八年级数学寒假班讲义二第14讲-三角形、梯形的中位线（四川北路）D6HXD4RHJL22

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1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题三角形、梯形的中位线学习目标1理解三角形、梯形的中位线概念；2掌握三角形、梯形中位线的性质定理，并能用其进行计算和论证； 3. 能综合运用三角形、梯形、以及其他特殊四边行有关知识进行计算与证明教学内容1、 上次课后巩固作业复习；2、 互动探索1三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；2梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半练习：1已知梯形的中位线长为9cm，上底长5cm，那么下底的长是 cm；2梯形的中位线长为20cm，高为4cm，则其面积为 cm；3若梯形的中位线被它的

2、两条对角线三等分，则梯形的上底a与下底b(ab)的比是（ ）A、 B、 C、 D、4ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE4，AD3，AE2，则ABC的周长为_参考答案：113； 280； 3 A； 418【知识梳理1】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【例题精讲】例1：在梯形ABCD中，EF分别是对角线BD和AC的中点，求证： 参考答案：联结DF并延长交BC与G，证明ADFCGF，再根据三角形中位线可得试一试：如图，梯形ABCD中，ABCD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点已知两底的差是8，两腰和是12，求EFG的周长。 参考答案：联结AE并延长，交CD于点HA

3、BCD， ABEHDE，EABEHD，又E为BD中点， BEDEAEBHED DHAB，AEEHF为AC中点； EFHC (CDDH) (CDAB)4点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点EGBC， FGAD； EG+ FG(BC+AD)6EFG的周长为10例题2：问题1：我们把依次联结任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次联结各边中点得到的中点四边形EFGH这个中点四边形EFGH的形状为 ；说明理由 问题2：将问题1中的四边形特殊化后，又能都到什么特殊的中点四边形？总结一下，完成下表：基础图形顺次联

4、结其各边中点所得的四边形（在图中画出并指出四边形类型）平行四边形矩形 菱形正方形梯形等腰梯形问题3：根据问题2的探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？参考答案：问题1：平行四边形；证明：联结AC，E是AB的中点，F是BC的中点， EFAC，EFAC同理：HGAC，HGAC EFHG，EFHG，四边形EFGH是平行四边形问题2：略；问题3：中点四边形的形状是由原四边形对角线的数量和位置关系决定的，当原四边形对角线相等时为菱形，对角线垂直时为矩形，对角线相等且垂直时为正方形例题3：如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC内，CEAE，点F在边AB上，EF

5、BC（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论参考答案：（1）证明：延长CE交AB于点G，AECE，AEGAEC90， 又GAECAE，AEAE，AGEACE GEECBDCD，DE/AB EF/BC，四边形BDEF是平行四边形 （2）解：四边形BDEF是平行四边形，BFDE D、E分别是BC、GC的中点，BG 2BF2DE AGEACE，AGAC， 2BFABAGABAC 例题4：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，ADBC，对角线AC、BD的交点O，AOB60，又S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点 求证：SPQ是等边三

6、角形 参考答案：证明：联结CS，BP 四边形ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，可得出：CABDBA， CABDBA，同理可得出：ACDBDC，AOBO，CODO AOB 60，OCD与OAB均为等边三角形S是OD的中点， CSDO在RtBSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线， SQBC 同理BPAC在RtBPC中，PQBC 又SP是OAD的中位线，SPADBC SPPQSQ故SPQ为等边三角形例题5：如图在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BDCE，M、N分别是BE、CD的中点过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？ 答案：APAQ，理由：取BC

7、的中点H，联结MH，NHM，H为BE，BC的中点，MHEC，且MHEC同理：NHBD，且NHBDBDCE，MHNHHMNHNM；MHEC，HMNPQA，同理HNMQPAAPQAQP，APAQ补充类试题：已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点 求证：AHFBGF参考答案：联结AC，取AC的中点M，再分别联结ME、MF，E、F分别是DC、AB边的中点，MEAD， EMAD， MFBC，MFBCADBC， EMMF， MEFMFEEMAH，MEFAHFFMBG，MFEBGFAHFBGF 1若顺次联结四边形ABCD各边

8、的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是 的四边形；2如图，在梯形ABCD中，已知AD/CB，对角线ACBD，且AC5cm，BD12cm，则梯形的中位线长为 cm；3已知：如图，ABC中，D是BC边的中点，AE平分BAC，BEAE于E点，若AB5，AC7，求ED 4如图，AD平分BAC，交BC于点D，过C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC中点，联结EF； 求证：EF/AB .参考答案：1对角线垂直； 2； 3 ED1，提示：延长BE，交AC于F点；4提示：延长AB和CE交于G点即可【巩固练习】1如图，梯形ABCD中，E、F分别为腰AB 、CD的中点，若 ABC和DCB的平分线相

9、交与线段EF上的一点P，当EF3时，则梯形ABCD的周长为 ； 2等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是（ ）A、平行四边形B、矩形 C、菱形D、正方形3如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F、M分别为AB、DC、BC的中点，且ME MF求证：梯形ABCD是等腰梯形4如图，已知BE、CD分别是ABC的角平分线，并且AEBE于E点，ADDC于D点求证：（1）DEBC；（2）DE(AB+ACBC)参考答案：112； 2D；3联结AC，BD， E、F、M分别为AB、DC、BC的中点，EMAC，MFBD， ME MF， ACBD，梯形ABCD是等腰梯形4证明：（1）延长A

10、D、AE，交BC于F、G； BEAG，AEBBEG90；BE平分ABG，ABEGBE；BAEBGE； ABG是等腰三角形；ABBG，即E是AG中点； 同理可得：D是AF中点；DE是AFG的中位线； DEBC（2）由（1）知DE是AFG的中位线，DEFG；FGBG+CF-BC，且ABBG，ACCF；FGAB+AC-BC，即DE（AB+AC-BC）【预习思考】1菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是 和 2如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（ ）A、 12 cm2 B、 18 cm2 C、 24 cm2 D、30 cm23已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A、当ABBC时，它是菱形； B、当ACBD时，它是菱形；C、当ACBD时，它是正方形； D、当ABC900时，它是矩形.4下列说法：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。两组对角分别相等的四边形是平行四边形。顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、9 / 9