八年级数学寒假班讲义二第11讲-特殊的平行四边形（上）（四川北路）0P4Z8ZV60X2R

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1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题平行四边形的判定学习目标1掌握平行四边形判定定理； 2会应用平行四边形的性质定理和判定定理解决相关的几何证明和计算问题教学内容1、 上次课后巩固作业复习；互动探索：通过观察下卖弄几幅图，你能想起来数学上的哪些知识点呢？【知识梳理1】1回顾矩形和菱形除了具备平行四边形的性质以外的特殊性质，完成下表；边角对角线对称性矩形四个角都是直角对角线相等轴对称菱形四条边都相等对角线互相垂直每一条对角线平分一组对角轴对称2总结一下矩形和菱形的判定，完成下表；矩形的判定菱形的判定四边形矩形有三个角是直角的四边形是矩形四边形菱形四

2、条边相等的四边形是菱形平行四边形矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形平行四边形菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线相等的平行四边形是矩形对角线互相垂直的平行四边形是菱形【例题精讲】例题1：已知：在矩形ABCD中，AE平分BAD，AOD120，求：BOE教法说明：由矩形ABCD，得到OAOB，根据AE平分BAD，得到等边三角形OAB，推出ABOB，求出OAB、OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OBBE，根据三角形的内角和定理即可参考答案：BOE75例题2：如图，已知矩形的纸片沿对角线折叠，使落在处，边交于，（1）求的长； （2）的面积参考答案：（1）BDC是由BDC沿直线BD折

3、叠得到的，CBDCBD， 四边形ABCD是矩形， ADBC， CBDEDB， CBDEDB， BEDE；设AEx，则BEBE8x，在RtABE中 ； 解得（2）BED的面积为：10说明：证明BEDE还可以通过证明ABECDE例3：如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C的位置，BC交AD于点G（1）求证：AG=CG；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM 参考答案：（1）证明：沿对角线BD对折，点C落在点C的位置，A=C，AB=CD在GAB与GCD中， GABGCDAG=CG；（2）解：点D与点A重

4、合，得折痕EN，DM=4cm，ND=5cm，AD=8cm，AB=6cm，BD=10cm，ENAD，ABAD，ENAB，DN= BD=5cm，MN= =3（cm），由折叠的性质可知NDE=NDC，ENCD，END=NDC，END=NDC=NDE，EN=ED，设EM=x，则ED=EN=x+3，由勾股定理得ED2=EM2+DM2，即（x+3）2=x2+42，解得x= ，即EM= 例题4：如图，已知菱形ABCD中，BEAF60，BAE20，求：CEF参考答案：联结AC，在菱形ABCD中，ABCB，B60， BAC60，ABC是等边三角形，EAF60， BACEACEAFEAC，即：BAECAF，在AB

5、E和ACF中，BAECAF，ABAC，BACF， ABEACF（ASA），AEAF， 又EAFD60，则AEF是等边三角形，AFE60， 又AECBBAE80，则CEF80-6020例题5：如图，在中，于，的平分线交于， 于求证：四边形是菱形参考答案：根据等角对等边可证ADAE，根据角平分线定理可得ADDF，所以AEADDF由，可得ADDF，所以四边形是菱形在BCF和ECH中，BE，BCEC，BCEECH，BCFECH（ASA）， CFCH；（2）四边形ACDM是菱形证明：ACBDCE90，BCE45， ACFDCH45E45， ACFE， ACDE，AMH180A135ACD，又AD45，

6、四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），ACCD， 四边形ACDM是菱形例题6：如图（1），在ABC和EDC中，ACCECBCD，ACBECD90，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H（1）求证：CFCH；（2）如图（2），ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE45时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论 图（1） 图（2）参考答案：（1）证明：ACCECBCD，ACBECD90， ABDE45【试一试】1、如图矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3则AB的长为（） A3 B4

7、C5 D62、如图，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别是DAB、CBA的角平分线，AE、BF交于O点，与DC分别交于E、F两点。（1）求证：DFCE；（2）M是边AB上不与端点重合的任意一点，过M作MN/BF，交AE于点N，MG/AE交BF于点G，求证：四边形MNOG是矩形。参考答案：（1）AE是DAB的角平分线 EADEAB； DC/AB AEDEABAEDEAD， DADE； 同理：BCCFBCDA， DECF； DFEC（2）四边形ABCD为平行四边形； BADABC180；AE、BF分别是DAB、CBA的角平分线； BAD2EAB，ABC2ABFEABABF90； AOB18090

8、90；MN/BF,MG/AE； 四边形MNOG是平行四边形； 四边形MNOG为矩形【巩固练习】1下列命题中，假命题是（ ）A、矩形的两条对角线互相平分且相等；B、菱形的对角线互相平分且垂直；C、矩形的两条对角线把矩形分成四个直角三角形；D、菱形的两条对角线把菱形分成四个直角三角形.2在线段、平行四边形、等边三角形、菱形、角、等腰三角形、矩形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（ ）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个3在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ）A、测量对角线是否相互平分 B、测量两组对边是否分别

9、相等C、测量一组对角是否都为直角 D、测量其中三角形是否都为直角4下列图形中不一定是菱形的是 （ ）A、两条对角线互相垂直平分的四边形 B、四条边相等的四边形C、有一条对角线平分一个内角的平行四边形 D、一组邻边相等的四边形5如图，分别以ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即ABE，BCF，ACD请回答下列问题：（1）四边形ADFE是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？参考答案：1C； 2B； 3D； 4D； 5（1）平行四边形；（2）BAC150；（3）ABAC；1如图，矩形中，将其折叠，使其点与点重合

10、，折痕为，求和的长2如图，已知在菱形中，与交于点，且，求 的度数3如图，已知在RtABC中，C90，点O为边AC的中点，点D为边AB上一点，过点C作AB的平行线，交DO的延长线于点E（1）证明：四边形ADCE为平行四边形；（2）当四边形ADCE为怎样的四边形时，ADBD，并加以证明；参考答案：1； 230；3（1）点O为边AC中点，AOCO 又CEAB，DACECA，ADECEDADOCEO，ODOE 四边形ADCE为平行四边形 （2）当四边形ADCE为菱形时，ADBD， 四边形ADCE为菱形，ADCD，BACACD BACB90 ，BCDACD90， BBCD，CDBD，ADBD 1矩形对角

11、线相交成的角中，有一个角是60，这个角所对的边长为2，则其对角线长为 2若矩形的一条内角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的面积为 cm23已知菱形的一个内角为60，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 4已知菱形的两条对角线长分别是10cm，24cm，那么这个菱形的边长是 cm5如图所示，已知在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，交BC于D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E。 求证：四边形ADCE是矩形；6ABC中，AD是中线，将ADC沿直线AD翻折后点C落在E处，联结BE和DE，若ACDC。（1）求证：四边形AEDC是菱形；（2）判断四边形AEBD的形状，并证明你的结论。参考答案： 14； 224或40； 32或6； 413； 5证明三个角是直角的四边是矩形6（1）由翻折的性质：ACAE，DCDE； 又ACDC，ACDCDEEA四边形AEDC是菱形（2）四边形AEBD为平行四边形证明：四边形AEDC是菱形AEDC，AEDCBDDC AEBD四边形AEBD为平行四边形1在下图箭头上填上适当条件；2总结一下正方形所具备的性质：边角对角线对称性正方形 9 / 9