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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:九年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第08讲-垂径定理 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 深刻理解垂径定理及其推论的内容; 熟练掌握垂径定理及其推论的应用条件与结论; 应用垂径定理解决实际问题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识梳理 二、知识概念 垂径定理1、内 容:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆 定 理:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧3、推 论:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 平分弦所对的一条
2、弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件:一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 (1)平分弦所对的弧 (2)平分弦 (不是直径) (3)垂直于弦 (4)经过圆心考点一: 垂径定理及其推论例1、下列说法不正确的是()A圆是轴对称图形,它有无数条对称轴B圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形,且圆的半径是此直角三角形的斜边C弦长相等,则弦所对的弦心距也相等D垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧【解析】C例2、如图,AB是O的直径,CDAB,ABD=60,CD=2,则阴影部
3、分的面积为()A B C2 D4【解析】连接ODCDAB,CE=DE=CD=,故SOCE=SODE,即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积,又ABD=60,CDB=30,COB=60,OC=2,S扇形OBD=,即阴影部分的面积为 故选A例3、如图,在55正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是()A(0,0) B(1,1)C(1,0) D(1,1)【解析】如图线段AB的垂直平分线EQ和线段CD的垂直平分线NF的交点M,即为弧的圆即圆心的坐标是(1,1),故选B例4、如图,AB是O的弦,C是AB的三等分点,连接
4、OC并延长交O于点D若OC=3,CD=2,则圆心O到弦AB的距离是()A6 B9 C D253【解析】如图:过O作OGAB于G,根据垂径定理有:AG=BG,设AC=2a,则CB=4a,CG=a,GB=3a,在RtOCG中,OC2=OG2+CG2=OG2+a2在RtOBG中,OB2=OG2+GB2=OG2+9a2又OC=3,OB=5,代入中,解方程得:a2=2,OG2=7所以圆心到弦的距离是故选C例5、如图,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为M,下列结论不成立的是()ACM=DM B= CACD=ADC DOM=MD【解析】AB是O的直径,弦CDAB,垂足为M,M为CD的中点,即CM=DM,选项
5、A成立;B为的中点,即=,选项B成立;在ACM和ADM中,ACMADM(SAS),ACD=ADC,选项C成立;而OM与MD不一定相等,选项D不成立故选:D考点二: 应用垂径定理解决实际问题例1、李明到某影剧城游玩,看见一圆弧形门如图所示,李明想知道这扇门的相关数据于是她从景点管理人员处打听到:这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=40cm,BD=320cm,且AB,CD与水平地面都是垂直的根据以上数据,请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少?【解析】如图,连接AC,作AC的中垂线交AC于G,交BD于N,交圆的另一点为M则MN为直径取MN的中点O,则O为圆心,连接
6、OA、OCABBD,CDBD,ABCDAB=CDABCD为矩形AC=BD=320cm,GN=AB=CD=40cm AG=GC=160cm,设O的半径为R,得R2=(R40)2+1602,解得R=340cm,3402=680(cm)答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm例2、用工件槽(如图1)可以检测一种铁球的大小是否符合要求,已知工件槽的两个底角均为90,尺寸如图(单位:cm)将形状规则的铁球放入槽内时,若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点,该球的大小就符合要求图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图,求这种铁球的直径【解析】连接OA、OE,设OE与AB交于点P,如图AC=BD
7、,ACCD,BDCD 四边形ACDB是矩形CD=16cm,PE=4cm PA=8cm,BP=8cm,在RtOAP中,由勾股定理得OA2=PA2+OP2 即OA2=82+(OA4)2解得:OA=10答:这种铁球的直径为20cmP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列说法中,不成立的是()A弦的垂直平分线必过圆心 B弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦C垂直于弦的直线经过圆心,且平分这条弦所对的弧D垂直于弦的直径平分这条弦【解析】C2、如图,AB为圆O的直径,BC为圆O的一弦,自O点作BC的垂线,且交BC于D点若AB=16,BC=12,则OBD的面积为何?(
8、)A6 B12 C15 D30【解析】ODBC,BD=CD=BC=12=6,在RtBOD中,OB=AB=8,BD=6,OD=2,SOBD=ODBD=26=6故选A3、如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,A=30,CD=6,则圆的半径长为()A2 B2 C4 D【解析】连接OC,如图所示:则BOC=2A=60,ABCD,CE=DE=CD=3,sinBOC=,OC=2故选:A4、如图,以O为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB的延长线交大圆于点C,若AB=4,BC=1,则下列整数与圆环面积最接近的是()A10 B13 C16 D19【解析】过点O作ODAB,垂足为D,则AD=2,DC=2+1=3
9、,S圆环=(OC2OA2)=(OD2+DC2OD2AD2)=(94)=515.7故选C5、如图,CD为O的直径,弦ABCD于E,CE=2,AE=3,则ACB的面积为()A3 B5 C6 D8【解析】CD为O的直径,弦ABCD,AE=3,AB=2AE=6,ACB的面积为ABCE=62=6,故选C6、如图,圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm,水深GF=1cm,若水面上升1cm(EG=1cm),则此时水面宽AB为多少?【解析】如图所示,连接OA、OC设O的半径是R,则OG=R2,OE=R4OFCD,CG=CD=10cm在直角三角形COG中,根据勾股定理,得R2=102+(R2)2,解,得R
10、=26在直角三角形AOE中,根据勾股定理,得AE=8cm根据垂径定理,得AB=16(cm)7、如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CDAB,且AB=26m,OECD于点E水位正常时测得OE:CD=5:24(1)求CD的长;(2)现汛期来临,水面要以每小时4m的速度上升,则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满?【解析】(1)直径AB=26m,OD=,OECD,OE:CD=5:24,OE:ED=5:12,设OE=5x,ED=12x,在RtODE中(5x)2+(12x)2=132,解得x=1,CD=2DE=2121=24m;(2)由(1)得OE=15=5m,延长OE交
11、圆O于点F,EF=OFOE=135=8m,即经过2小时桥洞会刚刚被灌满8、已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图)(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长【解析】(1)证明:过O作OEAB于点E,则CE=DE,AE=BE,BEDE=AECE,即AC=BD;(2)解:由(1)可知,OEAB且OECD,连接OC,OA,OE=6,CE=2,AE=8,AC=AECE=829、如图,在半径为2的扇形AOB中,AOB=90,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)ODBC,OEAC,垂足分别为D、E(1)
12、当BC=1时,求线段OD的长;(2)在DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;(3)设BD=x,DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域【解析】(1)如图(1),ODBC,BD=BC=,OD=;(2)如图(2),存在,DE是不变的连接AB,则AB=2,D和E分别是线段BC和AC的中点,DE=AB=;(3)如图(3),连接OC,BD=x,OD=,1=2,3=4,2+3=45,过D作DFOEDF=,由(2)已知DE=,在RtDEF中,EF=,OE=OF+EF=+= y=DFOE=(0x) 课后反击1、下列说法正确的是()A长度相等的两
13、条弧是等弧 B平分弦的直径垂直于弦C直径是同一个圆中最长的弦 D过三点能确定一个圆【解析】C2、下列说法正确的是()A平分弦的直径垂直于弦B把(a2)根号外的因式移到根号内后,其结果是C相等的圆心角所对的弧相等D如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等【解析】B3、如图,AB为O的直径,弦CDAB于点E,若AE=8,BE=2,则CD=()A5 B8 C2 D4【解析】B4、如图,在O中,弦ABAC,ODAB于点D,OEAC于点E,若AB=8cm,AC=6cm,则O的半径OA的长为()A7cm B6cm C5cm D4cm【解析】C5、如图,已知AB是O的直径,弦CDAB于E,
14、连接BC,BD,AC,则下列结论中不一定正确的是()AACB=90 BDE=CE COE=BE DACE=ABC【解析】C6、如图,O的直径AB=10,C是AB上一点,矩形ACND交O于M,N两点,若DN=8,则AD的值为()A4 B6 C2 D3【解析】A7、如图所示,有一座拱桥圆弧形,它的跨度AB为60米,拱高PM为18米,当洪水泛滥到跨度只有30米时,就要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PN=4米时,是否采取紧急措施?(=1.414)【解析】设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA、OA,设半径为x米,则OA=OA=OP,由垂径定理可知AM=BM,AN=BN,AB=60米,AM=30米,且
15、OM=OPPM=(x18)米,在RtAOM中,由勾股定理可得AO2=OM2+AM2,即x2=(x18)2+302,解得x=34,ON=OPPN=344=30(米),在RtAON中,由勾股定理可得AN=16(米),AB=32米30米,不需要采取紧急措施8、如图,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点M、N(1)求线段OD的长;(2)若tanC=,求弦MN的长【解析】(1)CDAB,OAB=OCD,OBA=ODC,OABOCD,=,即=,又OA=3,AC=2,OB=3,=,OD=5;(2)过O作OECD,连接OM,则ME=MN,
16、tanC=,即=,设OE=x,则CE=2x,在RtOEC中,OC2=OE2+CE2,即52=x2+(2x)2,解得x=,在RtOME中,OM2=OE2+ME2,即32=()2+ME2,解得ME=2MN=4,答:弦MN的长为4直击中考1、【2016三明】如图,AB是O的弦,半径OCAB于点D,若O的半径为5,AB=8,则CD的长是()A2 B3 C4 D5【解析】A2、【2016黔南州】如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,CDB=30,O的半径为5cm,则圆心O到弦CD的距离为()Acm B3cm C3cm D6cm【解析】A3、【2014济南】如图,O的半径为1,ABC是O的内接等边三角形
17、,点D、E在圆上,四边形BCDE为矩形,这个矩形的面积是()A2 B C D【解析】连结BD、OC,如图,四边形BCDE为矩形,BCD=90,BD为O的直径,BD=2,ABC为等边三角形,A=60,BOC=2A=120,而OB=OC,CBD=30,在RtBCD中,CD=BD=1,BC=CD=,矩形BCDE的面积=BCCD=故选:B4、【2014三明】如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,则下列结论正确的是()AOE=BE B=CBOC是等边三角形 D四边形ODBC是菱形【解析】B5、【2013甘孜州】如图,在半径为5的圆中,AB、CD互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为
18、()A4 B3 C4 D3【解析】作OEAB于E,OFCD于F,连结OB、OD,如图,则AE=BE=AB=4,DF=CF=CD=4,在RtBOE中,OB=5,BE=4,OE=3,同理可得OF=3,ABCD,OFCD,OEAB,四边形OEPF为矩形,OF=PE=3,在RtOPE中,OE=3,PE=3,OP=OE=3故选B6、【2013深圳】如图所示,该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,同时测得EG的长为3米,HF的长为1米,测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离,即MN的长)为2米,求小
19、桥所在圆的半径【解析】小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,8米高旗杆DE的影子为:12m,测得EG的长为3米,HF的长为1米,GH=1231=8(m),GM=MH=4m如图,设小桥的圆心为O,连接OM、OG设小桥所在圆的半径为r,MN=2m,OM=(r2)m在RtOGM中,由勾股定理得:OG2=OM2+42,r2=(r2)2+16,解得:r=5,答:小桥所在圆的半径为5m7、【2012南通】如图,O的半径为17cm,弦ABCD,AB=30cm,CD=16cm,圆心O位于AB,CD的上方,求AB和CD的距离【解析】过点O作弦AB的垂线,垂足为E,延长OE交CD于点F,连接OA,OC,ABCD,OFCD,AB=30cm,CD=16cm,AE=AB=30=15cm,CF=CD=16=8cm,在RtAOE中,OE=8cm,在RtOCF中,OF=15cm,EF=OFOE=158=7cm答:AB和CD的距离为7cmS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾垂径定理及其逆定理内容及应用条件;应用垂径定理解决实际问题。名师点拨 熟练掌握垂径定理、逆定理及其推论的内容及应用条件,多加练习,注意总结,熟悉常作的辅助线,是解决本节问题的关键。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是13
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