八年级下册数学升学课程第05讲分式及分式方程(提高)-学案
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1、 2017年 2017年春季初二年级数学教材 A版第05讲 分式与分式方程 温故知新 知识要点一分式概念及性质1.分式的定义:整式除以整式,可以表示成的形式,如果除式中含有字母,那么称为分式,其中称为分式的分子,称为分式的分母,对于任意一个分式,分母都不为零。2.分式有、无意义和分式的值为零的条件分式有意义的条件:分母不等于零,即;分式无意义的条件:分母等于零,即分式的值为零的条件:分子等于零且分母不等于零,即且。3.分式值为正和为负的条件分式的值为正数的条件:分式的分子与分母同号,即或分式的值为负数的条件:分式的分子与分母异号号,即或4.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个
2、不等于的整式,分式的值不变。用式子表示是: (为整式且)5.约分约分的定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分。最简分式的定义: 一个分式的分子与分母已没有公因式,这个分式称为最简分式,化简分式时,通常要把结果化成最简分式或者整式。约分的方法:(1)当分式的分子和分母都是单项式时,先找出分子与分母的最大公因式,然后将分子和分母的最大公因式约去。(2)当分式的分子与分母是多项式时,应先把多项式分解因式,然后约去分子和分母的公因式。3.分式的变号法则:分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个,分式的值不变。 即: 典例分析例1.阅读上面的内容,判
3、断下列各式中哪些是整式?哪些是分式?; ; ; ; ; 。 属于分式; 属于整式。例2.当取何值时,(1)分式的值为正;(2)分式的值为负;(3)分式的值为零。例3.根据分式的基本性质完成下列各式 (1); (2)。例4.化简下列分式: (1) =_ (2) =_ (3)=_ (4) =_ 知识要点二分式乘除加减1.分式的乘法法则分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。即:。分式乘法运算的技巧:(1)两个分式相乘,如果分子分母都是单项式,可以直接利用分式的乘法法则进行计算,计算结果要通过约分化为最简分式或整式。(2)如果分子分母都是多项式,那么先对
4、分子分母进行分解因式,然后运用分式的乘法法则进行计算,计算结果要通过约分化为最简分式或整式。2.分式的除法法则分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。即:。分式除法运算的技巧:(1)两个分式相除,如果分子分母都是单项式,可以直接利用分式的除法法则进行计算,计算结果要通过约分化为最简分式或整式。(2)如果分子分母都是多项式,那么先对分子分母进行分解因式,然后运用分式的除法法则进行计算,计算结果要通过约分化为最简分式或整式。3.同分母分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,即;特别提醒:(1)分子相加减时,如果分子是单项式且符号为“”或分子是多
5、项式,一定要给分式的分子加上括号。(2)分式加减运算的结果,必须化成最简分式或整式4.通分通分的定义:根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分。确定最简公分母的步骤:(1)把多项式的分母能分解因式的要先分解因式;(2)取各分母系数的最小公倍数;(3)凡出现的字母或含有字母的式子为底的幂的因式都要取;(4)相同字母或含有字母的式子的幂的因式取指数最高的。 按上述步骤取的因式的积,即为最简公分母。通分的步骤:(1)确定最简公分母;(2)在确定公分母后,还要确定各分式的分子、分母应乘以的因式,这个因式就是最简公分母除以原分母的商。5.异分母分式的加减法 异分母分式
6、相加减,先通分化为同分母的分式,然后按同分母分式的加减法法则进行计算。6.分式的四则混合运算 分式的加、减、乘、除、乘方混合运算,要先算乘方,再乘除,最后算加减,如果有括号就先算括号里的。 典例分析例1计算:( 1 ) (2)例2.计算:(1); (2)例3.计算(1) (2 ) 例4.通分 (1); (2)。例5.计算: (1); (2)。例6.计算 (1) 知识要点三分式方程及应用一.定义:分母中含有未知数的方程叫分式方程。二解分式方程的步骤:(1)去分母,即在方程两边同时乘以最简公分母,把原方程化为整式方程;(2)解这个整式方程;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母中,使最简公分母不
7、等于的根是原方程的根,否则,便是增根,必须舍去。三增根和无解问题1. 把整式方程的根代入最简公分母中,使最简公分母等于的根是原方程的增根。2. 方程无解问题:一是方程解出来,不存在,二是解出来的是增根。四列方程解应用题的一般步骤:1、 审题:就是弄清题意,弄明白哪些量是已知的,哪些量是未知的,要求的量是什么。2、 设未知数:在题目中一般设欲求的量为x,这种设法叫直接设未知数;有时为了列方程简便,也常常设其他的量为x,这种设法叫间接设未知数法。3、 列方程:根据题目的实际意义找出等量关系,并把这个等量关系用已知数与未知数表示出来,这就是列方程。4、 解方程并求出未知数的值,分式方程一定验根。检验
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