湖北省黄石市富川中学2020年春季期网上训练中考模拟数学试卷（含答案）

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1、 2020年春富川中学网上训练九年级数学试卷一、选择题（共30分）1下列各数：，1.010010001，0，2.626626662（每两个2之间多一个6），0.1，其中有理数的个数是（）A3B4C5D62据统计，截止到2018年9月底，宣城市2018年累计向6500多名建档立卡贫困家庭学生发放资助资金约1179万元，这个数据用科学记数法表示为（）A1.179106B1.179107C1.179108D1.1791093下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A赵爽弦图 B笛卡尔心形线C科克曲线D斐波那契螺旋线4下列各运算中，计算正确的是（）Aa2+2a23a

2、4 Bb10b2b5 C（mn）2m2n2 D（2x2）38x65.将一把直尺与一块三角板如图放置，若1=55，则2为（）A115 B125 C135 D145 第5题图 第7题图第8题图6.将抛物线y=x26x+21向左平移2个单位后，得新抛物线的解析式为（ ）Ay=（x8）2+5By=（x4）2+5Cy=（x8）2+3Dy=（x4）2+37.如图，四边形ABCD内接于O，DA=DC，CBE=50，则DAC的大小为（）A130 B100 C65 D508.如图，在ABC中，,的垂直平分线的延长线于点，则的长为（ ）A. B. C. D. 9如图，在平面直角坐标系中，函数y（k0，x0）的图象

3、与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM2MA，若AB3，那么点N的横坐标为（）ABC4D6 第9题图 第10题图10在ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有xyz，则x：y：z等于（） A3：2：1B4：2：1C5：2：1D5：3：2二 、填空题（共18分）11.函数的自变量的取值范围是 12.分式方程的解为_13.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 14如图，为测量旗杆AB的高度

4、，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30，点C与点B在同一水平线上已知CD9.6m，则旗杆AB的高度为 m15如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90的扇形ABC（A、B、C三点在O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是 米第14题图 第15题图 第16题图16如图，在平面直角坐标系中，函数yx和yx的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，依次进行下去，则点A2020的横坐标为 三、解答题（7+7+7+8+

5、8+8+8+9+10=72分）17.（-1）2020（-）-2+（）0+|12sin60|19、已知方程组的解x,y都是正数，且xy，求m的取值范围。20已知关于x的方程（k+1）x2+（3k1）x+2k2=0（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若一元二次方程（k+1）x2+（3k1）x+2k2=0满足|x1x2|=3，求k的值21如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AFAE（1）求证：BFDE；（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由22为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立

6、卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 （2）图1中，的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，调查他们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率23.某农谷生态园响应国家发展有机

7、农业政策，大力种植有机蔬菜某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：有机蔬菜种类进价（元/kg）售价（元/kg）甲m16乙n18（1）该超市购进甲种蔬菜10kg和乙种蔬菜5kg需要170元；购进甲种蔬菜6kg和乙种蔬菜10kg需要200元求m，n的值；（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg，且不大于70kg实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量x（kg）之间的函数关系式，并

8、写出x的取值范围；（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值24如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，ACPC，COB2PCB（1）求证：PC是O的切线；（2）求证：BCAB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB4，求MNMC的值25、如图，在直角坐标系中有RtAOB， OB=1，tanABO=3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90，得到RtCOD，二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点.（1）

9、 求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2） 过定点Q的直线l：y=kx-k+3与二次函数图象相交于M，N两点.若SPMN=2，求k的值；证明：无论k为何值，PMN恒为直角三角形解析一.选择题1.下列各数：，1.010010001，0，2.626626662（每两个2之间多一个6），0.1，其中有理数的个数是（）A3B4C5D6【考点】12：有理数【专题】511：实数；61：数感【分析】根据有理数分为整数和分数，进而可得答案【解答】解：，1.010010001，0，2.626626662（每两个2之间多一个6），0.1，其中有理数有：，1.010010001，0，0.1，个数是5故选：C2.据统

10、计，截止到2018年9月底，宣城市2018年累计向6500多名建档立卡贫困家庭学生发放资助资金约1179万元，这个数据用科学记数法表示为（）A1.179106B1.179107C1.179108D1.179109【考点】1I：科学记数法表示较大的数【专题】511：实数；66：运算能力【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：1179万11790000，用科学记数法表示为1.179107故选：B3.下面的图形是用

11、数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A赵爽弦图B笛卡尔心形线C科克曲线D斐波那契螺旋线【考点】1O：数学常识；KR：勾股定理的证明；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形【专题】558：平移、旋转与对称【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中

12、心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C4.下列各运算中，计算正确的是（）Aa2+2a23a4Bb10b2b5C（mn）2m2n2D（2x2）38x6【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全平方公式【专题】512：整式【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则及积的乘方法则分别化简得出答案【解答】解：A、a2+2a23a2，故此选项错误；B、b10b2b8，故此选项错误；C、（mn）2m22mn+n2，故此选项错误；D、（2x2）38x6，故此选项正确；故选：D5.将一把直尺与

13、一块三角板如图放置，若155，则2的度数是（）A145B135C120D115【考点】JA：平行线的性质【专题】551：线段、角、相交线与平行线【分析】根据直角三角形的性质可得3的度数，由两直线平行，同位角相等可得4的度数，根据邻补角互补可得2的度数【解答】解：155，335，ABCD，4335，218035145，故选：A6.将抛物线yx26x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）Ay（x8）2+5By（x4）2+5Cy（x8）2+3Dy（x4）2+3【考点】H6：二次函数图象与几何变换【专题】1：常规题型【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案【解答】解：y

14、x26x+21（x212x）+21（x6）236+21（x6）2+3，故y（x6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y（x4）2+3故选：D7.如图，四边形ABCD内接于O，DADC，CBE50，则DAC的大小为（）A130B100C65D50【考点】M6：圆内接四边形的性质【分析】先根据补角的性质求出ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出ADC的度数，由等腰三角形的性质求得DAC的度数【解答】解：CBE50，ABC180CBE18050130，四边形ABCD为O的内接四边形，D180ABC18013050，DADC，DAC65，故选：C8.如图，在RtABC中，ACB90

15、，BC3，AC4，AB的垂直平分线DE的延长线于点E，则DE的长为（）ABCD【考点】KG：线段垂直平分线的性质【专题】552：三角形【分析】设CEx，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AEBEBC+CE，在RtACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度，再在RtBDE中求出DE即可【解答】解：设CEx，连接AEDE是线段AB的垂直平分线，AEBEBC+CE3+x，在RtACE中，AE2AC2+CE2，即（3+x）242+x2，解得x在RtABC中，AB5，BDAD，在RtBDE中，DE，故选：B9.如图，在平面直角坐标系中，函数y（k0，x0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点

16、M，N，且OM2MA，若AB3，那么点N的横坐标为（）ABC4D6【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质【专题】534：反比例函数及其应用；66：运算能力【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值即可【解答】解：过点N、M分别作NCOB，MDOB，垂足为C、D，AOB是等边三角形，ABOAOB3，AOB60又OM2MA，OM2，MA1，在RtMOD中，ODOM1，MD，M（1，）；反比例函数的关系式为：y，设OCa，则BC3

17、a，NC，在RtBCN中，NCBC，（3a），解得：x，x（舍去），点N的横坐标为，故选：B10.在ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有xyz，则x：y：z等于（）A3：2：1B4：2：1C5：2：1D5：3：2【考点】S4：平行线分线段成比例【专题】551：线段、角、相交线与平行线【分析】如图，作MHBC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J首先证明HGMGCF，再利用平行线分线段成比例定理构建方程组即可解决问题【解答】解：如图，作MHBC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于JM

18、HBC，BEEFCF，HGMGCF，y+zx，x+y4z，xz，yz，x：y：z5：3：2，故选：D二.填空题11.函数y的自变量x的取值范围是x且x3【考点】E4：函数自变量的取值范围【专题】33：函数思想【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可【解答】解：根据题意得2x+10，x30，解得x且x3故答案为：x且x312.分式方程1的解为x0.5【考点】B3：解分式方程【专题】52：方程与不等式【分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验【解答】解：方程两边都乘以2（x21）得，8x+25x52x22，解得x11，x20.5，检验：当x0.5时，x1

19、0.510.50，当x1时，x10，所以x0.5是方程的解，故原分式方程的解是x0.5故答案为：x0.513.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是【考点】X6：列表法与树状图法【专题】543：概率及其应用【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可【解答】解：列表如下124812482281644832881632由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为，故答案为：14.如图，

20、为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30，点C与点B在同一水平线上已知CD9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】554：等腰三角形与直角三角形；55E：解直角三角形及其应用【分析】作DEAB于E，则AED90，四边形BCDE是矩形，得出BECD9.6m，CDEDEA90，求出ADC120，证出CAD30ACD，得出ADCD9.6m，在RtADE中，由直角三角形的性质得出AEAD4.8m，即可得出答案【解答】解：作DEAB于E，如图所示：则AED90，四边形BCDE是矩形，BECD9

21、.6m，CDEDEA90，ADC90+30120，ACB60，ACD30，CAD30ACD，ADCD9.6m，在RtADE中，ADE30，AEAD4.8m，ABAE+BE4.8m+9.6m14.4m；故答案为：14.415.如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90的扇形ABC（A、B、C三点在O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是米【考点】MP：圆锥的计算【分析】圆的半径为1，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径圆锥的弧长2【解答】解：作ODAC于点D，连接O

22、A，OAD45，AC2AD，AC2（OAcos45）圆锥的底面圆的半径（2）故答案为：16.如图，在平面直角坐标系中，函数yx和yx的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，依次进行下去，则点A2020的横坐标为31009【考点】D2：规律型：点的坐标；F4：正比例函数的图象；F8：一次函数图象上点的坐标特征【专题】2A：规律型；533：一次函数及其应用；66：运算能力【分析】据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，依此规律即可得出结论【解答】解：由题意可得，A1（1，），A2（1，）

23、，A3（3，），A4（3，3），A5（9，3），A6（9，9），可得A2n的横坐标为（3）n1202021010，点A2020的横坐标为：（3）100931009，故答案为：31009三.解答题17.计算：（1）2010（）2+（）0+|12sin60|【考点】2C：实数的运算【分析】根据有理数的乘方的意义，任何非0数的0次幂等于1，特殊角的三角函数值解答【解答】解：原式14+1+|12|4+1+14+18.先化简，再求值：（+2x），其中x满足x24x+30【考点】6D：分式的化简求值【专题】11：计算题【分析】根据分式的混合运算法则化简，求出x的值后代入计算即可，注意x的取值使得分式有意义

24、【解答】解：（+2x）x满足x24x+30，x3或1（舍弃），x3，原式19.已知方程组的解x、y都是正数，且x的值小于y的值，求m的取值范围【考点】97：二元一次方程组的解；CB：解一元一次不等式组【专题】1：常规题型【分析】将m看做已知数，表示出x与y，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围【解答】解：方程组解得：，根据题意得：且2m1m+8，解得：m920.已知关于x的方程（k+1）x2+（3k1）x+2k20（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k1）x+2k20满足|x1x2|3，

25、求k的值【考点】AA：根的判别式【专题】45：判别式法【分析】（1）分k+10和k+10两种情况考虑：当k+10时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+10时，根的判别式（k3）20，由此可得出方程有实数根综上即可证出结论；（2）由方程有两个实数根，可得出k1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x11和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值；（3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解【解答】解：（1）证明：当k+10，即k1时，原方程为4x40，解得：x1；当k+10，即k1时，（3k1）24（k+1）（2k2）k26k+9（k3）2

26、0，方程有实数根综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根（2）方程有两个整数根，x11，x22+，且k1，x2为整数，k为正整数，k1或k3（3）由（2）得x11，x22+，且k1，|x1x2|1（2+）|1|3，解得：k3或k0，经检验k3或k0是原方程的解故k的值为3或021.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AFAE（1）求证：BFDE；（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LG：正方形的判定与性质【分析】（1）根据正方形的性质判定ADEABF后即可得到BFDE；（2）利

27、用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可【解答】（1）证明：正方形ABCD，ABAD，BAD90，AFAC，EAF90，BAFEAD，在ADE和ABF中ADEABF（SAS），BFDE；（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由：点E运动到AC的中点，ABBC，BEAC，BEAEAC，AFAE，BEAFAE，又BEAC，FAEBEC90，BEAF，BEAF，得平行四边形AFBE，FAE90，AFAE，四边形AFBE是正方形22.为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非

28、常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是60（户）（2）图1中，的度数是54，并把图2条形统计图补充完整（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，调查他们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率【考点】V2：全面调查与抽样调查；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：

29、列表法与树状图法【专题】12：应用题；65：数据分析观念【分析】（1）由B级别户数及其对应百分比可得答案；（2）求出A级对应百分比可得的度数，再求出C级户数即可把图2条形统计图补充完整；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可【解答】解：（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数2135%60（户）故答案为：60（户）（2）图1中，的度数36054； C级户数为：60921921（户），补全条形统计图如图2所示：故答案为：54；（3）估计非常满意的人数约为100001500（户）；（4）由题可列如下树状图：由树状

30、图可以看处，所有可能出现的结果共有20种，选中e的结果有8种P（选中e）23.襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：有机蔬菜种类进价（元/kg）售价（元/kg）甲m16乙n18（1）该超市购进甲种蔬菜10kg和乙种蔬菜5kg需要170元；购进甲种蔬菜6kg和乙种蔬菜10kg需要200元求m，n的值；（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg，且不大于70kg实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg的部分，当天需要打5折才能售完，乙

31、种蔬菜能按售价卖完求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量x（kg）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值【考点】9A：二元一次方程组的应用；CB：解一元一次不等式组；FH：一次函数的应用【专题】521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；533：一次函数及其应用【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；（2）根据题意，利用分类讨论的

32、方法可以求得y与x的函数关系式；（3）根据（2）中的条件，可以求得y的最大值，然后再根据题意，即可得到关于a的不等式，即可求得a的最大值，本题得以解决【解答】解：（1）由题意可得，解得，答：m的值是10，n的值是14；（2）当20x60时，y（1610）x+（1814）（100x）2x+400，当60x70时，y（1610）60+（160.510）（x60）+（1814）（100x）6x+880，由上可得，y；（3）当20x60时，y2x+400，则当x60时，y取得最大值，此时y520，当60x70时，y6x+880，则y660+880520，由上可得，当x60时，y取得最大值，此时y520

33、，在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于20%，解得，a1.8，即a的最大值是1.824.如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，ACPC，COB2PCB（1）求证：PC是O的切线；（2）求证：BCAB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB4，求MNMC的值【考点】M5：圆周角定理；MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质【专题】152：几何综合题【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得PC

34、B+OCB90，即OCCP；故PC是O的切线；（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得ACMBCM，进而可得MBNMCB，故BM2MNMC；代入数据可得MNMCBM28【解答】（1）证明：OAOC，AACO又COB2A，COB2PCB，AACOPCB又AB是O的直径，ACO+OCB90PCB+OCB90即OCCP，OC是O的半径PC是O的切线（2）证明：ACPC，AP，AACOPCBP又COBA+ACO，CBOP+PCB，COBCBO，BCOCBCAB（3）解：连接MA，MB，点M是的中点，ACMBCMACMABM，BCMABMBMNBMC，MBN

35、MCBBM2MNMC又AB是O的直径，AMB90，AMBMAB4，BM2MNMCBM2825.如图，在直角坐标系中有RtAOB，OB1，tanABO3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90，得到RtCOD，二次函数yx2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：ykxk+3与二次函数图象相交于M，N两点若SPMN2，求k的值；证明：无论k为何值，PMN恒为直角三角形【考点】HF：二次函数综合题【专题】533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；558：平移、旋转与对称；55E：解直角三角形及其应用；69：应用意识【分析】（1）

36、求出点A，B，C的坐标分别为（0，3），（1，0），（3，0），即可求解；（2）SPMNPQ（x2x1），则x2x14，即可求解；利用两点距离公式分别求出MN2（x1x2）2+（y1y2）2，MP2（x11）2+（y14）2，NP2（x21）2+（y24）2，由勾股定理的逆定理可得MPN90，即可求解【解答】解：（1）OB1，tanABO3，OA3，OC3，即点A，B，C的坐标分别为（0，3），（1，0），（3，0），则二次函数表达式为：ya（x3）（x+1）a（x22x3），即：3a3，解得：a1，故函数表达式为：yx2+2x+3，点P（1，4）；（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得

37、：x2（2k）xk0，设点M，N的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x22k，x1x2k，则：y1+y2k（x1+x2）2k+66k2，同理：y1y294k2，ykxk+3，当x1时，y3，即点Q（1，3），SPMN2PQ（x2x1），则x2x14，|x2x1|，解得：k2；点M、N的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点P（1，4），MN2（x1x2）2+（y1y2）2，MP2（x11）2+（y14）2，NP2（x21）2+（y24）2，MP2+NP2（x11）2+（y14）2+（x21）2+（y24）2x12+x222（x1+x2）+2+y12+y228（y1+y2）+32x12+x222x1x2+24+y12+y222y1y2+1848+32（x1x2）2+（y1y2）2MP2，MPN90，故PMPN，即：PMN恒为直角三角形