北师大版八年级上册数学《第一章勾股定理》单元测试卷（含答案解析）

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1、2018 年秋八年级上学期 第一章 勾股定理 单元测试卷数 学 试 卷考试时间：120 分钟；满分：150 分学校:_姓名：_班级：_考号：_题号 一 二 三 总分得分评卷人 得 分 一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1 （4 分）如图，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形已知每个直角三角形较长的直角边为 a，较短的直角边为 b，斜边长为 c如图，现将这四个全图等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为 24，OC=3，则该飞镖状图案的面积（ ）A6 B12 C24 D24 32 （4 分）如图，两个较大正方形的面积分别为 225，289，则字母

2、 A 所代表的正方形的面积为（ ）A4 B8 C16 D643 （4 分）如图，有四个三角形，各有一边长为 6，一边长为 8，若第三边分别为6，8 ，10 ，12，则面积最大的三角形是（ ）A B C D4 （4 分）下列各组数中，是勾股数的为（ ）A1 ，2 ，3 B4，5，6 C3，4，5 D7，8，95 （4 分）如图，小明将一张长为 20cm，宽为 15cm 的长方形纸（AE DE）剪去了一角，量得 AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）A5cm B12cm C16cm D20cm6 （4 分）如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，

3、然后把中点 C向上拉升 3cm 至 D 点，则橡皮筋被拉长了（ ）A2cm B3cm C4cm D5cm7 （4 分）如图所示，圆柱的高 AB=3，底面直径 BC=3，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A B C D13232432138 （4 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB ，交CD 于点 E，交 CB 于点 F若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（ ）A B C D23343589 （4 分）如图，将ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为 1） ，点 A，B，C 恰好

4、在网格图中的格点上，那么ABC 中 BC 的高是（ ）A B C D210410510510 （4 分）如图是由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，AB 边如图所示，则使ABC 是直角三角形的点 C 有（ ）A12 个 B10 个 C8 个 D6 个评卷人 得 分 二填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）11 （5 分）已知ABC 的三边长为 a、b、c，满足 a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为 三角形12 （5 分）如图，已知ABC 中，AB=10 ，AC=8 ，BC=6 ，DE 是 AC 的垂直平分线

5、，DE交 AB 于点 D，连接 CD，则 CD= 13 （5 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计） 14 （5 分）把两个同样大小的含 45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上若 AB= ，则 CD= 2评卷人 得 分 三解答题（共 9 小题，满分 90 分）15 （8 分）如图，在ADC 中，C=9

6、0 ，AB 是 DC 边上的中线，BAC=30，若AB=6，求 AD 的长16 （8 分）如图，在ABC 中，AD BC ，B=45，C=30 ，AD=2，求ABC 的周长17 （8 分）如图，在ABC 中，AD BC ，B=45，C=30 ，AD= ，求ABC 的面2积18 （8 分）如图，已知在四边形 ABCD 中，A=90，AB=2cm，AD= cm，CD=5cm ，BC=4cm，求四边形 ABCD 的面积519 （10 分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”观察：3、4、5；5、12 、13；7、24 、25；9、40、41； ，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就

7、没有间断过（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；（2）若第一个数用字母 n（n 为奇数，且 n3）表示，那么后两个数用含 n 的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数20 （10 分）方格纸中小正方形的顶点叫格点点 A 和点 B 是格点，位置如图（1）在图 1 中确定格点 C 使ABC 为直角三角形，画出一个这样的ABC；（2）在图 2 中确定格点 D 使ABD 为等腰三角形，画出一个这样的ABD；（3）在图 2 中满足题（2）条件的格点 D 有 个21 （12 分） （1）如图 1 是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是

8、其横载面，ABC 为正三角形求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比） ；（2）一个长宽高分别为 l，b h 的长方体纸箱装满了一层高为 h 的圆柱形易拉罐如图2求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比） ；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？22 （12 分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地 ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量A=90，AB=3m ，DA=4m ，BC=12m，CD=13m（1）求出空地 ABCD 的面积（2）若每种植 1 平方米草皮需要 200 元，问总共需投入多少元？23 （14 分） （1）阅读理解：我们知道在直角

9、三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、 13；9 、40、41； 但其中也有一些特殊的勾股数，例如： 3、4、5； 是三个连续正整数组成的勾股数解决问题：在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？答： ，若存在，试写出一组勾股数： 在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由（2）探索升华：是否存在锐角ABC 三边也为连续正整数；且同时还满足：BCA ；ABC=2 BAC ？若存在，求出 ABC 三边的长；若不存在，说明理由2018 年

10、秋八年级上学期 第一章 勾股定理 单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1【分析】根据飞镖状图案的周长求出 AB+AC 的长，在直角三角形 AOB 中，利用勾股定理求出 AC 的长，进而确定出 OA 的长，求出三角形 AOB 面积，即可确定出所求【解答】解：根据题意得：4（AB+AC ）=24 ，即 AB+AC=6，OB=OC=3，在 RtAOB 中，根据勾股定理得：AB 2=OA2+OB2，即（6AC） 2=32+（3+AC ） 2，解得：AC=1，OA=3+1=4 ，S AOB = 34=6，21则该飞镖状图案的面积为 24，故选：C【点评】

11、此题考查了勾股定理的证明，以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键2【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形 PQED 的面积和正方形 PRQF 的面积分别表示出 PR 的平方及 PQ 的平方，又三角形 PQR 为直角三角形，根据勾股定理求出 QR 的平方，即为所求正方形的面积【解答】解：正方形 PQED 的面积等于 225，即 PQ2=225，正方形 PRGF 的面积为 289，PR 2=289，又PQR 为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，QR 2=PR2PQ2=289225=64，则正方形 QMNR 的面积为 64故选：D【点评】此题考查了勾股定理，以及正

12、方形的面积公式勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键3【分析】过 C 作 CDAB 于 D，依据 AB=6，AC=8 ，可得 CD8，进而得到当 CD 与 AC重合时，CD 最长为 8，此时，BAC=90 ，ABC 的面积最大【解答】解：如图，过 C 作 CDAB 于 D，AB=6，AC=8，CD8，当 CD 与 AC 重合时，CD 最长为 8，此时，BAC=90 ，ABC 的面积最大，BC= =10，286四个三角形中面积最大的三角形的三边长分

13、别为 6，8，10，故选：C【点评】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析4【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可【解答】解：A、错误，1 2+22=53 2=9，不是勾股数；B、错误，4 2+52=416 2=36，不是勾股数；C、正确， 32+42=25=52=25，是勾股数；D、错误， 72+82=1139 2=81，不是勾股数故选：C【点评】此题比较简单，只要对各组数据进行检验，看各组数据是否符合勾股定理的逆定理即可5【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答【解答】解：延

14、长 AB、DC 相交于 F，则 BFC 构成直角三角形，运用勾股定理得：BC2=（15 3） 2+（20 4） 2=122+162=400，所以 BC=20则剪去的直角三角形的斜边长为 20cm故选：D【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长 AB、DC 相交于 F，构造直角三角形，用勾股定理进行计算6【分析】根据勾股定理，可求出 AD、BD 的长，则 AD+BDAB 即为橡皮筋拉长的距离【解答】解：RtACD 中， AC= AB=4cm，CD=3cm；21根据勾股定理，得：AD= =5cm；CDAAD+BDAB=2ADAB=108=2cm；故橡皮筋被拉长了 2cm故选：A【点评】

15、此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用7【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A、C 的最短距离为线段 AC 的长在 RtADC 中， ADC=90，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，AD=1.5，所以 AC= ，243322故选：C【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答8【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三

16、角形的判定与性质得出答案【解答】解：过点 F 作 FGAB 于点 G，ACB=90 ，CD AB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+AED=90 ，AF 平分CAB ，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，CE=CF，AF 平分CAB ，ACF= AGF=90，FC=FG，B= B ，FGB= ACB=90，BFGBAC ， ，ACFGAC=3，AB=5，ACB=90，BC=4， ，354FGFC=FG， ，C解得：FC= ，23即 CE 的长为 故选：A【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=

17、CFE 9【分析】根据所给出的图形求出 AB、AC 、BC 的长以及BAC 的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可【解答】解：根据图形可得：AB=AC= = ，215BC= ，032BAC=90，设ABC 中 BC 的高是 x，则 ACAB=BCx，105x= 2故选：A【点评】此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于 x 的方程10【分析】根据正六边形的性质，分 AB 是直角边和斜边两种情况确定出点 C 的位置即可得解【解答】解：如图，AB 是直角边时，点 C 共有 6 个位置，即有 6 个直角三角形，AB 是斜边时，点 C

18、 共有 4 个位置，即有 4 个直角三角形，综上所述，ABC 是直角三角形的个数有 6+4=10 个故选：B【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分 AB 是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观二填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）11【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状【解答】解：a+b=10，ab=18 ，c=8，（a +b） 22ab=10036=64，c2=64，a 2+b2=c2，此三角形是直角三角形故答案为：直角【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形 ABC 的三边满

19、足 a2+b2=c2，则三角形 ABC 是直角三角形12【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形，进而得出线段 DE 是ABC 的中位线，再利用勾股定理得出 AD，再利用线段垂直平分线的性质得出 DC 的长【解答】解：AB=10，AC=8，BC=6，BC 2+AC2=AB2，ABC 是直角三角形，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=EC=4，DEBC，且线段 DE 是ABC 的中位线，DE=3 ，AD=DC= =52DEA故答案为：5【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出 AD的长是解题关键13【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对

20、称点 A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A，连接 AB，则 AB即为最短距离，AB= =20（cm） 2216BDA故答案为 20【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力14【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论【解答】解：如图，过点 A 作 AFBC 于 F，在 RtABC 中，B=45，BC= AB=2，BF=AF= AB=1，22两个同样大小的含 45角的三角

21、尺，AD=BC=2，在 RtADF 中，根据勾股定理得，DF= 32AFDCD=BF+DFBC=1+ 2= 1，3故答案为： 1【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键三解答题（共 9 小题，满分 90 分）15【分析】求出 AC、CD，利用勾股定理求出 AD 即可；【解答】解：在 RtABC 中，C=90，BAC=30，AB=6 ，BC= AB=3，21在 RtABC 中，AC= ，32BCAAB 是 DC 边上的中线，DB=BC=3，所以 CD=6，在 RtACD 中， AD= 73622CDA答：AD 的长是 3 7【点评】本题考查勾股定理，中线

22、的定义，直角三角形 30 度角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型16【分析】根据垂直求出ADB=ADC=90，求出 AC=2AD=4，AD=BD=2，根据勾股定理求出 CD 和 AB，即可求出答案【解答】解：AD BC，ADB=ADC=90，在 RtADB 中，DAB=90 B=90 45=45=B，AD=BD=2，由勾股定理得：AB= ；22在 RtADC 中，C=30，AD=2，AC=2AD=4，由勾股定理得：CD= ，3242ABC 的周长是 AC+AB+BC=4+2 +2+2 =6+2 +2 3【点评】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理、含

23、30角的直角三角形的性质等知识点，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键17【分析】求出 BD=AD= ，AC=2AD=2 ，根据勾股定理求出 CD，根据三角形的面积22公式求出即可【解答】解：AD BC，ADB=ADC=90，在 RtADB 中，B+BAD=90，B=45，B= BAD=45，BD=AD= ，2在 RtADC 中， C=30，AC=2AD=2 ，CD= ，BC=BD +CD= + ，6226S ABC = BCAD= （ + ） =1+ 113【点评】本题考查了含 30角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的面积等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键18【

24、分析】连接 BD，根据勾股定理求得 BD 的长，再根据勾股定理的逆定理证明BCD是直角三角形，则四边形 ABCD 的面积是两个直角三角形的面积和【解答】解：连接 BDA=90，AB=2cm ，AD= ，5根据勾股定理可得 BD=3，又CD=5，BC=4，CD 2=BC2+BD2，BCD 是直角三角形，CBD=90，S 四边形 ABCD=SABD +SBCD = ABAD+ BCBD= 2 + 43= +6（cm 2） 211515【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键解题时注意：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形1

25、9【分析】 （1）分析所给四组的勾股数：3、4 、5 ；5、12 、13；7、24 、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61 ；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一【解答】解：（1）11，60，61； （2）后两个数表示为 和 ，21n2又n3，且 n 为奇数，由 n， ， 三个数组成的数是勾股数 212故答案为：11，60，61 【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可20【分析】 （1）A 所在的水平线与 B 所在的竖直线的交点就是满足条件的点；（2）根据

26、勾股定理可求得 AB=5，则到 A 的距离是 5 的点就是所求；（3）到 A 点的距离是 5 的格点有 2 个，同理到 B 距离是 5 的格点有 2 个，据此即可求解【解答】解：（1） （2）如图所示：（3）在图 2 中满足题（2）条件的格点 D 有 4 个故答案是：4【点评】本题考查了等腰三角形，勾股定理，正确对等腰三角形的顶点讨论是关键21【分析】 （1）如图 1，设O 半径为 r，纸盒长度为 h，则 CD= r，BC=2 r根据3圆柱的体积和棱柱的体积公式分别求得圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值；（2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值；（3）利用（1） （2）的数据进行解答【

27、解答】解：（1）由题意，O 是ABC 内接圆，D 为切点，如图 1，连结 OD，OC 设O 半径为 r，纸盒长度为 h，则 CD= r，BC=2 r3则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：第二种包装的空间利用率大【点评】考查了勾股定理的应用，圆的有关计算，立体图形的体积公式，综合性较强，需要学生对所学知识的系统掌握22【分析】 （1）连接 BD，在直角三角形 ABD 中，利用勾股定理求出 BD，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形 BCD 为直角三角形，四边形 ABCD 面积等于三角形 ABD 面积+三角形 BCD 面积，求出即可；（2）由（1）求出的面积，乘以 200 即可得到结果【解答】解：（1

28、）连接 BD，在 RtABD 中，BD 2=AB2+AD2=32+42=52，在CBD 中，CD 2=132，BC 2=122，而 122+52=132，即 BC2+BD2=CD2，DBC=90，则 S 四边形 ABCD=SBAD +SDBC = ADAB+ DBBC= 43+ 125=36；2121（2）所以需费用 36200=7200（元） 【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键23【分析】 （1）6，8，10；设这三个正整数为 n1，n，n +1，根据勾股定理列方程可得方程解 x=4，得出还是3，4 ，5 这三个数，可得结论不存在；设这三个奇数分别为：2

29、n 1，2n+1，2n +3，同理列方程，方程无整数解，可知，不存在；（2）设 AB=x，AC=x+1，BC=x1，作辅助线，构建等腰三角形，证明CAB CDA ，列比例式，可得方程，解出即可【解答】解：（1）存在三个连续偶数能组成勾股数，如 6，8，10， （3 分）故答案为：存在；6，8，10；答：不存在， （4 分）理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数，设这三个正整数为 n1，n，n +1，则（n1） 2+n2=（n+1） 2， （5 分）n1=4，n 2=0（舍） ，当 n=4 时，n1=3，n+1=5，三个连续正整数仍然是 3，4，5，不存在其它的三个

30、连续正整数能组成勾股数；（6 分）答：不存在， （7 分）理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数，设这三个奇数分别为：2n 1，2n+1，2n +3（n1 的整数） ，（2n 1） 2+（ 2n+1） 2=（2n+3） 2，n1= ， n2= ，7不存在三个连续奇数能组成勾股数；（8 分）（2）答：存在，三边长分别是 4，5，6， （9 分）理由是：如图，在ABC 中，设 AB=x，AC=x +1，BC=x1，则：BCA ；ABC=2 BAC ，延长 CB 至 D，使 BD=AB，连接 AD，BAD=BDA ， （10 分）ABC=BAD+BDA=2BDA，ABC=2BAC，BAC=BDA，C=C，CABCDA， ，ABDAC 2=BCDC，（x+1） 2=（ x1）（x 1）+x ，x=5 或 0（舍） ，当 x=5 时，x1=4，x+6，BC=4，AB=5，AC=6，答：满足条件的ABC 三边的长为 4，5，6 （12 分）【点评】本题是阅读材料问题，考查了勾股数的有关问题，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断，本题熟练掌握勾股定理列方程是关键