五年级奥数第20讲-最小公倍数(教)
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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:五年级课 时 数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师: 授课主题第20讲最小公倍数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握倍数和最小公倍数的概念,最小公倍数的求法; 会利用最小公倍数解决实际问题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除,A叫做B的倍数,B就叫做A的约数(在自然数的范围内)。如:2和6是12的约数,12是2的倍数,12也是6的倍数;18的约数有1、18、2、9、3、6。注意:一个数的约数个数是有限的,一个数的倍数有无数个。任何数都有最小的约数1,最大的约数本身,最小的
2、倍数也是本身。一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3的倍数有:3、6、9、12其中最小的倍数是3 ,没有最大的倍数。因数和约数的区别:约数必须在整除的前提下才存在,而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b相乘的积是数c,a与b都是c的因数。二、 2、3和5倍数的特征2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8,是2的倍数的数叫偶数,不是2的倍数的数叫奇数5的倍数的数特征是个位是0或53的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数三、质数与合数(1)只有1和本身两个因数的数叫做质数(或素数)(2)除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数(3)1既不是质数,
3、也不是合数(4)100以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。(5)几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3的倍数有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。记作2,3=6。如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的
4、公倍数的个数是无限的。注意:最大公约数最小公倍数=两数的乘积,即(a,b)a,b=ab。典例分析考点一:最小公倍数的求法例1、列举法:求6和10的最小公倍数。【解析】先分别写出6 和8 各自的倍数,再从中找出公倍数和最小公倍数。6 的倍数:6 ,12 , 18 ,24 ,30,36,42,48 10 的倍数:10 ,20,30,40,50 所以6和10的最小公倍数是30。例2、短除法:求56和24的最小公倍数。【解析】 2 56 24 2 28 12 2 14 6 7 3 56和24的最小公倍数是22273=168例3、分解质因数法:求120和100的最小公倍数【解析】120=22235 10
5、0=2255 120,100=222355=600例4、多个数求最小公倍数:求45、60和75的最小公倍数【解析】3 45 60 903 15 20 30 5 5 20 10 2 1 4 2 1 2 145,60,90=180 (当除到任意两数还有公因数时,则还要继续除下去)考点二:应用最小公倍数巧算例1、一次数学竞赛均是填空题,小明答错的恰是题目总数的,小亮答错5道题,两人都答错的题目占题目总数的,已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半,则他们都答对的题有多少道【解析】因小明答错的恰是题目总数的,两人都答错的题目占题目总数的,所以题目的总数应是4和6的倍数,然后根据小明、小亮答对的题
6、目数超过了试题总数的一半,分情况进行解答。解:已知题目个数一定是整数设为XX是4和6的倍数且5,X30;有X-5,X10;5时,即X20时,所以X=24;答:都答对的题有24-5-6+4=17。例2、某加油站有二位员工,从今年l月1日起规定:员工甲每工作3天后休息1天,员工乙每工作5天后休息2天,当遇到二人都休息时,必须另聘一位临时工,则今年共有多少天要聘1个时工人?【解析】甲每到4的倍数就休息,而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息因为4和7的最小公倍数是28,因为今年是平年,所以在28的倍数休息的日子时;3652815(天),而在比7的倍数少一天休息时,甲乙第一次重逢的日子是第二十天,以
7、后每隔28天就共同休息一天,365-20=345(天),3452812(天)所以甲乙两人共同休息的天数是15+12+1=28(天)例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树,并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个?(希望杯考题)【解析】这一段地全长96米,从一端每隔4米挖一个坑,一共要挖树坑:964+1=25(个)后来,改为每隔6米栽一棵树,原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上,可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始,每隔12米的那个坑不必挖。96米中有8个12米,有8个坑是已挖好的,再加上已挖好的第一个坑,一共有9个坑
8、不必重新挖。9612+1=9(个)答:。重新挖树坑时可以少挖9个。考点三:最小公倍数综合例1、有一些画片,如果平均分给3个同学,还余1张;如果平均分给5个同学,还余3张;如果平均分给4个同学,则少2张这些画片至少有多少张?【解析】由于平均分给3个同学,还余1张则这个数减1是3的倍数;如果平均分给5个同学,还余3张则这个数减3是5的倍数;如果平均分给4个同学,则少2张则这个数加2是4的倍数因此,我们可从3,4,5的最小公倍数入手来分析一下,3,4,5的最小公倍数为346=60由于是求最小,我们可从减开始,如果平均分给4个同学,则少2张,60-2=58,583=191,585=113,所以这个数最
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