五年级奥数第03讲-鸡兔同笼问题(教)
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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:五年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师:授课主题 第03讲鸡兔同笼问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握图解法和列表法解决鸡兔同笼问题; 掌握假设法和列方程法解决鸡兔同笼问题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理 大约一千五百年前,我国古代数学名著孙子算经中记载了一道数学趣题: 今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何? 意思是:笼子里有若干只鸡和兔,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。鸡和兔各有几只?这就是著名的“鸡兔同笼”问题。如何解决这道数学趣题,就是我们今天要学习的内
2、容。解决鸡兔同笼问题的主要方法有:1、砍足法(抬腿法)解答思路:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”这样,鸡和兔的脚的总数就由只变成了只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多因此,脚的总只数与总头数的差,就是兔子的只数,即(只)显然,鸡的只数就是(只)了 2、假设法(经典)鸡兔同笼问题的基本关系式是:如果假设全是兔,那么则有: 鸡数=(每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数)(每只兔子脚数-每只鸡的脚数) 兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡,那么就有: 兔数=(实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数)(每只兔子脚数-每只鸡的脚数) 鸡数=鸡兔总数-兔数
3、3、方程法根据鸡兔的脚之和列方程解答。典例分析 考点一:图解法和列表法例1、鸡兔同笼,有20个头,54只脚,鸡兔各多少只?【解析】从有1只鸡开始一个一个地试,把试的结果列成表格。头(个)鸡(只)兔(只)脚(只)2011978202187620317742041672202013754刚好,13只鸡,7只兔。这样做太麻烦,先假设兔和鸡各占一半。头(个)鸡(只)兔(只)脚(只)2010106054201195820128562013754先假设兔和鸡各占一半,根据脚的总数量与实际数量的大小关系,确定减少鸡还是兔,这样就减少列举的次数。例2、有鸡兔共30只,兔脚比鸡脚多60只,问鸡兔各多少只?【解析
4、】可以用列表的方式,先假定鸡兔各占一半,头(个)鸡(只)兔(只)鸡脚兔脚鸡兔脚之差3015153060303014162864363013172668423012182472483011192652301020208060所以10只鸡20只兔。点评:从表中可以看出:增加一只兔,减少一只鸡,它们的脚数差增加6.同样,减少一只兔,增加一只鸡,它们的脚数差减少6.也就是说,用一只鸡换一只兔,脚数差的变化为6只。例3、笼子里有鸡和兔共8只,一共22条腿。鸡和兔各有几只?【解析】本题可以用列表法解答,现在我们用另一种方法图解法来解答。第一步:先画8个 表示鸡兔共有8个头 。第二步:给每个头都配上2条腿,
5、共16条腿,这样8只全是鸡。第三步:把剩下的6条腿配在3个图上,这样2条腿的有5个,4条腿的有3个。也就是有5只鸡,3只兔。把上面的过程列成算式:假设全是鸡:8个头只需要16条腿82=16(只)还剩下6条腿:22-16=6(只)再把6条腿加在3只鸡上,就变成3只兔。62=3(只)考点二:假设法例1、有鸡兔共20只,脚44只,鸡兔各几只?【解析】假设20只全是鸡,那么就有鸡脚202=40只,比实际少了44-40=4只,是因为每只兔少算了4-2=2只脚,所以兔有42=2只。鸡有20-2=18只。例2、鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只。问:鸡、兔各多少只?【解析】假设100只都是鸡,没有兔,那么
6、就有鸡脚200只,而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚与兔脚的差比实际的差多200-20=180(只)。现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426(只),而180630,因此有兔子30只,鸡100-3070(只)。解:有兔(2100-20)(24)30(只),有鸡100-30=70(只)。答:有鸡70只,兔30只。例3、现有大、小油瓶共50个,每个大瓶可装油4千克,每个小瓶可装油2千克,大瓶比小瓶共多装20千克。问:大、小瓶各有多少个?【解析】小瓶有(450-20)(42)30(个),大瓶有50-3020(
7、个)。答:有大瓶20个,小瓶30个。例4、彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元。问:两种文化用品各买了多少套?【解析】我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚,一种“怪兔”有1个头19只脚,它们共有16个头,280只脚。这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。买了16套彩色文化用品,则共需1916304(元),比实际多30428024(元),是因为普通文化用品每套多算了19118(元),所以买普通文化用品 2483(套),买彩色文化用品 16313(套)。例5、100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍。问:大、小和尚
8、各有多少人?【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比实际多300140160(个)。现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少312(个),因为160280,故小和尚有80人,大和尚有1008020(人)。同样,也可以假设100人都是小和尚,同学们不妨自己试试。在下面的例题中,我们只给出一种假设方法。考点三:列方程解决鸡兔同笼问题例1、鸡、兔共笼,鸡比兔多20只,足数共280只,问鸡、兔各几只?【解析】本题可以用假设法解答。假设鸡与兔
9、的数量一样,则足数共280-202=240只,则兔有240(4+2)=40只,鸡有40+20=60只。鸡兔同笼问题除了用假设法解答外,还可以用方程解答解:设有x只鸡,则有x-20只兔。根据足数共280只列方程得 2x+4(x-20)=280 X=60 60-20=40答:鸡60只、兔40只。例2、刘老师带了41名同学去北海公园划船,共租了10条船每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船、小船各租几条?【解析】本题是鸡兔同笼的变形题。把大船看成“兔”,小船看成“鸡”,学生看成“脚”。解:设大船x条,小船10-x条。 6x+4(10-x)=41+1 X=110-1=9答:大船租1条、小船租9条。例3
10、、大院里养了三种动物,每只小山羊戴着3个铃铛,每只狮子狗戴着一个铃铛,大白鹅不戴铃铛小明数了数,一共9个脑袋、28条腿、11个铃铛,三种动物各有多少只?【解析】本题是三个对象的鸡兔同笼问题。若用假设法解题,应抓住“狮子狗与小山羊的脚相同”这一条件,即把狮子狗与小山羊看成“兔”,大白鹅看成“鸡”,这样把三种动物转化成两种动物的鸡兔同笼问题。列方程也同样要将狮子狗与小山羊看成“兔”,大白鹅看成“鸡”。解:设小山羊和狮子狗共有x只,大白鹅有9-x只。 4x+2(9-x)=28 X=5 9-5=4再设小山羊有y只,狮子狗有5-y只 3y+(5-y)=11 Y=35-3=2答:小山羊有3只,狮子狗有2只
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