七年级下册数学讲义第04讲-完全平方公式与整式的除法（培优)-教案

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1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题 第04讲-完全平方公式与整式的除法授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进行计算。 掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念 （一）完全平方公式1、完全平方公式： 即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一

2、个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；（3）公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。（4）完全平方公式的变形公式： 2、完全平方公式的几何意义如右图2中，一方面大正方形面积为 ，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有如右图1中，左下角正方形面积为 ，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有 3、完全平方公式的应用。完全平方式：形如或者的叫做完全平方式。完全平方公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等

3、。会涉及完全平方公式的变形公式。（二）整式的除法 1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。 典例分析 考点一：完全平方公式例1、下列计算正确的是（）A（a+2b）（a2b）=a22b2 B（2x+3）2=4x2+9C（a4b）2=a28ab+4b2 D（y5）2=y2+10y+25 【解析】D例2、（1）已知a+b=5，ab=6，求（ab）2的值（2）已知a（a1）（a2b）=5，求（a2+b2）ab的值（3）（1）已知

4、a+b=3，ab=2，求a2+b2和a2ab+b2的值【解析】（1）解：a+b=5，ab=6（ab）2=（a+b）24ab=（5）24（6）=49（2）解：a（a1）（a2b）=5a2aa2+b=ba=5（a2+b2）ab=（a2+b22ab）=（ba）2=（5）2=（3）解：a2+b2=（a+b）22ab=322（2）=13a2ab+b2=（a+b）23ab=323（2）=15例3、计算：（1）2（xy）2（2x+y）（y+2x） （2）x2+4216x2 （3）（x+y）2（xy）2 （4）（4x2y2）（2x+y）2+（2xy）2 （5）（xy）2（x+y）2（x2+y2）2 （6）（2

5、x+y1）2【解析】（1）原式=2x24xy+3y2 （2）原式= （x+2）2（x2）2（3）原式=4xy （4）原式= 32x42y4（5）原式= x82x4y4+y8 （6）原式=4x2+4xy4x+y22y+1例4、阅读下列解答过程：已知：x0，且满足x23x=1求：的值解：x23x=1，x23x1=0 ，即 =32+2=11请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a0，且满足（2a+1）（12a）（32a）2+9a2=14a7求：（1）的值（2）的值【解析】解：（1）（2a+1）（12a）（32a）2+9a2=14a714a2（912a+4a2）+9a214a+7=0， 整理得：a22

6、a1=0 （2）解：的倒数为 例5、若4x2（a1）xy+9y2是完全平方式，则a= 菁优网权所有【解析】解：4x2+（a1）xy+9y2=（2x）2+（a1）xy+（3y）2（a1）xy=22x3y解得a1=12a=13，a=11例6、阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a22ab+b2=（ab）2例如：（x1）2+3、（x2）2+2x、（x2）2+x2是x22x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x24

7、x+9三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2ab3b2c+4=0，求a+b+c的值【解析】解：（1）x24x+9的三种配方分别为： （2）a2+ab+b2=（a+b）2aba2+ab+b2=（a+b）2+b2（3）a2+b2+c2ab3b2c+4，=（a2ab+b2）+（b23b+3）+（c22c+1），=（a2ab+b2）+（b24b+4）+（c22c+1），=（ab）2+（b2）2+（c1）2=0，从而有ab=0，b2=0，c1=0，即a=1，b=2，c=1，a+b+c=4考点二：完全平方公式的几何意义例1、如图（1），是一个长为2a宽

8、为2b（ab）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（） Aab B（a+b）2 C（ab）2 Da2b2【解析】由题意可得，正方形的边长为（a+b） 故正方形的面积为（a+b）2 原矩形的面积为4ab 中间空的部分的面积=（a+b）24ab=（ab）2 故选C例2、如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a1）cm的正方形（a1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）A2 cm2 B2a cm2 C4a cm2 D（a21）cm2【解析】矩形的面积就是边长是（a

9、+1）cm的正方形与边长是（a1）cm的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可解：矩形的面积是：（a+1）2（a1）2=4a（cm2），故选：C例3、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明 根据图2写出一个等式： ； 已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q） x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明【解析】解： （a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2； 画出的图形如下： （答案不唯一，只要画图正确即得分） 考点三：整

10、式的除法例1、计算：（12x38x2+16x）（4x）的结果是（）A3x2+2x4 B3x22x+4 C3x2+2x+4 D3x22x+4【解析】故选A例2、若3x3+kx2+4被3x1除后余3，则k的值为 【解析】3x3+kx2+4被3x1除后余33x3+kx2+43=3x3+kx2+1可被3x1整除3x1为3x3+kx2+1的一个因式当3x1=0，即x=时，3x3+kx2+1=0即3+k+1=0解得k=10例3、计算：（1）（8a2b4ab2）（4ab） （2）（3a+b）2b2a （3）（6x3y29x2y3）（xy） （4）（2ab）2（8a3b4a2b2）2ab （5）（3a2b3c

11、4）2（a2b4） 【解析】（1）原式=2a+b （2）原式=9a+6b （3）原式= 18x2y+27xy2 （4）原式= b22ab （5）原式= 27a2b2c8 例4、（1）已知（ambn）3（ab2）2=a4b5（a、b均不等于1和 -1），求m、n的值（2）小白在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以，结果得到（3x25xy），则第一个多项式是多少？正确的结果又该是多少？【解析】（1）解：（ambn）3（ab2）2=a3mb3na2b4=a3m2b3n4=a4b53m2=4，3n4=5m=2，n=3（2）解：根据题意得：（3x25xy）=6x10y，即第一个多项式是6x

12、10y，则算式应为（6x10y）=3x2+3xy5xy5y2=3x22xy5y2例5、已知多项式6a2+mabab10b2除以3a2b，得商为2a+5b，求m的值【解析】解：（3a2b）（2a+5b）=6a2+11ab10b2mabab=11abm1=11解得m=12故m的值为12P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列计算正确的是（）A（xy）2=x22xyy2 B（4x+1）2=16x2+8x+1C（2x3）2=4x2+12x9 D（a+2b）2=a2+2ab+4b2【解析】B2、已知x28x+1=0，求x2+2的值【解析】已知等式变形求出x+的值，两边平

13、方求出x2+的值，代入原式计算即可解：由x28x+1=0，得到x+=8两边平方得：（x+）2=x2+2=64，即x2+=62则原式=622=603、已知（2004a）（2002a）=2003，求（2004a）2+（2002a）2的值【解析】因为（2004a）（2002a）=（2003a+1）（2003a1）=（2003a）21=2003即可得：（2003a）2=2004所以（2004a）2+（2002a）2=（2003a+1）2+（2003a1）2=（2003a）2+2（2003a）+1+（2003a）22（2003a）+1=2（2003a）2+2=22004+2=40104、已知（x+y）2

14、=4，（xy）2=10，求x2+y2和xy的值【解析】直接利用完全平方公式计算，进而将x2+y2和xy看作整体求出即可 （x+y）2=4，（xy）2=10 x2+y2+2xy=4，x2+y22xy=10 故2（x2+y2）=14 x2+y2=7，故7+2xy=4， 解得：xy=5、计算：（1）（x+2yz）（x2yz）（x+yz）2 （2）（x+3）（x+4）（x1）2 （3）（2x+3y）2（4x9y）（4x+9y）+（2x3y）2 （4）（3x2y）2（4y3x）（3x+4y）； 【解析】（1）原式=5y22xy+2yz （2）原式=9x+11（3）原式= 8x2+18y2 （4）原式=1

15、8x212xy12y26、计算：（1）（12）2106（2105） （2）（3）（9a3b2）3（4a2b3）2（6a4b4） （4）（5）（6）（a4a2）2+（2a）3a2+（a2）4a3【解析】（1）原式=7.21010 （2）原式=xn+2yn （3）原式=1944a9b8（4）原式=an+1b2n2 （5）原式= （6）原式=a47a57、若x（y1）y（x1）=4，求的值【解析】解：x（y1）y（x1）=4 xyxxy+y=4 yx=4 xy=4 = = =88、如图所示，用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a，b的4个直角三角形，恰好能拼成一个新的大正方形，其中a，b，c满足

16、等式c2=a2+b2，由此可验证的乘法公式是（）Aa2+2ab+b2=（a+b）2 Ba22ab+b2=（ab）2C（a+b）（ab）=a2b2 Da2+b2=（a+b）2【解析】根据4个直角三角形的面积+小正方形的面积=新的大正方形的面积，即可解答4个直角三角形的面积为：=2ab小正方形的面积为：c2c2=a2+b2小正方形的面积为：a2+b2新的大正方形的面积为：（a+b）2a2+2ab+b2=（a+b）2，故选：A9、求a=，b=3时，代数式（a2b3）2（ab）（ab3）的值【解析】解：a=，b=3原式=（a2b3）2（ab）（ab3）=a4b6（ab）（ab3）=a3b5（ab3）=

17、a2b2=9=10、小明在做一个多项式除以的题时，由于粗心误以为是乘以，结果是8a4b4a3+2a2，你能知道正确的结果是多少吗？【解析】解：根据题意得：原多项式=（8a4b4a3+2a2）=16a3b8a2+4a，则正确的结果是（16a3b8a2+4a）a=32a2b16a+811、把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C

18、、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？【解析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积三角形BGF的面积三角形ABD的面积求解（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）a+b=10，ab=20，S阴影=a2+b2（a+b）ba2=a2+b2ab=（a+b）2ab=10220=50 课后反击1、下列

19、计算中，正确的是（）A（x1）2=x22x1 B（2a+b）2=2a2+4ab+b2C（3x+2）2=9x2+6x+4 D（mn）2=m2mn+n2【解析】D2、下列四个算式： ； 16a6b4c8a3b2=2a2b2c； 9x8y23x3y=3x5y；（12m3+8m24m）（2m）=6m24m+2其中正确的有（）A0个 B1个 C2个 D3个【解析】 应为4x2y4xy=16xy3，故本选项错误 应为16a6b4c8a3b2=2a3b2c，故本选项错误 9x8y23x3y=3x5y，正确 （12m3+8m24m）（2m）=6m24m+2，正确所以 两个正确，故选C3、计算： （1）（x+3

20、）（x3）（x29） （2）（2x3y）2（4y3x）（4y+3x）（3）（2a+3b）2（2ab）（2a+b） （4）（a2b+3c）2（5）（a8b8）（a4+b4）（a2+b2） （6）（xm+1+xm+xm1）（xm1）【解析】（1）原式= x418x2+81 （2）原式=13x212xy7y2（3）原式=12ab+10b2 （4）原式= a24ab+4b2+6ac12bc+9c2 （5）原式=（ab）（a+b） （6）原式=18x2+10x+24、某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y

21、3+7x2y2）（7x2y）=+5xyy被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？【解析】解：商的第一项=21x4y3（7x2y）=3x2y2被除式的第二项=（7x2y）5xy=35x3y25、x2+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值【解析】解：x2+2（a+4）x+25是完全平方式2（a+4）=25解得a=1或a=9故a的值是1或96、化简求值（1）（x+2y）2（x+y）（xy），其中（2）（3ab）23（2a+b）（2ab）+3a2，其中a=1，b=2【解析】（1）解：（x+2y）2（x+y）（xy）=x2+4xy+4y2x2+y

22、2=4xy+5y2当时原式=4（2）+5（）2=2（2）解：原式=9a26ab+b23（4a2b2）+3a2=9a26ab+b212a2+3b2+3a2=6ab+4b2当a=1，b=2时，原式=6（1）2+422=287、我们可以用几何图形来解释一些代数恒等式，如上图可以用来解释（a+b）2=a2+2ab+b2请构图解释：（1）（ab）2=a22ab+b2；（2）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac【解析】解：（1）边长为（ab）的正方形的面积可以直接由正方形面积公式表示为（ab）2，又可以用边长为a的正方形的面积，减去2个长为a，宽为b的长方形面积，加上边长为b的正方形

23、的面积，结果用含a，b的式子表示为a22ab+b2；（2）已知大正方形的边长为a+b+c，利用图形的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac直击中考 1、【2015 武汉】运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（）Ax2+9 Bx26x+9 Cx2+6x+9 Dx2+3x+9【解析】C2、【2015 枣庄】图（1）是一个长为2a，宽为2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）Aab B（a+b）2 C（ab）2 Da2b2【解析】解：中间部分的四边形是正

24、方形，边长是a+b2b=ab，则面积是（ab）2，故选C3、【2006 宁波】长、宽分别为a，b的矩形硬纸片拼成的一个“带孔”正方形如图所示利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 【解析】解：大正方形的面积小正方形的面积=4个矩形的面积，（a+b）2（ab）2=4abS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 （一）完全平方公式1、完全平方公式： 即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；（3）公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。（4）完全平方公式的变形公式： 名师点拨 1、完全平方公式的几何意义如右图2中，一方面大正方形面积为 ，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有如右图1中，左下角正方形面积为 ，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有 2、完全平方公式的应用。完全平方式：形如或者的叫做完全平方式。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 18