九年级下册数学同步课程讲义第06讲-二次函数的应用(提高)-教案
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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:九年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第06讲-二次函数的应用 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握二次函数最值的计算; 掌握几何图形面积的最值计算; 熟练运用二次函数解决最大利润问题; 理解二次函数与一元二次方程。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念1、用二次函数的性质解决最值计算问题(1)将函数表达式配方成顶点式,进行求解:开口向上时顶点处取得最小值;开口向下时取最大值。(2)当自变量X的取值范围遇到限制时,则需要先判断对称轴是否被包含在取值范围中,再
2、根据二次函数的增减性计算出函数的最大值、最小值。2、用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题,解决此类问题的关键是认真审题,理解题意,建立二次函数的数学模型,再用二次函数的相关知识解决一般方法步骤:(1)列出二次函数的解析式,列解析式时,要根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围(2)在自变量取值范围内,运用公式法或配方法或对称轴判定法,求出二次函数的最大值或最小值3、二次函数与一元二次方程的关系(1)二次函数yax2bxc(a0),当y0时,就变成了ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标
3、(3)当b24ac0时,抛物线与x轴有两个不同的交点;当b24ac0时,抛物线与x轴有一个交点;当b24ac0时,抛物线与x轴没有交点考点一:根据实际问题求二次函数表达式例1、为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示),对应的两条抛物线关于y轴对称,AEx轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm,则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为()Ay=(x+3)2 By=(x3)2Cy=(x+3)2 Dy=(x3)2【解析】B例2、某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件,现需降价处理,且经市场调查:每件服装每降价2元,每
4、天可多卖出1件在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,则y与x的函数关系式为()Ay=x2+10x+1200(0x60)By=x210x+1250(0x60)Cy=x2+10x+1250(0x60)Dy=x2+10x+1250(x60)【解析】A考点二:最值计算问题例1、已知二次函数y=x26x+8(1)将y=x26x+8化成y=a(xh)2+k的形式;(2)当0x4时,y的最小值是1,最大值是8;(3)当y0时,写出x的取值范围【解析】(1)y=x26x+8=(x26x+9)9+8=(x3)21; (2)抛物线y=x26x+8开口向上,对称轴为x=3,当0x4时,
5、x=3,y有最小值1;x=0,y有最大值8;(3)y=0时,x26x+8=0,解得x=2或4,当y0时,x的取值范围是2x4故答案为1,8考点三: 几何图形面积的最值问题例1、某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成,已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;(2)若平行与墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围【解析】(1)根据题意得:(302x)
6、x=72,解得:x=3,x=12,302x18,x=12;(2)设苗圃园的面积为y,y=x(302x)=2x2+30x,a=20,苗圃园的面积y有最大值,当x=时,即平行于墙的一边长158米,y最大=112.5平方米;6x11,当x=11时,y最小=88平方米;(3)由题意得:2x2+30x100,302x18解得:6x10例2、如图,已知抛物线y=ax2+x+c经过A(4,0),B(1,0)两点,(1)求该抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得DCA的面积最大?若存在,求出点D的坐标及DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由【解析】(1)把A(4,0),B(1,
7、0)代入抛物线的解析式得: 则抛物线解析式为y=x2+x2;(2)存在,理由如下:设D的横坐标为t(0t4),则D点的纵坐标为t2+t2,过D作y轴的平行线交AC于E,连接CD,AD,如图所示,由题意可求得直线AC的解析式为y=x2, E点的坐标为(t,t2),DE=t2+t2(t2)=t2+2t,DAC的面积S=(t2+2t)4=t2+4t=(t2)2+4,当t=2时,S最大=4,此时D(2,1),DAC面积的最大值为4考点四:求最大利润问题例1、某宾馆拥有客房100间,经营中发现:每天入住的客房数y(间)与其价格x(元)(180x300)满足一次函数关系,部分对应值如表:x(元)18026
8、0280300y(间)100605040(1)求y与x之间的函数表达式;(2)已知每间入住的客房,宾馆每日需支出各种费用100元;每日空置的客房需支出各种费用60元,当房价为多少元时,宾馆当日利润最大?求出最大值(宾馆当日利润=当日房费收入当日支出)【解析】(1)设一次函数表达式为y=kx+b(k0),依题意得:,解得:y与x之间的函数表达式为y=x+190(180x300)(2)设房价为x元(180x300)时,宾馆当日利润为w元,依题意得:w=(x+190)(x100)60100(x+190)=+210x13600=(x210)2+8450,当x=210时,w取最大值,最大值为8450答:
9、当房价为210元时,宾馆当日利润最大,最大利润为8450元例2、草莓是云南多地盛产的一种水果,今年某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克20元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元,经试销发现,销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图是y与x的函数关系图象(1)求y与x的函数解析式(也称关系式);(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元,求W的最大值【解析】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,根据题意,得:,解得:,y与x的函数解析式为y=2x+340,(20x40)(2)由已知得:W=(x20)(2x+340)=2x2+380x68
10、00=2(x95)2+11250,20,当x95时,W随x的增大而增大,20x40,当x=40时,W最大,最大值为2(4095)2+11250=5200元考点五:二次函数与一元二次方程例1、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a,x2=b(ab),则二次函数y=x2+mx+n中,当y0时,x的取值范围是()Axa Bxb Caxb Dxa或xb【解析】C例2、若二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根,则常数k的取值范围是()A0k4 B3k1Ck3或k1 Dk4【解析】由图象可知,抛物线的对称轴为x
11、=1,顶点坐标为(1,4),设抛物线的解析式为:y=a(x+1)2+4,把(1,0)代入解析式得,a=1,解析式为:y=x22x+3,方程=x22x+3=k有两个不相等的实根,=4+124k0,解得:k4故选:DP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列图形中,阴影部分面积为1的是()ABCD【解析】A2、已知抛物线y=x2x1,与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2m+2014的值为()A2013 B2015 C2014 D2010【解析】B3、二次函数y=mx2+x2m(m是非0常数)的图象与x轴的交点个数为()A0个 B1个 C2个 D1个或2个【解析
12、】二次函数y=mx2+x2m(m是非0常数)的图象与x轴的交点个数即为y=0时方程mx2+x2m=0的解的个数,=1+8m20,故图象与x轴的交点个数为2个故选C4、若关于x的一元二次方程(x2)(x3)=m有实数根x1、x2,且x1x2,则下列结论中错误的是()A当m=0时,x1=2,x2=3 BmC当m0时,2x1x23 D二次函数y=(xx1)(xx2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0)【解析】C5、如图,从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)如果抛物线的最高点M离墙1m,离地面m,则水流落地点B离墙的距离OB是()A2
13、m B3m C4m D5m【解析】B6、如图已知A1,A2,A3,An是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=An1An=1,分别过点A1,A2,A3,An作x轴的垂线交二次函数y=x2(x0)的图象于点P1,P2,P3,Pn,若记OA1P1的面积为S1,过点P1作P1B1A2P2于点B1,记P1B1P2的面积为S2,过点P2作P2B2A3P3于点B2,记P2B2P3的面积为S3,依次进行下去,最后记Pn1Bn1Pn(n1)的面积为Sn,则Sn=()A BC D【解析】二次函数y=x2,由图象知:当x=n时,y=n2, 当x=n1时,y=(n1)2,Sn=1n2(n1)2,=故选
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