上海1对3秋季课程讲义-数学-九年级-第13讲-锐角三角比与相似三角形的综合-教案

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1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题第13讲-锐角三角比与相似三角形的综合学习目标1使学生理解锐角三角比的意义，会运用正、余弦和正、余切的计算，能够熟练的掌握解直角三角形.2通过相似三角形的性质和判定定理，解决几何综合问题，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.教学内容知识梳理一、锐角三角比知识结构框架图： 正切、余切、正弦、余弦 已知锐角求三角比；已知三角比求锐角 锐角三角比的概念 正切与余切的关系，不同三角比值随角度大小变化关系 给定条件下求锐角的三角比（直接法、间接法、设比法等）锐角三角比 特殊角的三角比值 熟记30、45、60 三边，两锐

2、角、一锐角与两边的关系 解直角三角形 已知一边和一角 已知两边 图形中的应用解直角三角形的应用 有关概念 实际问题中的应用 基本图形与基本题型 寻找或构造直角三角形 数形结合与方程数学思想1、直角三角形的认识：直角、锐角、斜边、对边、邻边2、正弦：直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，叫做这个锐角的正弦. 在RtABC中,C=900，AB=c, BC=a, AC=b, 则A的正弦：B的正弦：3、余弦：直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比，叫做这个锐角的余弦. A的余弦： B的余弦：注：在RtABC中,C=90，则sinA=cosB(或cosA=sinB) , , 当为锐角， 0sin1，0

3、cos1；tan0，cot0.4、正切：直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比，叫做这个锐角的正切. 在RtABC中,C=900，AB=c, BC=a, AC=b, 则A的正切： B的正切：5、余切：直角三角形中，一个锐角的邻边与对边的比，叫做这个锐角的余切A的余切： ，B的余切：注：tanAcotA=1（或），同一个锐角的正切与余切互为倒数；若A+B=90，则tanA=cotB（或cotA=tanB）二、特殊角的锐角三角比：数函角三度角300450600sincostancot三、解直角三角形：1解直角三角形的定义： 由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形.2

4、. 在RtABC中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间的等量关系：（1）边角之间的关系：A的正弦：sinA =, A的余弦：cosA =,A的正切：tanA = , A的余切：cotA = ，（2）两锐角之间的关系：AB90（3）三条边之间的关系：3.解直角三角形的基本类型和方法:已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角AB90-A； batanA； c=斜边c及锐角AB90-A； acsinA； bccosA两边两条直角边a和b； B90-A， 直角边a和斜边csinA=， B90-A， 4.仰角、俯角的定义5.坡度相关概念如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡

5、比）.记作i,即i=.坡度通常写成1m的形式，如i=16.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有 i =tan a显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.相似三角形知识点整理相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（平行即相似）相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）. 相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）相似三角形判定定理3：如果一个三角形的

6、三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（三边对应成比例，两个三角形相似）相似三角形判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似）二、相似三角形的判定方法： 全等三角形 相似三角形 判定方法两边和其夹角对应相等，两三角形全等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 两角和其夹边对应相等，两三角形全等 两角对应相等，两三角形相似 三边对应相等，两三角形全等 三边对应成比例，两三角形相似 斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等 一个直角三角形的斜边和一条直

7、角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 此外还有：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似 二、相似三角形判定中常见常用的基本图形 1、平行线型（两线平行，则相似） 2、相交线形（两角相等，则相似）3、旋转型 1、 等积式、比例式的证明： 等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 （一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。 等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似

8、三角形。 （二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。 例题1：如图，为直角的斜边上一点，交与，如果沿翻折，恰好与重合，联结交于，如果，那么= 【答案】6:5例题2：如图，菱形中，点、在对角线上，若四边形为正方形，则并求图中有几对相似三角形？【答案】 12，写出三个全等即可试一试：1.在中，若、分别是、的对边，则下列结论中，正确的是（ ）； ； ； 【答案】 A 2如图，在中，90，为边上的高，已知1，则线段的长是（ ） ； ； ； 【答案】 D【拓展】射影定理3如图，每个小正方形的边长为1

9、，、是小正方形的顶点，则的正弦值为 【答案】 224如果在平面直角坐标系中，点的坐标（2,1），射线与轴的正半轴所夹的角为，那么的余弦值等于 【答案】 2555在中，若，则= 【答案】 906.把RtABC的三边长度都扩大3倍，则锐角A的四个三角比的值（ ）A 都扩大3倍 B都缩小到原来的 C没有变化 D不能确定【答案】 C【拓展】两个三角形相似之后哪些变，哪些不变？7.在中，、都是锐角，若，则的形状为 三角形【答案】 等边8.已知：如图432，在RtABC中，C=，D是BC中点，DEAB于E，tanB=，AE=7，求相似三角形？和DE的长？【答案】 739.已知：在ABC中，A=90，BD=

10、8，cosB=,cotCDA=,求AC的长？【答案】 16033例题3：如图，点是正方形对角线上的一个动点（不与、重合），作交边于点，联结、交于点。（1）求证：；（2）若，求的值。【答案】略；【解析】第一问利用相似三角形判定定理1证明；第二问利用2问中的假设和1中的结论证明。例题4：已知：如图，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DEDF。若B=60，求AFD的四个三角比？ 【答案】 略常考的基本图形：（母子型相似三角形）1.如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E求证： 【答案】 略3.已知：如图，等

11、腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证：【答案】 略（双垂型）1.如图，在ABC中，sinA=32，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED【答案】 略2.如图，已知锐角ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，ABC和BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。【答案】 322（共享型相似三角形）1.ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,DAE的补角的正弦值是32，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.【答案】 32.已知：如图，在RtABC中，AB=AC，

12、sinDAE=22求证：（1）ABEACD；（2）【答案】 略（一线三等角型相似三角形）1.如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，cosEDF=12（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE【答案】 证明略；532.（1）在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.若点在线段上（如图），且，求线段的长；求ABC和BAC的正弦值？若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；【答案】 125； （2） 正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.【答案】 5+352；552（一线三直角型相似三角形）1.已知矩形

13、ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。【答案】 2.在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。【答案】 2017年一模真题练习：1已知,下列判断正确的是（A ）、； 、； 、； 、2如果是线段的黄金分割点，并且，那么的长度为（C ）、； 、； 、； 、3已知，那么= 32 4如果两个相似三角形的相似比是1:4，那么它们的面积比是 1:16 5如图，为的边上一点，如果，那么图中是和的比例中项 AC

14、6如图，中，若于，且，则 23 7如图，为重心，如果，那么的长为 8 8计算：【答案】32+2+1；9如图，、分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在大楼的处窗口观察大楼的底部点的俯角为，观察大楼的顶部点的仰角为，求大楼的高。 【答案】 36+123米；我的总结重在让学生进行总结与回顾，老师适当引导。1.在中，点D、E分别在边AB、AC上，,要使DE/BC,还要满足下列条件 中的（ D ）A. B. C. D.2.在中，如果，那么AC的长为（ B ）A. B. C. D.3.如果锐角的正弦值为，那么下列结论中正确的是（ C ）A. B. C. D.4.如果，且与相似比为，那么与面积比为_1:

15、16_.5.在中，如果，那么的重心到底边的距离为_2_.6.在，点分别在上，如果，那么的周长为_454_.7.如图，在，点分别在边上，如果，那么等于_3:2_.第7题图8.一张直角三角形纸片ABC,AB=24，tanB=(如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为 13 第18题图9.计算：【答案】6+3+2+34；10.将笔记本电脑放置在水平的桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架后，电脑转到的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=OB=20cm，,垂足为C.（1）求点的高度；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏与原来的位置OB平行，显示屏应绕点按顺时针方向旋转多少度？（备用数据：sin65=0.906，cos65=0.423，tan65=2.146，cot65=0.446）115【答案】8.5；10.3m; 2511.已知：如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，BABD=BCBE.（1） 求证：DEAB=ACBE；（2） 如果AC2=ADAB,求证：AE=AC.【答案】略；17 / 17