五年级奥数第19讲-最大公约数（教）

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1、获取更多培训机构专属优质教育资源，请加微信：weiliuxiao01学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：五年级课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师： 授课主题第19讲最大公约数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握约数和最大公约数的概念，最大公约数的求法； 会利用最大公约数解决实际问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；18的约数有1、18、2、9、3、6。注意：一个数的约数个数是有限的，

2、一个数的倍数有无数个。任何数都有最小的约数1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b相乘的积是数c，a与b都是c的因数。二、质数与合数（1）只有1和本身两个约数的数叫做质数（或素数）；（2）除了1和本身外还有其它约数的数叫做合数；（3）1既不是质数，也不是合数；（4）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67

3、、71、73、79、83、89、97。（5）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质约数，例如15=35，3和5 叫做15的质约数。（6）把一个合数用质约数相乘的形式表示出来，叫做分解质约数。几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数，记作（12,18）=6。（7）公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数

4、互质；两个不同的质数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数；如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。典例分析考点一：最大公约数的求法例1、列举法: 求12和18的最大公约数。【解析】12的约数有1，2，3，4，6， 12。18的约数有1，2，3，6，9，18。12和18的公约数有1，2，3，6。12和18的最大公约数是6。例2、短除法：求42和105的最大公约数。【解析】3 42 1057 14 35 2 542和105的最大公约数为：37=21。例3、分解质约数法：求48和72的最大公约数。【解析】把48分解质约

5、数：48=22223 把72分解质约数：72=2223348和72的最大公约数为：2223=24例4、辗转相除法：求432和225的最大公约数。【解析】432225=1余207225207=1余1820718=11余9189=2所以9就是432和225的最大公约数。考点二：应用最大公约数巧算例1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？【解析】4分米5厘米45厘米、3分米6厘米36厘米、2分米4厘米24厘米。45、36、24的最大公约数是3。所以正方体木块的棱长最长是3厘米。例2、一条道

6、路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？【解析】由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将3602=180米、6752=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=3602，337.5=6752，所以，452=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。例3、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？【解析】由题可知扎的每

7、一束花是两种颜色的，两种颜色的花，朵数不同，故先求出最多可以扎多少束花，即求96和72的最大公约数是24，然后求出在每束中，红花至少9624=4朵；黄花至少7224=3朵，继而相加得出结论解：96=222223，72=22233，故96和72的最大公约数：2223=24；9624+7224=7（朵）；答：每束花最少有7朵；考点三：最大公约数综合例1、可以写成哪两个分数单位的和？【解析】18的约数有1，2，3，6，9，18，任取一对约数可得。=+=+例2、图中的大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形所组成那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米【解析

8、】上两块面积为12+36=48平方厘米，下两块面积为24+48=72平方厘米，48与72的最大公约数为24，故：面积为12平方厘米的高为2厘米，底边长为6厘米面积为36平方厘米的高为2厘米，底边长为18厘米面积为24平方厘米的高为3厘米，底边长为8厘米面积为48平方厘米的高为3厘米，底边长为16厘米阴影部分底边长为18-16=2 厘米222+232=5平方厘米阴影部分的面积为5平方厘米P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击一、填空题1、18的约数有（），60的约数有（），18和60的公约数有（），最大公约数是（）。【解析】（1、2、3、6、9、18），（1、2、3、

9、4、5、69、10、12、15、20、30、60），（1、2、3、6），（6）2、一个合数的约数至少有（）个，例如：（）。【解析】（3），（4、8、9、10、12）3、如果A=237，B=257，那么A和B的最大公约数是（），最小公倍数是（）。【解析】（14），（210）二、选择题4、 1、2、4、8是8的（）A、约数B、公约数C、素数【解析】A5、12是（）的最大公约数。A、1和12 B、12和24 C、3和4【解析】B6、一个两位数个位和十位上都是合数，并且它们的最大公约数是1，那么这两位数可能是（） A、49 B、59 C、69 【解析】A三、解答题7、写出每组数的最大公约数7和9 5和

10、25 10和427和18 11和77 15和16【解析】1,5,2,9,11,18、有22块橡皮和33支铅笔平均分给参加劳动的同学，结果橡皮多1块，铅笔少2支，参加劳动的同学有多少名？【解析】22-1=21，33+2=35，21=37，35=57，所以21和35的最大公约数是7，即参加劳动的同学有7名答：参加劳动的同学有7名9、幼儿园一个班借阅图书，如果借35本，平均分发给每个小朋友差1本；如果借56本，平均分发给每个小朋友后还剩2本；如果借69本，平均分发给每个小朋友则差3本。这个班的小朋友最多有多少人？【解析】如果35本增加1本,35+1=36本,就不差；小朋友的人数是36的因数；如果56

11、本减少2本,56-2=54本,就没有剩；小朋友的人数是54的因数；如果69本增加3本,69+3=72本,就不差；小朋友的人数是72的因数；36、54、72的最大公因数是18这个班的小朋友最多有18人 课后反击一、判断题1、如果ab=4（a、b为整数）那么a和b的最大公约数是4。（）2、一个数最小的倍数与它最大的约数相等。（）3、任何一个自然数的约数至少有2个。（）4、1和任何自然数（0除外）都没有公约数。（）【解析】，二、解答题5、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？【解析】24、36、42的最

12、大公约数是6。所以最多每组6人。2464（组）3666（组）4267（组）6、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？【解析】我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公约数是360120=3。又因为（甲3=a，乙3=b）中，3ab=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是31=3和340=120；当a和b是5和8时，所求的数是35=15和38=24。7、一个数除200余4，除300余6，除500余10,。求这个

13、数最大是多少？【解析】由题可知，196,294和490都能被那个数整除，所以答案（196,294,490）=98答：这个数最大是98.8、一块三角形地的三边分别是18米、18米和21米，要再它的周围种上树，要使顶角处都种，相邻的两棵树间的距离相等。最少要种多少棵树？相邻两棵树之间距离是多少米？【解析】18、21的最大公因数是3，（18 18 21）3=19棵。183=6米。直击赛场S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 约数和最大公约数的概念，最大公约数的求法；2、 利用最大公约数解决实际问题。名师点拨1、在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这

14、个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。2、在用分解质因数的方法求最大公因数时，如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较少，乘较少的次数。3、求最大公因数的方法可以是集合法，对应法，列表法，分解质因数法，短除法以及辗转相除法等。在运用找最大公因数解决问题时，并不是所有的题目都要求直接运用找最大公因数来解决，而是求出最大的公因数后，还要继续运用题目的已知条件和问题继续解答。（1）短除法短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。（2）辗转相除法基于下面的性质：(a,b)=(a,ka+b)，其中a、b、k都为自然数就是说，两个数的最大公约数，将其中一个数加到另一个数上，得到的新数组，其公约数不变，比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+24)=2。这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质：如果p是a和ka+b的公约数，p整除a，也能整除ka+b。那么就必定要整除b，所以p又是a和b的公约数，从而证明他们的最大公约数也是相等的。（3）分解质因数：首先把两个数的质因数写出来，最大公因数等于它们所有相同的质因数的乘积。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是获取更多培训机构专属优质教育资源，请加微信：weiliuxiao01