九年级下册数学同步课程讲义第06讲-二次函数的应用（培优）-教案

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第06讲-二次函数的应用 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握二次函数最值的计算； 掌握几何图形面积的最值计算； 熟练运用二次函数解决最大利润问题； 理解二次函数与一元二次方程。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念1、用二次函数的性质解决最值计算问题（1）将函数表达式配方成顶点式，进行求解：开口向上时顶点处取得最小值；开口向下时取最大值。（2）当自变量X的取值范围遇到限制时，则需要先判断对称轴是否被包含在取值范围中，再

2、根据二次函数的增减性计算出函数的最大值、最小值。2、用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题，解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决一般方法步骤：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值3、二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数yax2bxc(a0)，当y0时，就变成了ax2bxc0(a0)（2）ax2bxc0(a0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标

3、（3）当b24ac0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点考点一：根据实际问题求二次函数表达式例1、心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（）Ay=（x13）2+59.9 By=0.1x2+2.6x+31Cy=0.1x22.6x+76.8 Dy=0.1x2+2.6x+43【解析】D例2、某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每

4、件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）Ay=x2+10x+1200（0x60） By=x210x+1250（0x60）Cy=x2+10x+1250（0x60） Dy=x2+10x+1250（x60）【解析】A考点二：最值计算问题例1、已知二次函数y=x26x+8（1）将y=x26x+8化成y=a（xh）2+k的形式；（2）当0x4时，y的最小值是1，最大值是8；（3）当y0时，写出x的取值范围【解析】（1）y=x26x+8=（x26x+9）9+

5、8=（x3）21； （2）抛物线y=x26x+8开口向上，对称轴为x=3，当0x4时，x=3，y有最小值1；x=0，y有最大值8；（3）y=0时，x26x+8=0，解得x=2或4，当y0时，x的取值范围是2x4故答案为1，8考点三： 几何图形面积的最值问题例1、某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；（3）当这个苗圃园

6、的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围【解析】（1）根据题意得：（302x）x=72，解得：x=3，x=12，302x18，x=12；（2）设苗圃园的面积为y，y=x（302x）=2x2+30x，a=20，苗圃园的面积y有最大值，当x=时，即平行于墙的一边长158米，y最大=112.5平方米；6x11，当x=11时，y最小=88平方米；（3）由题意得：2x2+30x100，302x18解得：6x10例2、如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得DCA的面积最大？若存在，求出点D

7、的坐标及DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由【解析】（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得： 则抛物线解析式为y=x2+x2；（2）存在，理由如下：设D的横坐标为t（0t4），则D点的纵坐标为t2+t2，过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，由题意可求得直线AC的解析式为y=x2， E点的坐标为（t，t2），DE=t2+t2（t2）=t2+2t，DAC的面积S=（t2+2t）4=t2+4t=（t2）2+4，当t=2时，S最大=4，此时D（2，1），DAC面积的最大值为4考点四：求最大利润问题例1、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间

8、会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：当日所获利润不低于5000元，宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，每个房间刚好住满2人问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？【解析】（1）根据题意，得：y=50x，（0x50，且x为整数）；（2）W=（120+10x20

9、）（50x）=10x2+400x+5000=10（x20）2+9000，a=100 当x=20时，W取得最大值，W最大值=9000元，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；（3）由解得20x40当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少，最少人数为2y=2（x+50）=20（人）例2、某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示（1）图中点P所表示的实际意义是当售价定

10、为35元/件时，销售数量为300件；销售单价每提高1元时，销售量相应减少20件；（2）请直接写出y与x之间的函数表达式y=20x+1000；自变量x的取值范围为30x50；（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？【解析】（1）图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；第一个月的该商品的售价为：20（1+50%）=30（元），销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为：（400300）（3530）=20（件）故答案为：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；20（2）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，将点（30，400）、（3

11、5，300）代入y=kx+b中，得：，y与x之间的函数表达式为y=20x+1000当y=0时，x=50，自变量x的取值范围为30x50故答案为：y=20x+1000；30x50（3）设第二个月的利润为w元，由已知得：w=（x20）y=（x20）（20x+1000）=20x2+1400x20000=20（x35）2+4500，200， 当x=35时，w取最大值，最大值为4500故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元考点五：二次函数与一元二次方程例1、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（ab），则二次函数y=x2+mx+n

12、中，当y0时，x的取值范围是（）Axa Bxb Caxb Dxa或xb【解析】C例2、若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A0k4 B3k1Ck3或k1 Dk4【解析】抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，4），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，把（1，0）代入解析式得，a=1，解析式为：y=x22x+3，方程=x22x+3=k有两个不相等的实根，=4+124k0，解得：k4故选：DP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，

13、在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）Ay= By= Cy= Dy=【解析】A2、已知抛物线y=x2x1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2m+2014的值为（）A2013 B2015 C2014 D2010【解析】B3、二次函数y=mx2+x2m（m是非0常数）的图象与x轴的交点个数为（）A0个 B1个 C2个 D1个或2个【解析】故选C4、若关于x的一元二次方程（x2）（x3）=m有实数根x1、x2，且x1x2，则下列结论中错误的是（ ）A当m=0时，x1=2，x2=3 Bm C当m0时，2x1x23

14、 D二次函数y=（xx1）（xx2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）【解析】C5、如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A2m B3m C4m D5m【解析】B6、如图已知A1，A2，A3，An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=An1An=1，分别过点A1，A2，A3，An作x轴的垂线交二次函数y=x2（x0）的图象于点P1，P2，P3，Pn，若记OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1A2P2于点B1，记P1B1P2的面积

15、为S2，过点P2作P2B2A3P3于点B2，记P2B2P3的面积为S3，依次进行下去，最后记Pn1Bn1Pn（n1）的面积为Sn，则Sn=（）A BC D【解析】二次函数y=x2，由图象知：当x=n时，y=n2， 当x=n1时，y=（n1）2，Sn=1n2（n1）2，=故选A7、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【解析】三块矩形区域

16、的面积相等，矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，AE=2BE，设BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，即8a+2x=80， a=x+10，3a=x+30，y=（x+30）x=x2+30x，a=x+100，x40，则y=x2+30x（0x40）；（2）y=x2+30x=（x20）2+300（0x40），且二次项系数为0，当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米8、2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量

17、就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12x30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？【解析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据题意可知：y=18010（x12）=10x+300（12x30）（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x10）y=10x2+400x3000，令W=840，则10x2+400x3000=840，解得：x1=16，x2=24，答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元（3）

18、W=10x2+400x3000=10（x20）2+1000，a=100，当x=20时，W取最大值，最大值为1000答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元 课后反击1、如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积（）A B C D条件不足，无法求【解析】B2、如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）A B C D【解析】设正方形的边长为m，则m

19、0，AE=x，DH=x，AH=mx，EH2=AE2+AH2，y=x2+（mx）2，y=x2+x22mx+m2，y=2x22mx+m2，=2（xm）2+，=2（xm）2+m2，y与x的函数图象是A故选A3、若函数y=mx2（m3）x4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A0 B1或9 C1或9 D0或1或9【解析】当m=0，则函数y=mx2（m3）x4是一次函数关系，故图象一定x轴有一个交点，当m0，y=mx2（m3）x4的图象与x轴只有一个交点，b24ac=（m3）24m（4）=0，解得：m1=1，m2=，9，综上所述：m=0或1或9故选：D4、如图，点A1、A2、A3、An在抛物线y=x

20、2图象上，点B0、B1、B2、B3、Bn在y轴上（点B0与坐标原点O重合），若A1B0B1、A2B1B2、AnBn1Bn都为等腰直角三角形，则A2011B2010的长为（）A2010 B2011 C D【解析】作A1Cy轴，A2Ey轴，A1Dx轴，A2Fx轴，垂足分别为C、E、DF，A1B0B1、A2B1B2都是等腰直角三角形，B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E，设A1（a，b），a=b，将其代入解析式y=x2得：a=a2，解得：a=0（不符合题意）或a=1，由勾股定理得：A1B0=，同理可以求得：A2B1=2，A3B2=3，A4B3=4，A2011B2010=2011故选D5、为

21、备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球

22、飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【解析】（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（7，3.2），设抛物线解析式为y=a（x7）2+3.2，将点C（0，1.8）代入，得49a+3.2=1.8，解得：a=，排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=（x7）2+；（2）由题意当x=9.5时，y=（9.57）2+3.023.1，故这次她可以拦网成功；（3）设抛物线解析式为y=a（x7）2+h，将点C（0，1.8）代入，得：49a+h=1.8，即a=，此时抛物线解析式为y=（x7）2+h，根据题意，得：，解得：h3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h3.0256

23、、某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）设y=kx+b，把（22，36）与（24，32）代入得

24、：，解得：，则y=2x+80；（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意得：（x20）y=150，则（x20）（2x+80）=150，整理得：x260x+875=0，（x25）（x35）=0，解得：x1=25，x2=35（不合题意舍去）答：每本纪念册的销售单价是25元；（3）由题意可得：w=（x20）（2x+80）=2x2+120x1600=2（x30）2+200，此时当x=30时，w最大，又售价不低于20元且不高于28元，x30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=2（2830）2+200=192（元），答：该纪念册销售单价定为28

25、元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元直击中考1、【2016鄂州】如图，二次函数y=ax2+bx+c=0（a0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：abc0； 9a+3b+c0；c1； 关于x的方程ax2+bx+c=0（a0）有一个根为其中正确的结论个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】由图象开口向下，可知a0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c0，又对称轴方程为x=2，所以0，所以b0，abc0，故正确；由图象可知当x=3时，y0，9a+3b+c0，故错误；由图象可知OA1，OA=OC，OC1，即

26、c1，c1，故正确；假设方程的一个根为x=，把x=代入方程可得+c=0，整理可得acb+1=0，两边同时乘c可得ac2bc+c=0，即方程有一个根为x=c，由可知c=OA，而当x=OA是方程的根，x=c是方程的根，即假设成立，故正确；综上可知正确的结论有三个，故选C2、【2010深圳】儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x（x0）（1）求M型服装的进价；（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值【解析】（1）设

27、进价为z，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%则750.8=（1+0.5）z z=40； 答：M型服装的进价为40元；（2）销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售，M型服装开展促销活动的实际销价为750.8x=60x，销售利润为60x40=20x而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x，促销期间每天销售M型服装所获得的利润：W=（20x）（20+4x）=4x2+60x+400=4+625当x=7.5（元）时，利润W最大值为625元3、【2016安徽】如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）（1）求

28、a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2x6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值【解析】（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接 CD，过C作CEAD，CFx轴，垂足分别为EF，SOAD=ODAD=24=4；SACD=ADCE=4（x2）=2x4；SBCD=BDCF=4（x2+3x）=x2+6x，则S=SOAD+SACD+SBCD=4+2x4x2+6x=x2+8x，S关于x的函数表达式为S=x2+8x（2x6），S=x2+8x=（x4）2+16，当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 二次函数最值的计算2、 几何类二次函数最值的计算3、 应用二次函数解决最大利润问题名师点拨根据实际问题，建立二次函数模型，准确列出函数表达式，并计算出对应的最值是解决本节问题的关键。 学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14