2019-2020学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1（5分）过点（3，2），斜率是的直线方程是（）ABC2x3y0D3x2y02（5分）下列可作为数列1，2，1，2，1，2，的通项公式的是（）ABCDan2cos（n1）3（5分）已知直线4x+my60与直线5x（m1）y+80垂直，则实数m的值为（）A4或5B4C5D4或54（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（）ABCD5（5分）已知等差数列an的公差为d（d0），且a5+a6+a8

2、+a10+a1140，若am8，则m的值为（）A2B4C6D86（5分）双曲线（a0，b0）与抛物线y28x有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（）ABCD7（5分）直线l：与圆x2+y28交于A，B两点，且，过点A，B分别作l的垂线与x轴交于点M，N，则|MN|等于（）A4BC8D8（5分）点M（5，3）到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）Ay12x2By36x2Cy12x2或y36x2Dyx2或yx2二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有

3、选错得0分）9（5分）若，与的夹角为120，则的值为（）A17B17C1D110（5分）若P是圆C：（x+3）2+（y3）21上任一点，则点P到直线ykx1距离的值可以为（）A4B6CD811（5分）椭圆上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为（）A（4，0）B（0，5）C（4，0）D（0，5）12（5分）已知数列an中，a11，an+1，nN*若对于任意的t1，2，不等式a+2恒成立，则实数a可能为（）A4B2C0D2三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，其中16题有两个空，第一空2分，第二空3分）13（5分）过点作圆C：（x1）2+y2r2的切线

4、有且只有一条，则圆C的半径为 14（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为 15（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x21右支上的一个动点若点P到直线2xy+50的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为 16（5分）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物

5、的单价是上一层单价的，第n层的货物的价格为 ，若这堆货物总价是万元，则n的值为 四、解答题（本题共6个小题，共70分，17题10分，18-22每题12分）17（10分）知数列an是公差d不为0的等差数列，首项a11，且a2，a4，a8成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn18（12分）已知圆C：x2+y2+4x0，直线l：ax+y2a0（1）直线恒过点P，求点P的坐标；（2）当a为何值时，直线l与圆C相切；（3）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求直线l的方程19（12分）已知椭圆C：与双曲线M：有相同左右焦点F1，F2，且椭圆上一点P的坐标为

6、（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过M（0，2）且与椭圆C交于A，B两点，若求直线l的斜率取值范围20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，且BCAD，AD2BC，点Q是线段AD的中点，过BQ的平面BQMN交平面PCD于MN，且PQAB，APPD，且APD120，BD2AB4，ADB30（1）求证：BQMN；（2）求直线PA与平面PCD所成角的余弦值21（12分）已知数列an为等差数列，且满足a20，a612，数列bn的前n项和为Sn，且b11，bn+12Sn+1（1）求数列an的通项公式；（2）证明：bn是等比数列，并求bn的通项公式；（3）若对任意的nN*，不等式恒成

7、立，求实数k的取值范围22（12分）已知点A（，0），B（，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹曲线为E（1）求E的方程，并说明E是什么曲线；（2）设过定点M（2，0）的直线l与曲线E相交于P，Q两点，若，当（，）时，求OPQ面积S的取值范围2019-2020学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1（5分）过点（3，2），斜率是的直线方程是（）ABC2x3y0D3x2y0【分析】由题意利用点斜式求出直线方程【解答】解：过点（3，2），斜率是的直

8、线方程为 y2（x3），即 2x3y0，故选：C【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，属于基础题2（5分）下列可作为数列1，2，1，2，1，2，的通项公式的是（）ABCDan2cos（n1）【分析】根据题意，分析可得该数列的奇数项为1，偶数项为2，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，数列1，2，1，2，1，2，其奇数项为1，可以看作，偶数项为2，可以看作；其通项公式可以为：；故选：B【点评】本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的应用，属于基础题3（5分）已知直线4x+my60与直线5x（m1）y+80垂直，则实数m的值为（）A4或5B4C5D4或5【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求

9、出m的值【解答】解：直线4x+my60与直线5x（m1）y+80垂直，当m0时，检验可得两直线不垂直；当m10时，检验可得两直线不垂直，故m0，m1又1，求得m5，或 m4，故选：A【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题4（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（）ABCD【分析】如图所示，建立空间直角坐标系利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），A1（a，0，a），C1（0，a，a），C（0，a，0），OA.（0，a，0），（a，a，0）

10、，a2，正确B.（a，a，a），a2，因此不正确C.，因此不正确D.（a，a，0），（a，0，a），a2，因此不正确故选：A【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）已知等差数列an的公差为d（d0），且a5+a6+a8+a10+a1140，若am8，则m的值为（）A2B4C6D8【分析】结合已知及等差数列的性质可得知a5+a6+a8+a10+a115a8，即可求【解答】解：由等差数列的性质可知a5+a6+a8+a10+a115a840，a88，又am8，则m8故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题6（5分

11、）双曲线（a0，b0）与抛物线y28x有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（）ABCD【分析】抛物线y28x的焦点F（2，0），可得c2双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，可得22，又c2a2+b2，联立解得：a，即可得出双曲线的离心率【解答】解：抛物线y28x的焦点F（2，0），可得c2双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则22，又c2a2+b2，联立解得：ab则双曲线的离心率故选：C【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）直线l：与圆x2+y28交于A，B两点，且，过点A，B分别作l的垂线与x轴交于点M，N

12、，则|MN|等于（）A4BC8D【分析】由已知直线及圆的弦长可判断直线过圆心，进而可求k及A，B，然后根据直线与圆相切的性质可求切线方程，进而可求M，N，即可【解答】解：因为圆x2+y28的半径r2，故直线l：经过圆的圆心O（0，0），从而有k，此时直线l的方程y，联立可得，x，此时A（），B（，），则过A（）与AB垂直的直线为y令y0可得x4，即M（4，0）同理可得N（4，0），MN8故选：D【点评】本题主要考查直线与圆相交性质的应用，属于基础试题8（5分）点M（5，3）到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）Ay12x2By36x2Cy12x2或y36x2Dyx2或yx2【

13、分析】根据点M到准线的距离为|3+|6，分a0和a0两种情况分别求得a，进而得到抛物线方程【解答】解：当a0时，开口向上，准线方程为y，则点M到准线的距离为3+6，求得a，抛物线方程为yx2，当a0时，开口向下，准线方程为y，点M到准线的距离为|3+|6解得a，抛物线方程为yx2故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的性质属基础题二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）9（5分）若，与的夹角为120，则的值为（）A17B17C1D1【分析】利用向量夹角公式直接求解【解答】解：，与的夹角为1

14、20，cos120，解得1或17故选：AC【点评】本题考查实数值的求法，考向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（5分）若P是圆C：（x+3）2+（y3）21上任一点，则点P到直线ykx1距离的值可以为（）A4B6CD8【分析】由题意最远距离为圆心到在的距离加半径，而当圆心与定点的连线与直线垂直时最大，求出最大值，直线与圆有交点时最小为0，求出距离的范围即可【解答】解：直线ykx1恒过定点A（0，1）点，当直线与AC 垂直时，点P到直线ykx1距离最大，等于AC+r，圆心坐标为：（3，3），所以为+16，当直线与圆有交点时最小为0，所以点P到直线ykx1距离的范围为：0，6，故

15、选：ABC【点评】考查点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系，属于中档题11（5分）椭圆上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为（）A（4，0）B（0，5）C（4，0）D（0，5）【分析】根据椭圆的方程，得|PF1|+|PF2|2a10，结合基本不等式可知：当且仅当|PF1|PF2|5时，点P到两焦点的距离之积为m有最大值25，并且此时点P位于椭圆短轴的顶点处，可得点P坐标为（0，3）或（0，3）【解答】解：椭圆，椭圆的a5，b4，设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，得|PF1|+|PF2|2a10，|PF1|+|PF2|2，点P到两焦点的距离之积m满足：m|PF

16、1|PF2|（）225，当且仅当|PF1|PF2|5时，m有最大值25，此时，点P位于椭圆短轴的顶点处，得P（0，3）或（0，3），点P的坐标不可能为BD故选：BD【点评】本题给出椭圆的方程，求其上一点到两个焦点距离之积的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质和基本不等式求最值等知识，属于基础题12（5分）已知数列an中，a11，an+1，nN*若对于任意的t1，2，不等式a+2恒成立，则实数a可能为（）A4B2C0D2【分析】由已知数列递推式可得，进一步得到2，则原不等式可转化为2t2+（a+1）ta2+a0在t1，2上恒成立，构造函数f（t）2t2+（a+1）ta2+a，t1，2，可得，求解

17、不等式组得答案【解答】解：由an+1，得an+1，+（a2a1）+a1，（）+（）+（1）+122，不等式a+2恒成立，22t2（a+1）t+a2a+2，2t2+（a+1）ta2+a0，在t1，2上恒成立，设f（t）2t2+（a+1）ta2+a，t1，2，解得a2或a5，实数a可能为4，2故选：AB【点评】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对已知递推式的变形，是中档题三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，其中16题有两个空，第一空2分，第二空3分）13（5分）过点作圆C：（x1）2+y2r2的切线有且只有一条，则圆C的半径为

18、3【分析】由题意可知点P在圆的图形上，所以代入点的坐标，求出圆的半径即可【解答】解：因为过点作圆C：（x1）2+y2r2的切线有且只有一条，所以点P在圆的图形上，（31）2+（）2r2，可得r3故答案为：3【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力14（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为【分析】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱【解答】解：如图所示，补成四棱柱ABCDA1B1C1D1，求BC1D即可；BC1，BD，C1D，BC12+BD2C1D2，DBC190，sinBC1D故答案是：【点评

19、】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题15（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x21右支上的一个动点若点P到直线2xy+50的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为【分析】求得双曲线的渐近线方程，考虑P与渐近线无限接近，运用两条平行线的距离公式和不等式恒成立问题解法，可得所求最大值【解答】解：双曲线x21的渐近线方程为y2x，直线2xy+50与渐近线y2x平行，且P与渐近线无限接近，可得P到直线2xy+50的距离d趋向于，可得d，若点P到直线2xy+50的距离大于m恒成立，可得m，则m的最大值为，故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程

20、和性质，考查两条平行线间的距离公式，注意运用渐近线的性质，考查运算能力，属于基础题16（5分）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，第n层的货物的价格为，若这堆货物总价是万元，则n的值为6【分析】根据题意，分析可得第n层的货物的价格为n（）n1；进而设若这堆货物总价是Sn，由错位相减法分析可得Sn64+8（n+8）

21、（）n，即可得16+8（n+8）（）n，解可得n的值，即可得答案【解答】解：根据题意，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，则第n层是n件，货物的单价是上一层单价的，则第n层货物的单价为（）n1，则第n层的货物的价格为n（）n1；设若这堆货物总价是Sn，则Sn1+2+3（）2+n（）n1，则有Sn+2（）2+n（）n，可得：Sn+（）2+（）n1n（）n，则有Sn+n（）n，变形可得：Sn64+8（n+8）（）n，若这堆货物总价是万元，即16+8（n+8）（）n，解可得：n6；故答案为：n（）n1；6【点评】本题考查等比数列的前n项和，涉及等比数列的性质，属于基础题四、解答题（本题共

22、6个小题，共70分，17题10分，18-22每题12分）17（10分）知数列an是公差d不为0的等差数列，首项a11，且a2，a4，a8成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，进而得到所求通项公式；（2）求得bn，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）a11，且a2，a4，a8成等比数列得a42a2a8，即（1+3d）2（1+d）（1+7d），d1，an1+n1n；（2）根据题意：，（2+4+6+2n）（20+21+2n1）n（

23、2+2n），化简可得【点评】本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于中档题18（12分）已知圆C：x2+y2+4x0，直线l：ax+y2a0（1）直线恒过点P，求点P的坐标；（2）当a为何值时，直线l与圆C相切；（3）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求直线l的方程【分析】（1）直线方程整理间参数提取可得a（x2）+y0，x2时，不论a为何值，y0，即得恒过的定点坐标；（2）由圆心到直线的距离等于半径求出相切时a的值；（3）求出圆心坐标及半径根据圆心到直线的距离和半径及弦长的一半构成直角三角形求出直线l的方程【解答】解：（1）直线l：ax+y2

24、a0，可化为l：a（x2）+y0所以直线l恒过点P（2，0）（2）将圆C的方程x2+y2+4x0化成标准方程为（x+2）2+y24，则此圆的圆心为（2，0），半径为2若直线l与圆C相切，则有，解得；（3）过圆心C作CDAB，垂足为D，则根据题意和圆的性质，得，解得，故所求直线方程为或【点评】考查直线恒过定点的求法及直线与相交求出相交弦长的方法，属于中档题19（12分）已知椭圆C：与双曲线M：有相同左右焦点F1，F2，且椭圆上一点P的坐标为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过M（0，2）且与椭圆C交于A，B两点，若求直线l的斜率取值范围【分析】（1）求得双曲线的焦点，可得a2b23，再将P的坐

25、标代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l：ykx+2，代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）因为椭圆C：与双曲线M：有相同左右焦点F1，F2，且椭圆上一点P的坐标为所以，故a2b23，解得a24，b21，所以椭圆C方程为；（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l：ykx+2代入整理，得（1+4k2）x2+16kx+120，（16k）24（1+4k2）120，即k2设A（x1，y1）、B（x2，y2），x1+x2，又，k24，由、得，k的取值范围是【点评】本

26、题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，且BCAD，AD2BC，点Q是线段AD的中点，过BQ的平面BQMN交平面PCD于MN，且PQAB，APPD，且APD120，BD2AB4，ADB30（1）求证：BQMN；（2）求直线PA与平面PCD所成角的余弦值【分析】（1）推导出四边形BCDQ是平行四边形，从而BQCD，进而BQ平面PCD，由此能证明BQMN（2）由正弦定理得BAD90，推导出PQAD，PQAB，PQ平面ABCD，PQQC，ABAD，QCAD，Q

27、A，QC，QP两两垂直建立空间直角坐标系Qxyz，利用向量法能求出直线PA与平面PCD所成角的余弦值【解答】解：（1）证明：，四边形BCDQ是平行四边形，BQCD，BQ平面PCD，CD平面PCD，BQ平面PCD，BQ平面BQMN，平面BQMN平面PCDMN，BQMN（2）解：在由ABD中，BD2AB4，ADB30，由正弦定理即，sinBAD1，BAD90，在RtBAD中，APD是等腰三角形，且APD120，点Q是线段AD的中点，得，PAPD2，PQDQtan301，在PAD中，PAPD，Q为AD中点，PQAD，又由已知PQAB且ADABA，PQ平面ABCD，又QC平面ABCD，PQQC，在AB

28、D中，由BD2AB4，ADB30，可知ABAD，由题意知四边形ABCQ为平行四边形，QCAD，故QA，QC，QP两两垂直建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz，则，C（0，2，0），P（0，0，1）设平面PCD的一个法向量为，又，取z1，得为平面PCD的一个法向量，设直线PA与平面PCD所成的角为，则，故直线PA与平面PCD所成角的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题21（12分）已知数列an为等差数列，且满足a20，a612，数列bn的前n项和为Sn，且b11，bn+12Sn+1（1）求

29、数列an的通项公式；（2）证明：bn是等比数列，并求bn的通项公式；（3）若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数k的取值范围【分析】（1）由等差数列的通项公式可得d，进而得到所求通项公式；（2）由数列的递推式和等比数列的定义即可得证；（3）运用等比数列的求和公式和参数分离法和数列的单调性，可得所求范围【解答】解：（1）a6a24d12，d3，ana2+（n2）d，即an3n6；（2）bn+12Sn+1，bn2Sn1+1（n2），bn+1bn2（SnSn1），bn+13bn（n2），（常数），又b22S1+13，b23b1也成立，bn是以1为首项，3为公比的等比数列，（3），对nN*恒成立，即对

30、nN*恒成立，令，当n3时，cncn1，当n4时，cncn1，故，即k的取值范围为【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，属于中档题22（12分）已知点A（，0），B（，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹曲线为E（1）求E的方程，并说明E是什么曲线；（2）设过定点M（2，0）的直线l与曲线E相交于P，Q两点，若，当（，）时，求OPQ面积S的取值范围【分析】（1）根据斜率之积 ，设点坐标，表示出斜率，列式整理可得结果；（2）设l：xty2，联立，利用韦达定理和，可求出t的取值范围，利用SSOMQSOMP|OM|y1y2|求出面积表达式，利用单调性求其范围【解答】解：（1）由题设，得，化简，得（|x|），E为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）依题意，可设l：xty2，联立得（t2+2）y24ty+20，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由0，得t22，且，易知M（2，0），由，得y1y2，则，满足0，|OM|y1y2|y1y2|，设，则，t2m2+2，在递减，故S关于m递增，【点评】本题考查轨迹方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中三角形面积范围的问题，关键是要将面积用变量表示出来，属中档题