四年级奥数第05讲-最优化问题(教)
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1、学科教师辅导讲义学员编号:年级:四年级课时数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师:授课主题第05讲-最优化问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标学习了解最优化问题;能解决常见的最优化问题;通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理一、最优化问题 在日常生活和生产中,我们经常会遇到下面的问题:完成一件事情,怎样合理安排才能做到用的时间最少,效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题,这些问题往往可以从极端情况去
2、探讨它的最大(小)值,这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”二、时间最优问题策略在进行最佳安排时,要考虑以下几个问题:(1)要做哪几件事;(2)做每件事需要的时间;(3)要弄清所做事的程序,即先做什么,后做什么,哪些事可以同时做。在学习、生产和工作中,只有尽可能地节省时间、人力和物力,才能发挥出更大的效率。典例分析考点一:烧水问题例1、明明早晨起来要完成以下几件事情:洗水壶1分钟,烧开水12分钟,把水灌入水瓶要2分钟,吃早点要8分钟,整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少?最少要几分钟?【解析】经验表明:能同时做的事尽量要同时去做,这样节省时间。 水壶不洗,不能烧开水,
3、因而洗水壶不能和烧开水同时进行;而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示: 从图上可以看出,洗水壶要1分钟,接着烧开水要12分钟,在等水开的同时吃早点、整理书包,水开了就灌入水瓶,共需15分钟。例2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟,烧开水需要15分钟,洗茶壶需要1分钟,洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶,最少需要多少分钟?【解析】经验表明,能同时做的事,尽量同时做,这样可以节省时间。 水壶不洗,不能烧开水,因此,洗水壶和烧开水不能同时进行。 而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。 根据以上的分析,可以这样安排:先洗水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,同时
4、洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,共需要16分钟。考点二:煎饼问题例1、贴烧饼的时候,第一面需要烘3分钟,第二面需要烘2分钟,而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟?【解析】先放第一、二两个烧饼贴第一面,过3分钟后,拿下第一个,并把第二个翻过去,并放上第三个烧饼;过2分钟拿下第二个,并放第一个烧饼,过1分钟把第三个烧饼翻过来;再过1分钟取下第一个烧饼,再过1分钟三个烧饼全贴完了,只用了8分钟。32111=8分钟例2、用一个平底锅烙饼,锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟,烙第二面需要1分钟。现在在烙三个饼,最少需要多少分钟?【解析】一共需要5分钟。第一次:同
5、时放两张大饼烙2分钟;第二次:将其中的一张反过来再烙1分钟,把另外一张取出,把第三张放入烙1分钟;第三次:将烙熟的一张拿出,把取出的那张放入另外一面烙1分钟,第三张也烙1分钟:第四次:将第三张的另外一面再烙1分钟。考点三:收割问题例1、甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地,他们同时用一台收割机进行收割,甲的麦地需要收割4小时,乙的麦地需要收割1小时,丙的麦地需要收割3小时,丁的麦地需要收割2小时。怎样安排四人的顺序,他们花的总时间最少?最少时间是多少?【解析】所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和,因为各自收割的时间不变,所以在安排收割的顺序时,应该使等的时间尽可能少,即应该安排收割时间
6、少的人先用,顺序是:乙、丁、丙、甲,过程可用下表表示: 从表中可以看出,四人收割的时间为:1234=10小时,三人等的时间为:13223=10小时,所以,最少时间为1010=20小时。例2、五(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室,等候校医治病。赵明打针需要5分钟,孙勇包纱布需要3分钟,李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医,校医如何安排三位同学的治病次序,才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短?【解析】校医应该给治疗时间最短的先治病,治疗时间长的最后治疗,才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样,三位同学留在卫生室的时间分别是:李佳1分钟,赵1+3=4分钟,赵明1+3+5=
7、9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。考点四:过河问题例1、 小明骑在马背上赶马过河,共有甲、乙、丙、丁四匹马,甲马过河需2分钟,乙马过河需3分钟,丙马过河需6分钟,丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河,要把4匹马都赶到对岸去,最少要几分钟?【解析】要使过河时间最少,应抓住以下两点:(1)同时过河的两匹马相差时间尽可能小些,才能使花时间少的马在过河时少浪费时间;(2)过河后应骑时间少的那匹马回来。因此,赶马的顺序是:小明先骑甲马赶乙马一起过河,再骑甲马返回,共需32=5分钟;然后骑丙马赶丁马一起过河后,再骑乙马返回,73=10分钟;最后骑在甲马背上赶乙马一起过河,不再回来,共需3分钟。所以,
8、4匹马都赶到对岸去最少时间是5103=18分钟。例2、明明骑在牛背上赶牛过河,共有甲、乙、丙、丁4头牛,甲牛过河需1分钟,乙牛过河需2分钟,丙牛过河需5分钟,丁牛过河需6分钟。每次只能赶两头过河,要把4头占都赶到对岸去,最少要多少分钟?【解析】此题较复杂,应抓住每次时间接近的两头牛过河,同时回来尽量骑时间短的牛返回这两个关键,进而分析解答即可先骑1分钟的,带着2分钟的过去,用时2分;然后骑一分钟的回来,用时1分;然后骑5分钟的带着6分钟的过去,用时6分;然后骑2分钟的回来,用时2分;最后骑着1分钟带着2分钟的过去,用时2分;一共13分钟考点五:其他最优问题例1、在一条公路上每隔50千米有一个粮
9、库,共4个粮库。甲粮库存有10吨粮食,乙粮库存有20吨粮食,丁粮库存有50吨粮食,还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中,如果每吨粮食运1千米要1元的运费,那么最少要花多少运费才行? 【解析】这种运输问题,运的货物越重路程越远,花费就越多。反之,如果移动的货物重量小路程近,花费的费用就少。在本题中,各粮库之间的距离相等都是50千米,一般原则是“少往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约,甲、乙两仓库粮食合起来是30吨,还不如丁粮库的粮食多,所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用110503=1500元,乙粮库需要1205020=2000元,共用15002000=
10、3500元。例2、用18厘米长的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少?【解析】根据题意,围成的长方形的一条长与一条宽的和是182=9厘米。显然,当长与宽的差越小,围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数,因此,当长是5厘米,宽是4厘米时,围成的长方形的面积最大:54=20平方厘米。例3、用36这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。【解析】解决这个问题应考虑两点:(1)尽可能把大数放在高位;(2)尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5这两个数字放在十位,4和3放在个位。根据“两个因数的差越小,积越大”的规律,3应放在6的后
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