七年级下册数学讲义第03讲-整式的乘法与平方差公式（培优)-教案

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1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题 第03讲-整式的乘法与平方差公式授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握整式的乘法法则，能够准确计算整式乘法的计算题； 理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，会灵活运用平方差公式进行计算。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念 （一）整式的乘法 1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。 2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所

2、得的积相加。公式如下： 都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：都是单项式）（二）平方差公式1、平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式的推导：。平方差公式的逆用即平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。 2、平方差公式的几何意义如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的 面积是

3、：a2b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（ab），则a2b2=（a+b）（ab） 平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。3、平方差公式的应用。平方差公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。会涉及到平方差公式的逆用。典例分析 考点一：整式的乘法 例1、下列计算正确的是（）A（2a）（3ab2a2b）=6a2b4a3b B（2ab2）（a2+2b21）=4a3b4C（abc）（3a2b2ab2）=3a3b22a2b3 D（ab）2（3ab2c）=3a3b4a2b2c【解析】D例2、若（am+1bn）（a2m1b2n）=a5b6（a、b均不等于1和0）则求m+n的值【

4、解析】解：（am+1bn）（a2m1b2n）=a3mb3n=a5b6m=，n=2，m+n=+2=例3、阅读下列文字，并解决问题已知x2y=3，求2xy（x5y23x3y4x）的值分析：考虑到满足x2y=3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，考虑整体思想，将x2y=3整体代入解：2xy（x5y23x3y4x）=2x6y36x4y28x2y=2（x2y）36（x2y）28x2y=23363283=24请你用上述方法解决问题：已知ab=3，求（2a3b23a2b+4a）（2b）的值【解析】（2a3b23a2b+4a）（2b）=4a3b3+6a2b28ab=4（ab）3+6（ab）28ab=43

5、3+63283=108+5424=78例4、计算：（1）（4ab3）（ab）（ab2）2 （2）（1.25108）（8105）（3103）（3）（x2yxy2y3）（4xy2） （4）anb23bn12abn+1+（1）2003 【解析】（1）原式=a2b4 （2）原式=31017 （3）原式=3x3y3+2x2y4+xy5 （4）原式=3anbn+12an+1bn+3anb2 例5、观察下列各式（x1）（x+1）=x21（x1）（x2+x+1）=x31（x1）（x3+x2+x+1）=x41 根据以上规律，则（x1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x71你能否由此归纳出一般性规律：（

6、x1）（xn+xn1+x+1）=xn+11根据求出：1+2+22+234+235的结果【解析】根据题意得：（x1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x71 根据题意得：（x1）（xn+xn1+x+1）=xn+11 原式=（21）（1+2+22+234+235）=2361例6、先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法例如：（2a+b）（a十b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明图3 （1）根据图2写出一个等式：（2）（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明【解析】（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2 画

7、出的图形如右图3：（答案不唯一，只要画图正确即得分）考点二： 平方差公式例1、已知a=20162，b=20152017，则（）Aa=b Bab Cab Dab【解析】B例2、下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A（2a+b）（2ab） B（2a+b）（b2a）C（2a+b）（2ab）D（2ab） （2ab）【解析】C例3、小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上有【解析】本题是平方差公式的逆用，把原式分母中200320012+2003200322变形为（2003200121）+（2003200321），利用

8、a2b2=（a+b）（ab）计算原式= =例4、计算：（1）（x+2）（x2）（x2+4） （2）（2a+b）（2ab）4a（ab） （3） （4）4002399401 （5）（2x3y）（3y+2x）（4y3x）（3x+4y） （6）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x-y）【解析】（1）原式=x416 （2）原式=b2+4ab （3）原式=12.32 （4）原式=1 （5）原式=13x225y2 （6）原式=5x2-2y2例5、若（N+2005）2=123456789，求（N+2015）（N+1995）的值【解析】解：（N+2015）（N+1995）=（N+2005）+10（N+200

9、5）10=（N+2005）2102（N+2005）2=123456789原式=123456789100=123456689例6、两个两位数的十位数字相同，一个数的个位数字是6，另一个数的个位数字是4，它们的平方差是220，求这两个两位数【解析】解：设这两个两位数的十位数字是x，则这个两位数依次表示为10x+6，10x+4，（10x+6）2（10x+4）2=220解得：x=5这个两位数分别是56和54例7、阅读下列材料：某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成41后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）=（41）（4+1）（42+1）=（421）（42+1）=1621

10、很受启发，后来在求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（22048+1）的值时，又改造此法，将乘积式前面乘以1，且把1写为21得（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（22048+1）=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（22048+1）=（221）（22+1）（24+1）（28+1）（22048+1）=（241）（24+1）（28+1）（22048+1）=（220481）（22048+1）=240961回答下列问题：（1）请借鉴该同学的经验，计算：；（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：【解析】（1）原式=2（1）（1+）（1+）+，=2（1）+，

11、=2+=2（2）=（1）（1+）（1）（1+）（1）（1+）=考点三：平方差公式的几何意义例1、乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算：10.39.7 （x+2y3）（x2y+3）【解析】（1）a2b2（2）宽是：ab，长是：a+b，面积是：（a+b）（ab）；（3）（a+b）（ab）=a2b2；（4）10.39.7=（10+0.3）（100.3）=1000.09=99.

12、91（x+2y3）（x2y+3）=x+（2y3）x（2y3）=x2（2y3）2=x2（4y212y+9）=x24y2+12y9例2、如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式【解析】解：（1）大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，S1=a2b2S2=（2a+2b）（ab）=（a+b）（ab）；（2）根据题意得：（a+b）（ab）=a2b2例3、如图，边长为a的大正方形是由边长为b的

13、小正方形和四个全等的梯形拼成的，请利用此图证明平方差公式【解析】先求出梯形的高为（a2b），再根据四个梯形的面积列出等式整理即可得证证明：四个梯形是全等梯形，梯形的高为四个梯形的面积=4（a+b）=a2b2整理得（a+b）（ab）=a2b2P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列运算中，正确的是（）A2x43x2=x2 B2x4+3x2=5x6 C2x43x2=6x8 D2x43x2=6x6【解析】D2、设（xm1yn+2）（x5my2）=x5y3，则nm的值为 【解析】解：（xm1yn+2）（x5my2）=xm1+5myn+22=x5y3m1+5m=5，n+

14、22=3解得m=1，n=3nm=31=33、某同学在计算一个多项式乘以3x2时，因抄错运算符号，算成了加上3x2，得到的结果是x24x+1，那么正确的计算结果是多少？【解析】这个多项式是（x24x+1）（3x2）=4x24x+1正确的计算结果是：（4x24x+1）（3x2）=12x4+12x33x2 4、若（x2+px）（x23x+q）的积中不含x项与x3项（1）求p、q的值；（2）求代数式（2p2q）2+（3pq）1+p2012q2014的值【解析】解：（1）（x2+px）（x23x+q）=x4+（p3）x3+（q3p）x2+（qp+1）x+q，积中不含x项与x3项，P3=0，qp+1=0p

15、=3，q=，（2）（2p2q）2+（3pq）1+p2012q2014=232（）2+（）2=355、计算：（1） （4xy3）（xy）+（3xy2）2 （2） 3（3mn）2（3mn）3（n3m）（3） （4）（2x3y）（3xy24xy+1）（5）（3x2）（3x+2）6（x2+x1） （6）（2x24）（2x1x）【解析】（1）原式=7x2y4 （2）原式=（3mn）6（3）原式=x4y4z3x4y4z=x4y4z （4）原式=6x4y3+8x4y22x3y（5）原式= 3x26x+2 （6）原式= x32x22x+46、已知代数式（mx2+2mx1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次

16、多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数【解析】解：（mx2+2mx1）（xm+3nx+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mxxm3nx2，因为该多项式是四次多项式，所以m+2=4，解得：m=2，原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（83n）x2多项式不含二次项3+12n=0，解得：n=，所以一次项系数83n=8.757、若（x2+nx+3）（x23x+m）的展开式中不含x2和x3项，求m，n的值【解析】解：原式的展开式中，含x2的项是：mx2+3x23nx2=（m+33n）x2含x3的项是：3x3+nx3=（n3）x3由

17、题意得：，解得8、化简求值：已知：（x+a）（x）的结果中不含关于字母x的一次项，求（a+2）2（1a）（a1）的值【解析】（x+a）（x）=x2+axxa=x2+（a）xa 由题意得a=0则a=（a+2）2（1a）（a1）=a2+4a+4+1a2=4a+5 当a=时，原式=4+5=119、如图（1）所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图（2）是由图（1）中阴影部分拼成的一个长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a2b2、（a+b）（ab）（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a2b2=（a+b）（ab）（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24

18、+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1【解析】（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，故图（1）阴影部分的面积值为：a2b2，图（2）阴影部分的面积值为：（a+b）（ab）故答案为：a2b2，（a+b）（ab）（2）以上结果可以验证乘法公式：a2b2=（a+b）（ab）故答案为：a2b2=（a+b）（ab）（3）原式 =（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=2641+1=264 课后反击1、下列各题，计算正确的是（）A3a24a3=12a6 B（x3）2=x9C（3m3）3=9mx9 D（xn）2=x2n【解析】D2、化简

19、：3（xy）2（yx）3（xy）4【解析】原式=3（xy）2（yx）3（xy）4=3（yx）2（yx）3（yx）4=3（）（）（yx）9=（yx）93、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（）A（ab）2=a22ab+b2 B（a+b）2=a2+2ab+b2C2a（a+b）=2a2+2ab D（a+b）（ab）=a2b2【解析】C4、计算：（1）（a2b）（b2a+） （2）6a3b（2ab2c）（3）2a2b（3ab2ab1） （4）（5a2a+1）（3a2） 【解析】（1）原式=a2b3+a3ba2b （2）原式= 12a4b3c （3）原式=6a3b3+2

20、a3b2+2a2b （4）原式=15a4+a33a25、某同学在计算一个多项式乘以2a时，因抄错运算符号，算成了加上2a，得到的结果是a2+2a1，那么正确的计算结果是多少？【解析】计算一个多项式乘以2a时，因抄错运算符号，算成了加上2a，得到的结果是a2+2a1，这个多项式为：a2+2a1+2a=a2+4a1，正确的计算结果是：2a（a2+4a1）=2a38a2+2a6、（1）（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）+1（n是正整数）（2）（3+1）（32+1）（34+1）（32014+1）（3）【解析】解：（1）原式=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）+1=（

21、221）（22+1）（24+1）（22n+1）+1=（241）（24+1）（22n+1）+1=24n1+1=24n（2）原式=（31）（3+1）（32+1）（34+1）（32014+1）=（321）（32+1）（34+1）（32014+1）=（340281）=（3）原式=7、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（xy），给出以下关系式： x+y=m； xy=n； xy= 其中正确的关系式的个数有（）A0个 B1个 C2个 D3个【解析】解：由图形可得： 大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽，故x+y=m正确； 小正方形的边长=长方形的长一长方形的

22、宽，故xy=n正确； 大正方形的面积一小正方形的面积=4个长方形的面积，故xy=正确， 所以正确的个数为3，选D直击中考 1、【2016 常州】先化简，再求值（x1）（x2）（x+1）2，其中x=【解析】解：（x1）（x2）（x+1）2=x22xx+2x22x1=5x+1当x=时，原式=5+1=2、【2015 珠海】计算3a2a3的结果为（）A3a5 B3a6 C3a6 D3a5【解析】A3、【2015 佛山】若（x+2）（x1）=x2+mx+n，则m+n=（）A1 B2 C1 D2【解析】CS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数）3、幂的乘方的运算性质的逆用：都是正整数）名师点拨 1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如等 2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数）3、积的乘方的运算性质的逆用：是正整数）学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 16