八年级下册数学升学课程初二-第01讲-三角形的证明（培优）-教案

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：八年级(下)课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第01讲-三角形的证明授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质； 掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理； 掌握各种思想的运用。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。（4）等边三角形

2、的三个内角都相等，并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。7、逆命题、逆定

3、理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。10、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。11、三角形三条边的垂直平分线的性质性

4、质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。12、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。13、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。14、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。考点一：等腰三角形例1、如图在等腰ABC中，其中AB=AC，A=40，P是ABC内一点，且1=2，则BPC等于（）A110 B120 C130 D140【解析】A=40，ACB+ABC=18040=140，又ABC=ACB，1=2，PBA=PCB，1

5、+ABP=PCB+2=140=70，BPC=18070=110故选A例2、如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若MKN=44，则P的度数为（）A44 B66 C88 D92【解析】PA=PB，A=B，在AMK和BKN中，AMKBKN，AMK=BKN，MKB=MKN+NKB=A+AMK，A=MKN=44，P=180AB=92，故选：D例3、如图，在ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=5【解析】过A作AFBC于F，AB=AC，BF=CF=BC，AB的垂直平分线交AB于点E，B

6、D=AD=4，设DF=x，BF=4+x，AF2=AB2BF2=AD2DF2，即16x2=36（4+x）2，x=0.5，DF=0.5，CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.52=5，故答案为：5例4、在等腰ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8【解析】BD是等腰ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，可知分为两种情况AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21x=215=16；AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰ABC的三边分别为1

7、4，14，8经验证，这两种情况都是成立的这个三角形的底边长为8或16故答案为：16或8例5、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC求证：ABC是等腰三角形【解析】证明：锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，OEB=ODC=90，EOB=DOC，EBO=DCO，又OB=OC，OBC=OCB，ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形例6、如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAE=CDE 求证：AB=CD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须

8、添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请根据上述分析写出详细的证明过程（只需写一种思路）【解析】证明：方法一：如图1中，作BFDE于点F，CGDE于点GF=CGE=90，在BFE和CGE中，BFECGEBF=CG在ABF和DCG中，ABFDCGAB=CD或方法二：如图2中，作CFAB，交DE的延长线于点FF=BAE又ABE=D，F=DCF=CD在ABE和FCE中，ABEFCEAB=CFAB=CD考点二：直角三角形 例1、如图，在ABC中，ACB=90，CD是AB边上的高，如果A=50，则DCB=（）A50 B45 C40 D25【解析】在ABC中，ACB=90，A=50， B=40，CD

9、是AB边上的高，CDB=90，DCB=50，故选A例2、具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（）AA+B=C BAB=CCA：B：C=1：2：3 DA=B=3C【解析】选：D例3、如图，已知在ABC中，ACB=90，CD为高，且CD，CE三等分ACB（1）求B的度数；（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB【解析】（1）在 ABC中， ACB=90，CD，CE三等分 ACB，ACD=DCE=BCE=30，则BCD=60，又CD为高，B=9060=30（2）证明：由（1）知，B=BCE=30，则CE=BE，AC=ABACB=90，B=30，A=60，又由（1）知，ACD=DCE=30

10、，ACE=A=60，ACE是等边三角形，AC=AE=EC=AB，AE=BE，即点E是AB的中点CE是AB边上的中线，且CE=AB例4、如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MNBD【解析】（1）ABC=ADC=90，M是AC的中点，BM=AC，DM=AC，DM=BM；（2） 由（1）可知DM=BM，N是BD的中点，MNBD考点三：线段的垂直平分线与角平分线例1、如图，ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则BDC的周长是（）A8 B9C10 D11【解析】故选C例2、如图，ABC中，BD平

11、分ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF若A=60，ABD=24，则ACF的度数为（）A48 B36C30 D24【解析】选A例3、如图，在ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知BAC=80，请运用所学知识，确定EAF的度数【解析】在ABC中，BAC=80，B+C=180BAC=100，DE是AB的垂直平分线，EB=EA，BAE=B，同理可得CAF=C，EAF=BAE+CAFBAC=B+CBAC=20例4、如图，在ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2ab，BGAC于G，DEAB于E，DFAC于F（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算D

12、E+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系（不要求证明）【解析】（1）DFAC，BGAC，DFBG，D是BC的中点，DF=BG=连接AD，DEAB，DFAC，DE=DF=DE+DF=DE+DF=BG（2）延长FD，使FM=BG，DFAC，BGAC，四边形BMFG是矩形，BG=MF，EDB+ABD=90，FDC+C=90，ABC=C，EDB=FDC，FDC=BDM，EDB=BD

13、MBED=BMD，BD=BD，EBDMBD，ED=MDBG=DE+DF（3）BG=DEDFP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，则下列结论不一定成立的是（）AAD=BD BBD=CDC1=2 DB=C【解析】选A2、如图，RtABC中，ACB=90，A=55，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB=（）A40 B30 C20 D10【解析】选：C3、下列说法中，正确的是（）A直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2b2=c2C以三个连续自

14、然数为三边长能构成直角三角形DABC中，若A：B：C=1：5：6，则ABC是直角三角形【解析】故选D4、如图，ABC中，ACB=90，沿CD折叠CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若A=25，则BDC等于（）A44 B60 C67 D70【解析】故选D5、如图，ABCE，BF交CE于点D，DE=DF，F=20，则B的度数为40【解析】DE=DF，F=20，E=F=20，CDF=E+F=40，ABCE，B=CDF=40，故答案为：406、如图，在ABC中，已知BAC=90，ADBC，AD与ABC的平分线交于点E，试说明AEF是等腰三角形的理由【解析】BF平分ABC，ABF=DBF，又BAC=

15、90，ADBC，AFE=90ABF，DEB=90DBF，AFE=DEB，又DEB=AEF，AEF=AFE，AEF是等腰三角形7、如图，已知BAC=90，ADBC于点D，1=2，EFBC交AC于点F试说明AE=CF【解析】作EHAB于H，作FGBC于G，1=2，ADBC，EH=ED（角平分线的性质）EFBC，ADBC，FGBC，四边形EFGD是矩形，ED=FG，EH=FG，BAD+CAD=90，C+CAD=90，BAD=C，又AHE=FGC=90，AEHCFG（AAS）AE=CF8、已知：如图ABCE，BE平分ABC，CP平分BCE交BE于点P（1）求证：BCP是直角三角形；（2）若BC=5，S

16、BCP=6，求AB与CE之间的距离【解析】（1）ABCE，ABC+BCE=180，又BE平分ABC，CP平分BCE，EBC+BCP=（ABC+BCE）=90，BCP是直角三角形；（2）过点P作PDBC于点D，PFAB于点F，延长FP交CE于点H又ABCE，PHCE，又BE，CP分别平分ABC，BCE，PD=PF=PH，BC=5，SBCP=6，PD=2.4，FH=4.8，即AB与CE之间的距离是4.89、如图，ABC中，ACB=90，AD平分BAC，DEAB于E求证：直线AD是线段CE的垂直平分线【解析】证明：DEAB， AED=90=ACB，又AD平分BAC，DAE=DAC，AD=AD， AE

17、D ACD，AE=AC，AD平分BAC，ADCE，即直线AD是线段CE的垂直平分线 课后反击1、如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交CB的延长线于点E若E=35，则BAC的度数为（ ）A40 B45 C60 D70【解析】故选：A2、如图，ABC中，点D是边BC上一点，已知AB=AC=BD，AD=CD，则B=（）A30 B36 C45 D50【解析】AB=AC，B=C，CD=DA，C=DAC，BA=BD，BDA=BAD=2C=2B，又B+BAD+BDA=180，5B=180，B=36，故选B3、下列说法中，正确的有（）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形三边分

18、别是1，3的三角形是直角三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形A1个 B2个 C3个 D4个【解析】故选C4、如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，A=35，则D等于（）A50 B65 C55 D70【解析】连DA，如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，DA=DB，DB=DC，即DA=DB=DC，点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，BDC=2BAC=235=70故选D5、如图所示，在ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长是19cm【解析】ABC中，DE是AC

19、的中垂线，AD=CD，AE=CE=AC=3cm，ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 则ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 把代入得ABC的周长=13+6=19cm故答案为：196、如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PEAB于点E若PE=3，则点P到AD的距离为3【解析】作PFAD于D，如图，四边形ABCD为菱形，AC平分BAD，PEAB，PFAD，PF=PE=3，即点P到AD的距离为3故答案为：37、如图，AD平分BAC，BDAD，DEAC，求证：BDE是等腰三角形【解析】证明：AD平分BAC，EAD=CAD，DEAC，CAD=ADE，EAD=ADE，

20、BDADADE+BDE=90，EAD+B=90，BDE=B，BE=DE，BDE是等腰三角形8、已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F求证：BAF=ACF【解析】证明：AD是BAC的平分线，1=2，FE是AD的垂直平分线，FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），FAD=FDA（等边对等角），BAF=FAD+1，ACF=FDA+2，BAF=ACF9、如图，将ABC沿BD对折，使点C落在AB上的点C处，且C=2CBD，已知A=36（1）求BDC的度数；（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）【解析】由折叠的性质可得：CBD=CBD，ABC=2CBD，

21、C=2CBD，C=ABC，ABC中，A=22，C=ABC=72，CBD=36，BDC=180336=72（2）C=ABC=BDC=BDC=BCD=72，AB=AC，BC=BD=BC，ABC，BCD，BCD是等腰三角形，ABC=BDC=BDC=BCD=72，ABD=ADC=A=36，AD=BD，AC=DC，ABD，ADC是等腰三角形所以等腰三角形有ABC，ABD，BCD，BDC，ADC，直击中考例1、如图，在ABC中，ABC=ACB=72，BD、CE分别是ABC和ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形有8个【解析】由题意可得：ABD=DBC=ECB=ACE=A=36，ABC=ACB=C

22、DB=CFD=BFE=BEF=72ABC，ABD，ACE，BEF，CDF，BCF，BCE，BCD均为等腰三角形，题中共有8个等腰三角形故填8例2、如图，已知：AD平分CAE，ADBC（1）求证：ABC是等腰三角形（2）当CAE等于多少度时ABC是等边三角形？证明你的结论【解析】（1）证明：AD平分CAE，EAD=CAD，ADBC，EAD=B，CAD=C，B=C，AB=AC故ABC是等腰三角形（2）当CAE=120时ABC是等边三角形CAE=120，AD平分CAE，EAD=CAD=60，ADBC，EAD=B=60，CAD=C=60，B=C=60，ABC是等边三角形S(Summary-Embedd

23、ed)归纳总结重点回顾1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形的性质和判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。4、斜边、直角边定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。5、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。6、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。7、三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。8、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。9、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。10、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。名师点拨1、掌握分类讨论的思想；2、掌握转化思想；3、掌握方程思想。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15