四年级奥数第11讲-巧妙求和（教）

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：四年级课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第11讲巧妙求和授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等； 掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理一、数列的概念按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数

2、列二、等差数列与公差一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。三、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）项数2项数=（末项-首项）公差+1末项=首项+公差（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）公差=（末项-首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数典例分析考点一：等差数列的基本认识例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。6，10，14，18，2

3、2，98；1，2，1，2，3，4，5，6； 1，2，4，8，16，32，64； 9，8，7，6，5，4，3，2；3，3，3，3，3，3，3，3；1，0，1，0，l，0，1，0；【考点】等差数列的基本认识【解析】是，公差d=4.不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.不是，因为4-22-1.是，公差d=l.是，公差d=0.不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【考点】等差数列的基本认识【解析】该数列为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.则101+（21-1）2=141例3、已知一

4、个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【考点】等差数列的基本认识【解析】把数列列出来：答案：例4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个【考点】等差数列公式的简单运用【解析】利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60例5、5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【考点】等差数列公式

5、的简单运用【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项第项首项公差，所以，第201项，对于数列5，8，11，65，一共有：，即65是第21项答案：无限多项；第项是；是第项考点二：等差数列求和例1、一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？【考点】等差数列的求和【解析】根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：答案：例2、15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？【考点】等差数列的求和【解析】由中项定理，中间的数即第8个数为：，所以这个数列最大的奇数即第15个数是：答案：例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求

6、这2006个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。小马虎求和时漏掉的数是。【考点】等差数列的求和【解析】少的这个数应该给每一个数都补上1，才能使结果正确，共要补上2006，因此这个漏掉的数是2006。例4、下列数阵中有100个数，它们的和是多少？【考点】数阵中的等差数列【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加（比较慢，这里不再写具体过程）方法二：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和中间项项数先看行，因为是偶数行没有中间项，首项，末项或者这100个数之和按列算同上方法三：从右

7、上到左下的对角线上的数都是20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是40，所以这100个数的平均数是20，这100个数之和答案：考点三：等差数列的应用例1、已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，问2009是这个数列的第多少项？【考点】等差数列的公式运用【解析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7，奇数项的排列规律是：2、4、6、8，方法一：可以看出两个数列都是等差数列由于2009是奇数，所以在偶数项数列中，它的项数是：，所以在整个数列中，2009的项数是，所以2009是这个数列的第2010项方法二：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数，偶数的项数是该数，所以2009是这个数列的第

8、项答案：例2、在1145这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？【解析】先求被3整除的数的和；1145中能被3整除的数有12，15，45，和为：；于是，满足要求的数的和为：例3、如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当N=5时，共需要火柴棍 根。【考点】找规律计算【解析】找规律3，3+6，3+6+9,N=5时，需要火柴棍3+6+9+12+15=45答案：例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，依此规律，第6个图形有_个小圈。【考点】找

9、规律计算2010年，第8届，希望杯，4年级，1试【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是12，23，34，第6个图有67446个小圆。答案：P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、在数列3、6、9，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）公差+1,便可求出。（2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1）解：项数=（201-3）3+1=67末项=3+3（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是6032、全部三位数的和是多少？【解析】所

10、有的三位数就是从100999共900个数，观察100、101、102、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。解：（100+999）9002 =10999002=494550答：全部三位数的和是494550。3、求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、49、50； 2、3、4、5、50、51； 3、4、5、6、51、52； 49、50、51、52、97、98；50、51、52、53、98、99。【解析】这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。解：每一横行数列之和：第一行

11、：（1+50）502=1275第二行：（2+51）502=1325第三行：（3+51）502=1375第四十九行：（49+98）502=3675第五十行：（50+99）502=3725方阵所有数之和： 1275+1325+1375+3675+3725 =（1275+3725）502 =1250004、 若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？5、 【解析】从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告诉我们这个等差数列的和是912，项数是16，公差是6。题目要求是的等差数列末项=d (n-1)=6

12、 (16-1)=90(人)解：a+a=S2n=912216=114（人）外圈人数=（90+114）2=102（人）内圈人数=（114-90）2=12（人）答：最外圈有102人，最内圈有12人。5、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是。【解析】6+4（2003-1）=6+42002=80146、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有多少个座位。【解析】首项=70-（25-1）2=22 总和=（22+70）252=11507、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10

13、本书。最上面一层放本书，最下面一层放本书。【解析】100、140中间一层本数：6005=120（本）最上面一层：12-102=100（本）最下面一层：120+12=140（本8、有10只盒子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？【解析】题中要求办不到。9、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？【解析】7+95=102（根） 95-7+1=89（层） 102892=4539（根）10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有

14、三个点这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？【解析】第100层有点：6+（99-1）6 =6+986 =699 =594（个）点阵只有点： 1+（6+594）992 =1+600992 =29701（个） 答：这个点阵共有点29701个。 课堂反击1、观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知a =_ 。【解析】19+18=37，37+18=55，所以a=55+18=73答案：2、2，5，8，11，14是按照规律排列的一串数，第21项是多少？【考点】等差数列的基本认识【解析】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。末项=2+（21-1）3=62答案：3、在等差

15、数列6，13，20，27，中，从左向右数，第 _个数是1994【考点】等差数列公式的简单运用【解析】每个数比前一个数大7，根据求通项的公式得，列式得：即第285个数是19944、有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3这20个数相加，和是多少？【考点】等差数列的求和【解析】末项是：，和是：答案：5、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？【考点】等差数列的求和【解析】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15

16、，第6个数是40.答案：6、已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个数是多少？【考点】等差数列的公式运用【解析】奇数项的排列规律是：2、4、6、8，偶数项的排列规律是：3、6、9、12，可以看出奇数项与偶数项都成等差数列，先求出要求的两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第个数，所以第2000个数是，第2003个数是答案：7、把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？【考点】等差数列的公式运用【解析】平均数：2488=31，第4个数：31-1=30。第1个数：30

17、-6=24，末项：24+（8-1）2=38。即：最大的数为38。答案：8、观察下列四个算式：=20，=10，=，=。从中找出规律，写出第五个算式：。【考点】找规律计算，2009年，希望杯，第七届，六年级，二试【解析】发现规律，第5个算式为16=。9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数减小数），如对于a，差为7-5=2，所有差的总和为。【考点】数阵中的等差数列【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为0，和为0第二行第一个圈为1，第二个圈为0，和为1第三行第一个圈为2，第二个圈为1，第三个圈为0和为第四行第一个圈为3，第二个圈为2，第三个圈为

18、1，第四个圈为0，和为所以这些差有7个1，6个2，5个3，4个4，3个5，2个6，1个7和为答案：直击赛场1、（2005年，第3届，希望杯，4年级，1试）从1开始的奇数：1，3，5，7，其中第100个奇数是_。【考点】等差数列的基本认识【解析】2、（2006年，第4届，希望杯，4年级，1试）观察下列算式： 24623， 2461234 24682045 然后计算：246100。【解析】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数，100以内的偶数有50个，所以24610050512550答案：3、（2005年，第3届，走美杯，5年级，决赛）从正整数1N中去掉一个数，剩下的(N一1)个数的平均值是1

19、5.9，去掉的数是_。【考点】等差数列的公式运用【解析】因为“剩下的(N-1)个数的平均值是159”，所以(N-1)是10的倍数，且N在1592318左右，推知N=31.去掉的数是 (1+2+3+31)-15.930496-47719。答案：S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾一、等差数列的定义定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列首项：一个数列的第一项，通常用表示末项：一个数列的最后一项，通常用表示，它也可表示数列的第项。项数：一个数列全部项的个数，通常用来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用来表示；和：一个数列的前项的和，常用来表示二、等差数列的相关公式（1）三个重要的公式通项公式：递增数列：末项首项(项数)公差，递减数列：末项首项(项数)公差，项数公式：项数(末项首项)公差+1求和公式：和=(首项末项)项数2 （2）中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数名师点拨学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是