2头。例5、两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？【解析】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几再解答。 一个瓶中酒精占瓶子容积的比： 3/（1+3） 3/4 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比： 4/（1+4）

6、4/5 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比： 3/4+4/5 31/20 水占一个瓶子容积的比： 231/20 9/20 混合液中酒精与水的比 31/20：9/2031：9 答：混合液中酒精与水的比是31：9。考点二：用比解应用题 比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。例1、甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走1/5的路，而乙走的时间比甲少1/11，求甲、乙两人速度的比。【解析】因为 速度路程时间，所以，甲、乙速度的比： （1）甲、乙路程的比：（1+1/5）：16：5 （2）甲、乙时间的比：1：（11/11）11：10

7、 （3）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11 答：甲、乙速度的比是12：11。例2、制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？【解析】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效率的比进行解答。 甲、乙、丙工作效率的比： 1/6：1/5：1/1.515：18：20 总份数：15+18+2053 甲 ：159015/53450（个） 乙：159018/53540（个） 丙：159020/53600（个） 答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、60

8、0个。例3、两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？【解析】因为产值价格产量，所以 甲产值：乙产值（甲价格甲产量）：（乙价格乙产量） 两厂的产值比为：（116）：（105）66：50 甲厂产值为：696066/（66+50）3960（元） 乙厂产值为：696050/（66+50）3000（元） 答：两厂的产值分别是3960万元和3000万元。例4、A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？【解析】解法一：因为A、B两种商品涨价

9、的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变， 所以价格差对应的份数也应该相同。 原价格比7：321：9 现价格比7：428：16 【这样前后项的差都是12，价格涨了（2821）7份，是70元】 70（2821）10元 A：1021210（元） B：10990（元） 解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。（1）原来A商品的几个是价格差的几倍 7（73）7/4（2）后来A商品的价格是价格差的几倍 7（74）7/3（3）A、B两种商品的价格差是 70（7/37/4）120（元）（4）原来A商品的价格是 120（73）7210（元）（5） 原来B商品的价

10、格是 120（73）390（元） 答：A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。例5、如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1：2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？【解析】解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚和李华所用的时间，再求出各自所走的路程。王刚和李华所用时间的比 1/4：2/105：4王刚所用的时间 1（54）55（小时）甲地到丙地的路程 4520（千米）甲、乙两地的路程 20（1+2）60（千米） 解法二：如果李华

11、每小时行428千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时多行1082千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了10110千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。王刚从甲地到丙地的时间10 1（1042）5（小时）甲、乙两地的路程45（1+2）60（千米） 解法三：如果王刚每小时行1035千米，就能和李华同时到达。由此可见，王刚走完甲地到丙地的路程，用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度相比，所用的时间相差1小时。再根据1千米的路程，两种速度所用的时间相差 1/41/5 1/20小时。最后求出甲地到丙地的路程。甲地到丙地的路程1（1/41/（102）20（千米）甲、乙两地的

12、路程20（1+2）60（千米） 答：甲、乙两地相距60千米。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、甲数是乙数的4/5，乙数是丙数的5/8，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。【解析】因为甲数：乙数=4：5， 乙数：丙数=5：8； 所以甲：乙：丙=4：5：8； 故答案为：4：5：8 2、某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他作物面积的比6：1。每种作物各是多少公亩？【解析】因为棉田=7：2=21：6，棉田：其他作物=6：1，所以粮田：棉田：其他作物=21：6：1；所以粮田的面积为： 61600（21+6+1）21=61

13、6002821=220021=46200（公亩）棉田：61600（21+6+1）6 =22006 =13200（公亩）其它作物：61600（21+6+1）1=2200（公亩）。答：粮田的面积是46200公亩，棉田的面积是13200公亩，其他作物的面积是2200公亩。3、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多，小芳用的时间比小明多。求小明和小芳速度的比。【解析】小明与小芳路程的比是（1+）：16：5 小明与小芳时间的比是1：（1+）8：9 小明与小芳速度的比是：27：204、加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间

14、完成任务，那么各应加工多少个？【解析】甲、乙、丙效率的比是：28：25：21 总份数：28+25+2173 甲应加工的个数：1825700个 乙应加工的个数：1825600个 丙应加工的个数：1825525个 5、两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比是1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。【解析】铜与锌的比是2:5的合金中,含铜=2/（2+5）=2/7；即铜的质量是合金的2/7。铜与锌的比是4:1的合金中,含铜=4/（4+1）=4/5；即铜的质量是合金的 4/5。新合金中含铜=（2/7+4/5）/（1+1）=19/35.（其中1+1为两块合金的

15、质量和）即铜的质量是合金的19/35。那么 新合金中含锌=1-19/35=16/35，新合金中,铜：锌=19/35：16/35=19:16。 5、苹果和梨的单价的比是6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3，共花去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？【解析】苹果与梨的总价比为： （62）：（53）4：5 苹果：188元 梨 ：1810元6、一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？【解析】解法一：4（+）72千米 解法二：45（4）72千米7、下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地

16、的路程与乙地到丙地的路程的比是2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以每小时50千米的速度从乙地开往丙地，客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的路程？ 甲 丙 乙【解析】（1）乙地到丙地的路程 1（）300千米 （2）甲、乙两地之间的路程 300（1+）500千米 课后反击1、黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5：4，第二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？【解析】第一小组与第二小组人数之比为：5：4=15：12，第二小组与第三小组人数比为：3：2=12：8，第一、第二

17、、第三小组人数比是：15：12：8，总人数：15（12+8-15）（15+12+8）， =15535 =335 =105（人） 答：六年级参加植树的共有105人。2、五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的1/3，二班与三班参加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？【解析】二班人数：811/（13-11）=44人； 三班人数：813/（13-11）=52人； 一班人数：（44+52）（1-1/3）1/3=48人。3、甲走的路程比乙多，乙用的时间比甲多。求甲、乙的速度比。【解析】甲、乙路程的比是（1+）：14：3 甲、乙时间的比是1：（1+）

18、：14：5 甲、 乙速度的比是：5：34、大、小两种苹果，其单价比是5：4，重量比是2：3。把两种苹果混合，成为100千克的混合苹果，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？【解析】两样苹果的总价：4.4100440元 两种苹果总价的比：（52）：（43）5：6 大苹果的总价：440200元 大苹果的重量：10040千克 大苹果的单价：200405元 小苹果的单价：5544元5、甲书架上的书是乙书架上的，两书架上各增加154本后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？【解析】解法一：甲、乙原来的比是4：7 甲、乙后来的比是5：615：18 甲书架上原有的

19、书：154（154）456本 乙书架上原有的书：154（187）798本 解法二：由于甲、乙两个书架上本数的差没有变，因此，以甲、乙两个书架上本书的差为单位“1”来考虑。甲、乙两个书架上相差的本数154（）42本原来甲、乙两个书架上的本数甲：42（74）456本乙：42（74）798本6、兄弟两人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。从年初到年底，他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？【解析】解法一：兄、弟二人收入的是4：320：15 兄、弟二人支出的比是18：13 兄一年的收入是720（2018）207200元 弟一年的收入是720（1513）155400元 解法二：兄弟

20、二人的收入相差 720（）1800元兄、弟每年的收入各是： 兄：1800（43）47200元 弟：1800（43）35400元7、甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是6：5。甲、乙每小时各做多少个？【解析】乙：（30002400）1100个 甲：100120个直击赛场 1、甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？【解析】根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为；

21、 乙、丙两人的工作效率之和为； 甲、乙、丙三人的工作效率之和为。 分别可求得甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为， 则甲完成的工程量为：，乙完成的工程量为：，丙完成的工程量为： ，三人所完成的工作量之比为。 所以，甲应得元，乙应得元，丙应得元2、一个圆柱体的容器中，放有一个长方形铁块。现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器。已知容器的高度是50厘米。长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积:容器底面面积等于多少？【解析】注满容器20厘米高的水与30厘米高的水所用时间之比为20：30=2：3。注20厘米的水的时间为(分)，这说明注入

22、长方形铁块所占空间的水要用时间为12-3=9(分)。已知长方形铁块高为20厘米,因此它们底的面积比等于它们的体积之比,而它们的体积比等于所注入时间之比，故长方形底面面积：容器底面面积=9：12=3：4S(Summary-Embedded)归纳总结名师点拨 在学生学习了比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，掌握了按比分配的解题方法，不仅能有效地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题，也为以后学习“比例”“比例尺”奠定了基础。比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。 学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是