2017-2018学年辽宁省大连市甘井子区八年级（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年辽宁省大连市甘井子区八年级（下）期中数学试卷一、【乐学篇（100分）】选择题（本共8小，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）的倒数是（）ABC3D2（3分）下列二次根式，最简二次根式是（）ABCD3（3分）关于x的一元二次方程x2+3x10的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D不能确定4（3分）已知x2是一元二次方程x2mx100的一个根，则m等于（）A5B5C3D35（3分）如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（）A80米B90米C100米D110米6（3分）

2、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A5，12，13B8，9，10C3，4，5D7，24，257（3分）下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A两组对边分别平行的四边形是平行四边形B两组对边分别相等的四边形是平行四边形C一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D对角线互相平分的四边形是平行四边形8（3分）如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC6，则DE的长为（）A2B3C4D6二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）9（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 10（3分）计算 11（3分）方程x2+2x10配方得到（x+m）22，则m 12（3分

3、）若方程x2+2x30的两根分别为m，n，则m+n 13（3分）如图，在ABCD中，C43，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则BEF的度数为 14（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB60，AB2，则AC 三、解答题（本题共7小题，其中20、21题各9分，其余每题8分，共58分）15（8分）计算：（+2）（2）+（+1）216（8分）解方程：2x23x1017（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点求证：AFCE18（8分）正方形的边长为acm，它的面积与长为96cm、宽为12cm的长方形的面积相等，求a的值19（8分）如图

4、，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量A90，AB3m，BC12m，CD13m，DA4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？20（9分）如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CEBD，过点D作DEAC，CE与DE相交于点E（1）求证：四边形CODE是矩形（2）若AB5，AC6，求四边形CODE的周长21（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，5）、（10，0）（1）则AB ；（2）作OCAB，垂足为点COC的长度为 ；求出点C坐标四、【勤学篇（50分）】选择题（本题共2小题，每小题3分，共6分，在每

5、个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）22（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A+1B+1C1D23（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2值为（）A25B9C13D169五、解答题（本题共3小题，其中24题14分，25、26题各15分，共44分）24（14分）在平行四边形ABCD中，A60，AB5，AD8动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单

6、位长度的速度沿线段AD运动到点D，点F以每秒3个单位长度的速度沿线段ABCD的运动线路到点D，当其中一个动点先到达点D，所有运动均停（1）动点 先到达点D，运动时间为 秒；（2）若运动时间为t秒，AEF的面积为S，用含有t的代数式表示S（代数式化简成最简形式），并直接写出t的取值范围25（15分）阅读下面材料小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题例如：如图1所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD边上的点，EAF45求证：BE+DFEF；如图2，小明延长CB至G，使得BGDF，则形成一组旋转三角形（1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程参考小明同学的解题

7、思路解答下面两个问题：（2）如图3，在正方形ABCD中，点E为BC边上的点，AE交BD于F，探索BF、AF、DF之间的数量关系，并证明（3）如图4，在正方形ABCD中，点E为AB边上的点，CE交BD于点M，取CE中点H，过点H作CE的垂线，分别交BC、BD、AD于点F、N、G，且BE2，HN3求GDN的面积26（15分）在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，以OA、OC为边建立矩形ABCO，且OA3，OC4（1）点B坐标为 （2）如图1，沿对角线AC折叠矩形，点B的对应点为B，连接OB，求AOB的面积（3）如图2，AD为OAC的角平分线，交OC于点D，折叠矩形使得点B的

8、对应点B恰好落在AD上，求点B坐标2017-2018学年辽宁省大连市甘井子区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、【乐学篇（100分）】选择题（本共8小，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）的倒数是（）ABC3D【分析】利用倒数定义得到结果，化简即可【解答】解：的倒数为故选：D【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键2（3分）下列二次根式，最简二次根式是（）ABCD【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案【解答】解：（A）原式2，故A不是最简二次根式；（B）原式，故B不是最简二次根式；（D）原式2，故D不是最简二次

9、根式；故选：C【点评】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式的定义，本题属于基础题型3（3分）关于x的一元二次方程x2+3x10的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D不能确定【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式b24ac的值的符号就可以了【解答】解：a1，b3，c1，b24ac3241（1）130，方程有两个不相等的实数根故选：A【点评】此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根4（3分）已知x2是一元二次方程x2mx100的一个根，则m等于

10、（）A5B5C3D3【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案【解答】解：将x2代入x2mx100，42m100m3故选：C【点评】本题考查一元二次方程的解定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型5（3分）如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（）A80米B90米C100米D110米【分析】根据两点之间线段最短及勾股定理解答即可【解答】解：因为两点之间线段最短，所以AC为从A到B的最短距离，根据矩形的对边相等，得，BCAD80米，再根据勾股定理，得，AC100米故选：C【点评】考查了矩形的性质、勾股定理还要熟记6，8，10勾股数，从而能够

11、快速进行求解6（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A5，12，13B8，9，10C3，4，5D7，24，25【分析】先求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看看是否相等即可【解答】解：A、52+122132，以5、12、13为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、82+92102，以8、9、10为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；C、32+4252，以3、4、5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D、72+242252，以7、24、25为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理

12、的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形7（3分）下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A两组对边分别平行的四边形是平行四边形B两组对边分别相等的四边形是平行四边形C一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D对角线互相平分的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案【解答】解：根据平行四边形的判定定理，A、B、D均符合是

13、平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形故选：C【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形8（3分）如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC6，则DE的长为（）A2B3C4D6【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可【解答】解：D、E分别是ABC边AB、AC的中点，DE是ABC的中位线，BC6，DEBC3故选：B【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行

14、线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）9（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x1【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x10，x1故答案为：x1【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可10（3分）计算2【分析】先求2的平方，再求它的算术平方根，进而得出答案【解答】解：2，故答案为：2【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，注意算术平方根的求法，是解此题的关键11（3分）方程x2+2x10配方得到（x+m）22，则

15、m1【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加上1，配成完全平方的形式，即可得到结果【解答】解：x2+2x10，x2+2x1，x2+2x+12，（x+1）22，则m1；故答案为：1【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键12（3分）若方程x2+2x30的两根分别为m，n，则m+n2【分析】根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出m+n的值，由此即可得出结论【解答】解：方程x2+2x30的两根分别为m、n，m+n2故答案为：2【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出m+n2本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用根与

16、系数的关系找出两根之和与两根之积是关键13（3分）如图，在ABCD中，C43，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则BEF的度数为47【分析】由平行四边形的对角相等可得A43，根据直角三角形的两个锐角互余得到AED47，再利用对顶角相等即可求解【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AC43DFAD，ADE90，AED904347，BEFAED47故答案是：47【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等的性质，利用平行四边形的对角相等得出A43是解题的关键14（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB60，AB2，则AC4【分析

17、】由矩形的性质结合条件可证得AOB为等边三角形，则可求得AC的长【解答】解：四边形ABCD为矩形，OAOB，AOB60，AOB为等边三角形，OAAB2，AC2OA4，故答案为：4【点评】本题主要考查矩形的性质，证得AOB为等边三角形是解题的关键三、解答题（本题共7小题，其中20、21题各9分，其余每题8分，共58分）15（8分）计算：（+2）（2）+（+1）2【分析】先利用平方差和完全平分公式计算，然后合并即可【解答】解：原式34+2+2+12+【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵

18、活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍16（8分）解方程：2x23x10【分析】利用公式法解方程即可求解【解答】解：2x23x10，a2，b3，c1，9+817，x，x1，x2【点评】此题这样考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键 是熟练掌握求根公式即可解决问题17（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点求证：AFCE【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC；又点E、F分别是AD、BC的中点，A

19、ECF，AECFAD，四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），AFCE（平行四边形的对边相等）【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法18（8分）正方形的边长为acm，它的面积与长为96cm、宽为12cm的长方形的面积相等，求a的值【分析】根据题意列出等式a29612，利用平方根的定义求解可得【解答】解：根据题意，得：a29612，解得：a24，a为正数，a24【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义19（8分）如图，某中学有一块四边形

20、的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量A90，AB3m，BC12m，CD13m，DA4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由RtABD和RtDBC构成，则容易求解【解答】解：连接BD，在RtABD中，BD2AB2+AD232+4252，在CBD中，CD2132，BC2122，而122+52132，即BC2+BD2CD2，DBC90，S四边形ABCDSBAD+SDBCA

21、DAB+DBBC，43+12536所以需费用362007200（元）【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单20（9分）如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CEBD，过点D作DEAC，CE与DE相交于点E（1）求证：四边形CODE是矩形（2）若AB5，AC6，求四边形CODE的周长【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得COD90，则可证得四边形CODE为矩形；（2）由菱形的性质可求得AO和OC，在RtAOB中可求得BO，则可求得OD的长，则可求得答案【解答】（1）证明：CEBD，

22、DEAC，四边形CODE为平行四边形，四边形ABCD为菱形，ACBD，COD90，平行四边形CODE是矩形；（2）解：四边形ABCD为菱形，AOOCAC63，ODOB，AOB90，在RtAOB中，由勾股定理得BO2AB2AO2，BO4，DOBO4，四边形CODE的周长2（3+4）14【点评】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键21（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，5）、（10，0）（1）则AB5；（2）作OCAB，垂足为点COC的长度为2；求出点C坐标【分析】（1）利用勾股定理计算AB的长；（2）利用面积法计算O

23、C的长；作CHOB于H，如图，先利用勾股定理计算出BC，再利用勾股定理计算出BC，利用面积法计算CH，然后利用勾股定理计算出OH，从而得到C点坐标【解答】解：（1）AB5；故答案为5；（2）OCABOAOB，OC2；故答案为2；作CHOB于H，如图，在RtOBC中，BC4，CHOBOCBC，CH4，OH2，C点坐标为（2，4）【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了勾股定理四、【勤学篇（50分）】选择题（本题共2小题，每小题3分，共6分，在每个小题给出的四个选项中，

24、只有一个选项正确）22（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A+1B+1C1D【分析】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标【解答】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，斜边长为：，1到A的距离是，那么点A所表示的数为：1故选：C【点评】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离23（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示如果大正方形的面积是13，小正方形的面积

25、是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2值为（）A25B9C13D169【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2a2+b2+2abc2+2ab即可求解【解答】解：如图，大正方形的面积是13，c213，a2+b2c213，直角三角形的面积是（131）43，又直角三角形的面积是ab3，ab6，（a+b）2a2+b2+2abc2+2ab13+2613+1225故选：A【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式注意完全平方公式的展开：（a+b）2a2+b2+2ab，还要注意图形的

26、面积和a，b之间的关系五、解答题（本题共3小题，其中24题14分，25、26题各15分，共44分）24（14分）在平行四边形ABCD中，A60，AB5，AD8动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿线段AD运动到点D，点F以每秒3个单位长度的速度沿线段ABCD的运动线路到点D，当其中一个动点先到达点D，所有运动均停（1）动点F先到达点D，运动时间为6秒；（2）若运动时间为t秒，AEF的面积为S，用含有t的代数式表示S（代数式化简成最简形式），并直接写出t的取值范围【分析】（1）分别求出动点E、F到达点D的时间，比较大小即可求解；（2）分三种情况：0t；t；t6；进行讨论即可求解

27、【解答】解：（1）（5+8+5）36（秒），818（秒），故动点F先到达点D，运动时间为6秒；（2）St3tt2（0t）；St5t（t）；St（5+8+53t）（t2+6t）（t6）故答案为：F，6【点评】考查了平行四边形的性质，三角形面积，（2）中注意分类思想的运用25（15分）阅读下面材料小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题例如：如图1所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD边上的点，EAF45求证：BE+DFEF；如图2，小明延长CB至G，使得BGDF，则形成一组旋转三角形（1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程参考小明同学的解题思路解答下面两个

28、问题：（2）如图3，在正方形ABCD中，点E为BC边上的点，AE交BD于F，探索BF、AF、DF之间的数量关系，并证明（3）如图4，在正方形ABCD中，点E为AB边上的点，CE交BD于点M，取CE中点H，过点H作CE的垂线，分别交BC、BD、AD于点F、N、G，且BE2，HN3求GDN的面积【分析】（1）延长CB至G，使得BGDF，连接AG，可证GAEFAE，得EGEF，可得结论；（2）2AF2PD2+BF2理由：将ABF逆时针旋转90 到APD位置，可得BFDP，AFAP，PAFPDF90，根据勾股定理可得结论（3）连接AN，NC，EN，EG，CG，作GPBD于P，EQBD于Q，由题意可证E

29、NC90，可得ENC为等腰直角三角形，可得EC6，EN3，根据勾股定理可求EQ，GD的长，即可得GP，DN的长，即可求GDN的面积【解答】（1）证明：如图2，延长CB至G，使得BGDF，连接AG，四边形ABCD是正方形，ABCDBAD90，ABAD，ABGD90，ABGADF，AGAF，BAGDAF，EAF45，DAF+BAEBAG+BAEEAG904545EAGEAF，又AEAE，GAEFAE（SAS），GEEF，故BE+DFBG+BEEGEF；（2）2AF2PD2+BF2如图：将ABF逆时针旋转90 到APD位置四边形ABCD是正方形ABD45ADB旋转ABFAPD，PAF90BFPD，A

30、PAF，ADP45ABDPDF90PF2AF2+AP2DF2+PD22AF2PD2+BF2（3）如图：连接AN，NC，EN，EG，CG，作GPBD于P，EQBD于Q四边形ABCD是正方形ADBCDBABD45ADCDADBCDB，DNDN，ADCDADNCDNANCN，DANDCN，ANDDNC设DCNDANxANDDNC（135x），BAN（90x）GF垂直平分CEGEGC，ENNCBANAEN（90x）ANE2xANE+AND+DNC+ENC180ENC90且NECNNEC是等腰直角三角形又H 是EC中点NHEHHC3EC6，ENNC3在RtBEC中，BC4ABADCDBC4BD8EQBD

31、，ABD45BQEQ在RtENQ中，QN4DN844在RtAEG中，EG2AG2+AE2在RtGCD中，GC2GD2+CD2AG2+AE2GD2+CD2（4GD）2+（42）232+GD2解得GDGPBD，ADB45GPPDSGDNDNGPSGND【点评】本题考查四边形综合题，用旋转法证明全等三角形、同时考查了正方形和四边形的有关知识注意对三角形全等和解直角三角形的综合应用，全等三角形的判定和性质等知识，本题难度较大，综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题26（15分）在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，以OA、O

32、C为边建立矩形ABCO，且OA3，OC4（1）点B坐标为（3，4）（2）如图1，沿对角线AC折叠矩形，点B的对应点为B，连接OB，求AOB的面积（3）如图2，AD为OAC的角平分线，交OC于点D，折叠矩形使得点B的对应点B恰好落在AD上，求点B坐标【分析】（1）由于四边形OABC是矩形，可直接根据OA、OC的长写出B点的坐标；（2）解法一：先证明CGAG，根据勾股定理计算AG的长，从而得OG的长，根据面积和可得结论；解法二：如图1，作辅助线，构建相似三角形，证明CGBBHA，得，设CG3x，BH4x，列方程计算x的值，可得BH的长，根据三角形面积公式可得结论；（3）如图2，作辅助线，构建全等三

33、角形，证明AODAMD，得AMAO3，设ODy，则CD4y，DMy，利用勾股定理计算y的值，根据同角的三角函数得：tanDAO，设BHa，则AH2a，最后根据勾股定理列方程可得a的值，可得B的坐标【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，OABB90，OA3，OC4点B的坐标是（3，4）；故答案为：（3，4）；（2）解法一：如图所示，过B作BHOC于H，由折叠得：ABAB4，BCBC3，BACCAB，四边形OABC是矩形，OCAB，OCACAB，OCACAB，CGAG，设CGx，则AGx，BG4x，在RtCBG中，由勾股定理得：32+（4x）2x2，x，CG，OG4，SBCG，BH，BH，SAB

34、OSAOG+SBOG+；解法二：如图1，过B作GHx轴于H，交BC的延长线于G，GGHA90，由折叠得：ABCB90，BCBC3，ABAB4，易得CGBBHA，设CG3x，BH4x，BG44x，AH3+3x，4（44x）3（3+3x），x，BH4x，AOB的面积；（3）如图2，过D作DMAC于M，AD平分CAO，DMOD，易得AODAMD，AMAO3，AC5，CM532，设ODy，则CD4y，DMy，RtCDM中，CD2CM2+DM2，（4y）2y2+22，y，过B作BNOC于N，过BHOA于H，由折叠得：CBCB3，tanDAO，设BHa，则AH2a，BN32a，CN4a，RtCNB中，（4a）2+（32a）232，a2+（舍）或2，32a32（2）1，B（1，2）【点评】本题是四边形的综合题型，其中涉及到的知识点有矩形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质、三角函数及折叠的性质等根据题意正确作出辅助线是解题的关键