上海1对3秋季课程讲义-数学-九年级-第16讲-二次函数与三角形（角度、锐角三角比、面积）-教案

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1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题第15讲-二次函数与三角形（角度、锐角三角比、面积）学习目标1运用二次函数图像的性质结合面积三角形的性质，求解；2结合二次函数图像的性质以及锐角三角比（包括特殊角）的值求线段，角度等：教学内容面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确锐角三角比的主要学找一些特殊的角，找到已知两角的与横轴和纵轴或过两点作横轴和纵轴的垂线的交点的坐标围成的特殊三角形三边比为或或等【知识梳理1】一、二次函数的

2、图象及性质1.和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）当时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴

3、的交点3.点的坐标设法.（1）二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点（2）点关于的对称点为4 二次函数的性质：抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（ 轴）函数的图像与的符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点；5 二次函数或（）的性质开口方向： 对称轴：（或）顶点坐标：（或）【知识梳理2】对边邻边斜边ACB2、 如下图，在RtABC中，C为直角，则A的锐角三角函数为：定 义表达式取值范围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角) (倒数)余切(A为锐角) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；

4、任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数030456090011001不存在不存在10【例题精讲】例1. RtABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），BDE的面积为2（1）求m与n的数量关系；（2）当tanA时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果AEO与EFP 相似，求点P的坐标图1思路：1探

5、求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD/x轴3如果AEO与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况解析：（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数的图像上，所以 整理，得n2m（2）如图2，过点E作EHBC，垂足为H在RtBEH中，tanBEHtanA，EH2，所以BH1因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)已知BDE的面积为2，所以解得m1因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因为点D（4，1）在反比例函数的图像上，所以k4因此反比例函数的解析式为设直线AB的解析式为ykxb，

6、代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，因此直线AB的函数解析式为图2 图3 图4（3）如图3，因为直线与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD/ x轴，EFPEAO因此AEO与EFP 相似存在两种情况：如图3，当时，解得FP1此时点P的坐标为（1，1）如图4，当时，解得FP5此时点P的坐标为（5，1）注意：本题的题设部分有条件“RtABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为，直线AB为第（3）题FD不再与x轴平行，AEO与EFP 也不可能相似【试一

7、试】1.如图，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B、C两点（OBOC），连结A，B（1）是否存在这样的抛物线F，使得？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO，求抛物线F对应的二次函数的解析式图1思路1数形结合思想，把转化为 2如果AQBC，那么以OA、AQ为邻边的矩形是正方形，数形结合得到tb3分类讨论tanABO，按照A、B、C的位置关系分为四种情况A在y轴正半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；A在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况解析（1）因为平移的图象得到

8、的抛物线的顶点为（t，b），所以抛物线对应的解析式为因为抛物线与x轴有两个交点，因此令，得，所以)( )| 即所以当时，存在抛物线使得（2）因为AQ/BC，所以tb，于是抛物线F为解得当时，由，得如图2，当时，由，解得此时二次函数的解析式为如图3，当时，由，解得此时二次函数的解析式为 图2 图3如图4，如图5，当时，由，将代,可得，此时二次函数的解析式为或 图4 图5注意：第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ/BC，所以tb，于是抛物线F为由，得 把代入，得（如图2，图5）把代入，得（如图3，图4）【试一试】2.如图，已知抛物线与轴交于点、两点，点的坐标为（3,0），它的对称轴为直线（1）求

9、二次函数的解析式；（2）若抛物线的顶点为点，联结并延长交于轴于点，联结，求的余切值；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上存在点，使得，求点的坐标24、（1）（2） （3） AOPAHE 【知识梳理2】 直接法求三角形面积，如图1所示，ABC中AD为边BC上的高，则； 补全法求三角形面积，如图2所示，； 分割法求三角形面积：如图3所示， 平移法求三角形面积（等积法），如图4所示，过点A作ADBC，则 当一个三角形（或其他多边形）的形状或大小发生变化时，产生面积变化，利用已知条件求出，变化过程中该三角形（或其他多边形）的面积.【例题精讲】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线

10、交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点的坐标是（4，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求的最大面积及E点坐标.抛物线中的三角形大致可以分为如下几种情况：（1）有一边在坐标轴上，如图1、图2：交点三角形，（），；（2）有一边与x轴平行如图3、图4，或；（3）三边均不与坐标轴平行如图5所示；可见（1）（2）只要求出A、B、C的坐标，带入点的坐标，直接可以利用坐标求解，（3）时三角形的面积怎样求呢？其基本思路是讲任意三角形转化为边在

11、坐标轴上或者与坐标轴平行的三角形，然后类比上述（1）（2）的办法进行解决。此时，需要用到割补法；过点C作x轴的垂线叫AB与点D，则三家ABC被分成了两个以CD边一边的三角形，过点A作AE直线CD于E。过B作BFCD于F，则，如图，所以，；对于（1）的情形，过C作直线垂直x轴于点D，对于（2）的情形，综合（1）（2）（3）已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线中的ABC的面积公式；设，a为两点的横坐标之差，只看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽；h表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅垂高。在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为：，这里用a代表水平宽，用h代表铅垂高；此公式适用于坐标系中的任意三

12、角形，它也和三角形原有的面积公式形成了完美的一致，其实，三角形原有的面积公式就是这个公式的特殊情形，二者是一般和特殊的关系。这样，我们便可以推导出了三角形面积的万能公式。那么，我们如何确定水平宽和铅垂高呢？当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能一样，如图所以，不妨设，则即是水平宽，过C作x轴的垂线，与直线AB的交点记为D，则即是铅垂高，所以【试一试】、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； 图1

13、 图2思路: 1求抛物线的解析式，设交点式比较简便2把MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA解析： (1) 因为抛物线与x轴交于A(4,0)、C(2,0)两点，设ya(x4)(x2)代入点B(0,4)，求得所以抛物线的解析式为(2)如图2，直线AB的解析式为yx4过点M作x轴的垂线交AB于D，那么所以因此当时，S取得最大值，最大值为41.如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线经过 (0，3)， (l，0)两点，顶点为（1）求、的值；（2）将绕点顺时针旋转90后，点落到点的位置，该抛物线沿轴上下平移后经过点，求平移后所得抛物线的表达式；（3）设（2）中平移后所得的抛物线与轴的交点为，顶

14、点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的3倍，求点的坐标24(本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）解：（1）已知抛物线 经过， （2分）解得 （1分）、的值分别为4，3解：（2）， ， 可得旋转后点的坐标为 （2分） 当时，由得， 可知抛物线过点(4，3) 将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点 平移后的抛物线解析式为： （2分）解：（3）点在上，可设点坐标为， 将配方得，其对称轴为x =2 （1分） ，当时， ，此时点的坐标为 （2分） 当时，同理可得 ，此时 点的坐标为 （2分）综上所述，点的坐标为 或如图1，抛物线与x轴相交于A、B

15、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系图1思路：1数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长2当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程3把BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB解析（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴

16、是x1（2）直线BC的解析式为yx3把x1代入yx3，得y2所以点E的坐标为（1，2）把x1代入，得y4所以点D的坐标为（1，4）因此DE=2因为PF/DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP于是得到解得，（与点E重合，舍去）因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3因此m的变化范围是0m3 图2 图3注意：在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此于是解得（与点CE重合，舍去），（与点E重合，舍去）因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形图4圆的相关概念及垂径定理 20 / 20