九年级下册数学同步课程讲义第02讲-三角函数的应用（培优）-教案

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第02讲-三角函数的应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 在实际问题中熟练建立解三角形模型； 利用三角函数计算模型中的相关长度； 在常见问题中，能熟练做出辅助线构建模型。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念1、相关概念仰角：视线在水平线上方的角叫仰角俯角：视线在水平线下方的角叫俯角坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用表示，则有i_tan 如图所示， ，即坡

2、度是坡角的正切值方向角：平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角 2、利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤： 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形； 寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解考点一：解决坡度、坡角实际问题例1、河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB

3、的长为（）A12米 B4米 C5米 D6米【解析】A例2、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin360.59，cos360.81，tan360.73）（）A8.1米 B17.2米 C19.7米 D25.5米【解析】作BFAE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，斜面AB的坡度i=1：2.4，AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt

4、ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，DE=BF=5米，AF=12米，AE=AF+FE=18米，在RtACE中，CE=AEtan36=180.73=13.14米，CD=CEDE=13.14米5米8.1米；故选：A考点二： 方位角问题例1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A40海里 B40海里 C80海里 D40海里【解析】过点P作PCAB于点C，由题意可得出：A=30，B=45，AP=80海里，故CP=AP=40（海里），则

5、PB=40（海里）例2、如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A20海里 B40海里 C20海里 D40海里【解析】根据题意可知CAD=30，CBD=60，CBD=CAD+ACB，CAD=30=ACB，AB=BC=40海里，在RtCBD中，BDC=90，DBC=60，sinDBC=，sin60=，CD=40sin60=40=20（海里）故选：C考点三：测量高度例1、如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30，看这栋楼底部C处的俯角为60，热气球A处与楼

6、的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A160m B120m C300m D160m【解析】过点A作ADBC于点D，BC=BD+CD=160（m）故选A例2、如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1：2，且O、A、B在同一条直线上求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度（测倾器高度忽略不计，结果保留根号式）【解析】作PEOB于点E，PFCO于点F，在RtAOC中，AO=100，CAO=60，CO=AOtan60=100（米）设PE=x米，tanPAB=，AE=2x在R

7、tPCF中，CPF=45，CF=100x，PF=OA+AE=100+2x，PF=CF，100+2x=100x，解得x=（米）答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）考点四：测量距离和宽度例1、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45，测得B处发生险情渔船的俯角为30，此时渔政船和渔船的距离AB是（ ）A3000m B3000（）m C3000（）m D1500m【解析】如图，由题意可知CEBD，CBA=30，CAD=45，

8、且CD=3000m，在RtACD中，AD=CD=3000m，在RtBCD中，BD=3000m，AB=BDAD=30003000=3000（1）（m），故选C例2、如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30，测得大楼顶端A的仰角为45（点B，C，E在同一水平直线上），已AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：1.414，1.732）【解析】如图，过点D作DFAB于点F，过点C作CHDF于点H则DE=BF=CH=10m，在直角ADF中，AF=80m10m=70m，ADF=45，DF=AF

9、=70m在直角CDE中，DE=10m，DCE=30，CE=10（m），BC=BECE=70107017.3252.7（m）答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7mP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE=20m，坝顶宽CD=10m，则下底AB的长为（）A55m B60m C65m D70m【解析】C2、如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米则放水后水面上升的高

10、度是（）米A1.2 B1.1 C0.8 D2.2【解析】过点E作EMGH于点M，过点F作FNGH于点N，可得四边形EFNM为矩形，则MN=EF，设ME=FN=x，在RtGME中，斜坡AD的坡度为1：1.2，ME：GM=1：1.2，GM=1.2x，在RtNHF中，斜坡BC的坡度为1：0.8，NF：NH=1：0.8，NH=0.8x，则GH=1.2x+0.8x+3.8=6，解得：x=1.1故选B3、如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东

11、45方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）A（1）小时 B（+1）小时C2小时 D小时【解析】连接MC，过M点作MDAC于D在RtADM中，MAD=30，AD=MD，在RtBDM中，MBD=45，BD=MD，BC=2MD，BC：AB=2MD：（1）MD=2：+1故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（+1）小时故选B4、如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为（）Acm2 Bcm2 Ccm2 Dcm2【解析】如图，由题可知ABC是一个顶角为45的等腰三角形，即A=45，AC=AB作CDAB，垂足为D，则CD=1sinA=，=AB，SABC=ABCD=，

12、折叠后重叠部分的面积为cm2故选D5、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30、45，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A200米 B200米C220米 D100（）米【解析】由已知，得A=30，B=45，CD=100，CDAB于点D在RtACD中，CDA=90，tanA=，AD=100在RtBCD中，CDB=90，B=45DB=CD=100米，AB=AD+DB=100+100=100（+1）米故选D6、海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75方向上，航行12海里到达D点，

13、这是测得小岛A在北偏东60方向上若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为（）A5 B6 C6 D8【解析】作ACBD于点CABD=9075=15，ADC=9060=30，BAD=ADCABD=3015=15，ABD=BAD，BD=AD=12（海里），在直角ADC中，AC=AD=12=6（海里）故a的最大值是6海里7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2（1）求加固后坝底增加的宽

14、度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？【解析】（1）分别过点E、D作EGAB、DHAB交AB于G、H，四边形ABCD是梯形，且ABCD，DH平行且等于EG，故四边形EGHD是矩形，ED=GH，在RtADH中，AH=DHtanDAH=8tan45=8（米），在RtFGE中，i=1：2=，FG=2EG=16（米），AF=FG+GHAH=16+28=10（米）；（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED坝长=（2+10）8400=19200（立方米）答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；（2）完成这项工程需要土石19200立方米8、一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在

15、北偏东60方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45方向上（1）请根据以上描述，画出图形（2）已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？【解析】（1）如图所示（2）作CD直线AB于点D，由已知可得CAD=30，CBD=45，AB=100米设CD=x米在RtACD中，tanCAD=，AD=，在RtCBD中，CBD=45，BD=CD=x，ADBD=AB，解得，这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险答：这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险 课后反击1、如图，将一个RtABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩

16、向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A6tan18cm Bcm C6sin18cm D6cos18cm【解析】A 2、如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角CAE=33，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（）ACD=b sin33+a BCD=b cos33+aCCD=b tan33+a DCD=【解析】C3、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为

17、2米，则树的高度为（）A（）米 B12米C（）米 D10米【解析】延长AC交BF延长线于D点，则CEF=30，作CFBD于F，在RtCEF中，CEF=30，CE=4m，CF=2（米），EF=4cos30=2（米），在RtCFD中，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，即CF=2（米），CF：DF=1：2，DF=4（米），BD=BE+EF+FD=8+2+4=12+2（米）在RtABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）米故选A4、如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46方向上

18、，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68=0.9272，sin46=0.7193，sin22=0.3746，sin44=0.6947）（）A22.48 B41.68 C43.16 D55.63【解析】如图，过点P作PAMN于点A，MN=302=60（海里），MNC=90，CPN=46，MNP=MNC+CPN=136，BMP=68，PMN=90BMP=22，MPN=180PMNPNM=22，PMN=MPN，MN=PN=60（海里），CNP=46，PNA=44，PA=PNsinPNA=600.694741.68（海里）.故选：B5、如图，在一笔直

19、的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45的方向，从B测得船C在北偏东22.5的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A4km B（2+）kmC2km D（4）km【解析】在CD上取一点E，使BD=DE，设BD=DE=xBD=DE，EBD=45，由题意可得CAD=45，AD=DC，从B测得船C在北偏东22.5的方向，BCE=CBE=22.5，BE=EC，AB=2km，EC=BE=2km，BD=DE=x，CE=BE=x，2+x=x+x，解得x=DC=（2+）km故选：B6、如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60，沿山坡向上走到P处再测得该建

20、筑物顶点A的仰角为45已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度为（即tanPCD=）（1）求该建筑物的高度（即AB的长）（2）求此人所在位置点P的铅直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）【解析】（1）过点P作PEBD于E，PFAB于F，又ABBC于B，四边形BEPF是矩形，PE=BF，PF=BE在RtABC中，BC=90米，ACB=60，AB=BCtan60=90（米），故建筑物的高度为90米；（2）设PE=x米，则BF=PE=x米，在RtPCE中，tanPCD=，CE=2x，在RtPAF中，APF=45，AF=ABBF=90x，PF=BE=BC+CE=90+2x，又A

21、F=PF，90x=90+2x，解得：x=3030，答：人所在的位置点P的铅直高度为（）米直击中考1、【2015衡阳】如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A50 B51 C50+1 D101【解析】设AG=x，在RtAEG中，tanAEG=，EG=x，在RtACG中，tanACG=，CG=x，xx=100，解得：x=50则AB=50+1（米）故选C 2、【2014深圳】小明去爬山，在山脚看山顶角度为30，小明在坡比为5：12的山坡上走

22、1300米，此时小明看山顶的角度为60，求山高（）A600250米 B600250米C350+350米 D500米【解析】BE：AE=5：12，=13，BE：AE：AB=5：12：13，AB=1300米，AE=1200米，BE=500米，设EC=x米，DBF=60，DF=x米又DAC=30，AC=CD即：1200+x=（500+x），解得x=600250DF=x=600750，CD=DF+CF=600250（米）答：山高CD为（600250）米故选：B3、【2013深圳】如图，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin的值是（）A

23、 B C D【解析】如图，过点A作ADl1于D，过点B作BEl1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，CAD+ACD=90，BCE+ACD=90，CAD=BCE，在等腰直角ABC中，AC=BC，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），CD=BE=1，在RtACD中，AC=，在等腰直角ABC中，AB=AC=，sin=故选：D4、【2016十堰】在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EFMN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30方向，此时，其他同学测得CD=10米请根据这些数据求出河的宽

24、度为（30+10）米（结果保留根号）【解析】如图作BHEF，CKMN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，CKA=90，CAK=45，CAK=ACK=45，AK=CK=x，BK=HC=AKAB=x30，HD=x30+10=x20，在RTBHD中，BHD=30，HBD=30，tan30=，=，解得x=30+10河的宽度为（30+10）米S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 理解坡度的概念，利用坡度解决实际问题2、 熟练掌握相关方位角、观察角的概念，准确构造直角三角形3、 利用三角函数、解三角形知识解决测高、距离和宽度等实际问题名师点拨1、将实际问题中，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；2、寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解是解决问题的关键学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15