七年级下册数学讲义第01讲-整式的乘除(培优)-教案
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1、 学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:七年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数学学科教师:授课主题 第01讲-整式的乘除授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握幂的有关运算性质(同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘方) 掌握整式的乘除运算法则,会利用其性质进行化简求值。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念 (一)同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法的运算性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,用公式表示为(m,n都是正整数,底数不仅可以表示具体的数,也可以表示单项式与多项式) 2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用:都是正整数)
2、都是正整数)(二)幂的乘方与积的乘方幂的乘方 1、幂的乘方的意义:幂的乘方指的是几个相同的幂相乘,如是3个相乘,读作a的五次幂的三次方,是n个相乘,读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质:都是正整数),就是说,幂的乘方,底数不变,指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数)积的乘方1、积的乘方的意义:积的乘方指底数是乘积形式的乘方,如等 2、积的乘方的运算性质:是正整数),就是说,积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数)(三)平方差与完全平方公式1、平方差公式:,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。公式的推导
3、:。平方差公式的逆用即平方差公式的特点:(1)左边是两个二项式的积,在这两个二项式中,有一项(a)完全相同,另一项(b和-b)互为相反数。(2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去符号相反项的平方)(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式和多项式。2、完全平方公式: 即两个数的和(或差)的平方,等于两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的变形公式: (四)整式的乘法 1、单项式与单项式相乘法则:把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数保持不变,作为积的因式。 2、单项式与多项式相乘法则:根据分配律用单项式乘以多项式
4、的每一项,再把所得的积相加。公式如下: 都是单项式)3、多项式与多项式相乘法则:先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。公式如下:都是单项式)(五)同底数幂的除法 1、同底数幂的除法的运算性质:同底数幂相除,底数不变,指数相减,用公式表示为 (都是正整数)2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用:都是正整数)都是正整数),0的非零次幂都为03、零指数幂与负整数幂 是正整数),此式也可逆用,即为正整数)4、用科学计数法表示小于1的正数 一般地,一个小于1的正数可以表示为的形式,其中1a10,n是负整数,且n的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数(包括小数点前面的零
5、)。(六)整式的除法1、单项式除以单项式法则:把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式法则:先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所有的商相加。典例分析 考点一:同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方例1、若am=2,an=3,则am+n等于()A5 B6 C8 D9 【解析】B例2、若5x=2,5y=,则x,y之间的关系为()Ax,y互为相反数 Bx,y互为倒数Cx=y D无法判断 【解析】A例3、为了求1+2+22+23+22011+22012的值,可令S=1+2+22+23+22011+22012,则
6、2S=2+22+23+24+22012+22013,因此2SS=220131,所以1+22+23+22012=220131仿照以上方法计算1+5+52+53+52012的值是() A520131 B52013+1 C D【解析】令S=1+5+52+53+52012 则5S=5+52+53+52012+52013 5SS=1+52013 4S=520131,则S=故选D例4、已知a=255,b=344,c=433,则a、b、c的大小关系为()Aabc Bacb Cbca Dbac【解析】a=(25)11=3211,b=(34)11=8111,c=(43)11=6411bca故选C例5、(1)已知
7、2a=5,2b=3,求2a+b+3的值(2)已知3x+25x+2=153x4,求(x1)23x(x2)4的值【解析】(1)2a+b+3=2a2b23=538=120(2)3x+25x+2=(15)x+2=153x4x+2=3x4,解得:x=3(x1)23x(x2)4=9例6、计算:(1)(x5)x3n1+x3n(x)4 (2)(3)a4(3a3)2+(4a5)2 (4)(x2)3(x3)23【解析】(1)原式=0 (2)原式= (3)原式=25a10 (4)原式=x36考点二:平方差与完全平方公式例1、可以用平方差公式进行计算的是()A(3a+2b)(3a+3b) B(3a2b)(3a+2b)
8、C(3a+2b)(3a+2b) D(3a2b)(3a+2b)【解析】C例2、(1)已知a+b=2,求代数式a2b2+4b的值(2)对于所有有理数,我们规定=adbc,按上述规定运算,求的值【解析】(1)a+b=2,a2b2+4b=(a+b)(ab)+4b=2(ab)+4b=2a2b+4b=2a+2b=2(a+b)=4(2)=adbc,=(x+y)(xy)(x+y)(xy)=x2y2(x2y2)=0例3、如图所示,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(ab),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的恒等式为()A(ab)2=a22ab+b2 B
9、(a+b)2=a2+2ab+b2Ca2b2=(a+b)(ab) Da2+ab=a(a+b)【解析】正方形中,S阴影=a2b2梯形中,S阴影=(2a+2b)(ab)=(a+b)(ab)故所得恒等式为:a2b2=(a+b)(ab)故选:C例4、在数学中,为了书写简便,18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如记nk=1+2+3+(n1)+n,=(x+3)+(x+4)+(x+n);已知+4x+m,m的值是() A40 B70 C40 D20【解析】x2项的系数是4, n=5, (x+2)(x1)+(x+3)(x2)+(x+4)(x3)+(x+5)(x4) =(x2+x2)+(x2+x6)+(x2+x1
10、2)+(x2+x20) =4x2+4x40, (x+k)(xk+1)=4x2+4x+m, m=40故选C例5、(1)已知(a+b)2=25,(ab)2=9,求ab与a2+b2的值(2)已知 a+b=5,ab=7,求a2+b2,a2ab+b2 的值【解析】(1)(a+b)2=25,(ab)2=9a2+2ab+b2=25 ,a22ab+b2=9 + 得:2a2+2b2=34a2+b2=17 得ab=4(2)a2+b2=(a2+b2)=(a+b)2ab当 a+b=5,ab=7时a2+b2=527=a2ab+b2=(a+b)23ab当 a+b=5,ab=7时,a2ab+b2=5237=4例6、图a是一
11、个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形,然后按图b的形状拼成一个正方形(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少? (2)请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积方法1: (只列式,不化简)方法2: (只列式,不化简)(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等式关系吗?代数式:(m+n)2,(mn)2,mn 【解析】(1)阴影部分的正方形边长是:mn 故答案为:mn;(2)阴影部分的面积就等于边长为mn的小正方形的面积,方法1:边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m,宽为2n的长方形面积,即(mn)2=(m+n)24mn方法2:边长为m+n的大正方形的面
12、积减去长为2m,宽为2n的长方形面积,即(mn)2=(m+n)22m2n(3)由题意可得:(m+n)2=(mn)2+4mn例7、计算:(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) (2)(x+y)(xy)+(2x+y)(2xy)(3)(2x3y53a2b4)(2x3y53a2b4) (4)(a+3)2(a2)(a+2)(5)(2x+3y)2(2x+y)(2xy) (6)(2x+1)24(x1)(x+1)【解析】解:(1)原式=2161 (2)原式=5x22y2 (3)原式=9a4b84x6y10 (4)原式=6a+13 (5)原式= 12xy+10y2 (6)原式=4x+5考点三:同底
13、数幂的除法例1、下列计算正确的是()Aa3+a3=a6 Ba6a3=a2 C(a2)3=a8 Da2a3=a5【解析】D例2、计算20161(2016)0的结果正确的是()A0 B2016 C2016 D【解析】D例3、最薄的金箔的厚度为0.000000091m,0.000000091这个数学科学记数法表示正确的是()A9.1108 B9.1107 C0.91108 D0.91107【解析】A例4、计算(1)()1+(2)220160()2 (2)4.41019109(2.21011)+100(3)30 (4)()224(2016)0【解析】(1)原式=9 (2)原式=21 (3)原式= (4
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