九年级下册数学升学课程讲义第01讲-直角三角形的边角关系（培优）-教案

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第01讲-直角三角形的边角关系授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握三角函数的几何意义； 熟练进行三角函数值的相关计算； 熟练利用边角关系进行解三角形； 熟练应用边角关系构造直角三角形解决实际问题； 进一步提高数学建模、实际应用的能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一） 三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在 中，（1） （2） （3） 2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA、cosA

2、、tanA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)（2）sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）（3）sinA、 cosA 、tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 （二）特殊角的三角函数值度 数sincostan 30 45160（三）三角函数之间的关系1、余角关系：在A+B=90时 2、同角关系sin2A+cos2A=1. （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角俯角：视线在水平线下方的角叫俯角（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示坡角：坡面与水平面的夹角

3、叫坡角，用表示，则有i_tan 如图所示， ，即坡度是坡角的正切值（3）方向角：平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角（五）解三角形及其应用1、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系（2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决2、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键：（1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数；（2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角

4、的某一个三角函数；（3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则：尽量直接使用原始数据；计算简便；若能用乘法应避免除法 3、利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤： 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形； 寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解考点一：锐角三角函数例1、已知A为锐角，且tanA=，则A的取值范围是（）A0A30 B30A45C45A60 D60A90【解析】C例2、

5、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=3，tanAPD的值=2【解析】四边形BCED是正方形，DBAC，DBPCAP，=3，连接BE，四边形BCED是正方形，DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BECD，BF=CF，根据题意得：ACBD，ACPBDP，DP：CP=BD：AC=1：3，DP：DF=1：2，DP=PF=CF=BF，在RtPBF中，tanBPF=2，APD=BPF，tanAPD=2，故答案为：3，2例3、计算：sin45+cos230+2sin60【解析】1+考点二： 坡度、坡角实际问题例1、如图，某水渠的横断

6、面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米则放水后水面上升的高度是（）米A1.2 B1.1 C0.8 D2.2【解析】过点E作EMGH于点M，过点F作FNGH于点N，可得四边形EFNM为矩形，则MN=EF，设ME=FN=x，在RtGME中，斜坡AD的坡度为1：1.2，ME：GM=1：1.2，GM=1.2x，在RtNHF中，斜坡BC的坡度为1：0.8，NF：NH=1：0.8，NH=0.8x，则GH=1.2x+0.8x+3.8=6，解得：x=1.1故选B例2、如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为

7、i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高（结果保留根号）【解析】（1）坡度为i=1：2，AC=4m，BC=42=8m（2）作DSBC，垂足为S，且与AB相交于HDGH=BSH，DHG=BHS，GDH=SBH，=，DG=EF=2m，GH=1m，DH=m，BH=BF+FH=3.5+（2.51）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，x2+（2x）2=52，x=mDS=+=2m考点三：解三角形例1、如图，ABC中AB=AC

8、=4，C=72，D是AB中点，点E在AC上，DEAB，则cosA的值为（）A B C D【解析】ABC中，AB=AC=4，C=72，ABC=C=72，A=36，D是AB中点，DEAB，AE=BE，ABE=A=36，EBC=ABCABE=36，BEC=180EBCC=72，BEC=C=72，BE=BC，AE=BE=BC设AE=x，则BE=BC=x，EC=4x在BCE与ABC中，BCEABC，=，即=，解得x=22（负值舍去），AE=2+2在ADE中，ADE=90，cosA=故选C例2、如图，ABC中，ACB=90，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E（1）求线段

9、CD的长；（2）求cosABE的值【解析】（1）在ABC中，ACB=90，sinA=，而BC=8，AB=10，D是AB中点，CD=AB=5；（2）在RtABC中，AB=10，BC=8，AC=6，D是AB中点，BD=5，SBDC=SADC，SBDC=SABC，即CDBE=ACBC，BE=，在RtBDE中，cosDBE=，即cosABE的值为考点四：三角函数综合应用例1、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45，测得B处发生险情渔船的俯

10、角为30，此时渔政船和渔船的距离AB是（）A3000m B3000（）mC3000（）m D1500m【解析】如图，由题意可知CEBD，CBA=30，CAD=45，且CD=3000m，在RtACD中，AD=CD=3000m，在RtBCD中，BD=3000m，AB=BDAD=30003000=3000（1）（m），故选C例2、如图，在坡度i=1：的斜坡AB上立有一电线杆EF，工程师在点A处测得E的仰角为60，沿斜坡前进20米到达B，此时测得点E的仰角为15，现要在斜坡AB上找一点P，在P处安装一根拉绳PE来固定电线杆，以使EF保持竖直，为使拉绳PE最短，则FP的长度约为（）（参考数据：1.414

11、，1.732）A3.7米 B3.9米 C4.2米 D5.7米【解析】作BDAC，如右图所示，斜坡AB的坡度i=1：，tanBAC=，BAC=30，EAC=60，EAF=30，要使点E到AB的距离最短，EPAB于点P，tanEAP=，AP=，EBD=15，BDAC，DBA=BAC=30，EBP=45，EP=PB，AP+PB=AB=20米，+EP=20，解得，EP=1010，又EFBC，B=90BAC=60，EFP=60，tanEFP=，即tan60=，解得，PF4.2米，故选CP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、如图，在RtABC中，BAC=90，ADBC于点D

12、，则下列结论不正确的是（）A BC D【解析】C2、如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）A B C2 D【解析】D3、是锐角，且，则（）A030 B3045 C4560 D6090【解析】B.4、如图，已知AD是等腰ABC底边上的高，且sinB=点E在AC上且AE：EC=2：3则tanADE等于（）A B C D【解析】D5、如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高为（）A（3+）米 B8米 C6米 D5米【解析】D6、如图，热气球从C

13、地垂直上升2km到达A处，观察员在A处观察B地的俯角为30，则B、C两地之间的距离为（）Akm B C2km D2【解析D 7、小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45，大厦底部的仰角为30，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米（1）求出大厦的高度BD；（2）求出小敏家的高度AE【解析】（1）如图，ACBD，BDDE，AEDE，四边形AEDC是矩形，AC=DE=20米，在RtABC中，BAC=45，BC=AC=20米，在RtACD中，tan30=，CD=ACtan30=20=20（米），BD=BC+CD=20+20（米）；大厦的高度BD为：（20+20）米；（2）

14、四边形AEDC是矩形，AE=CD=20米小敏家的高度AE为20米8、2016年10月强台风“海马”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）已知山坡的坡角AEF=23，量得树干的倾斜角为BAC=38，大树被折断部分和坡面所成的角ADC=60，AD=3m（1）求DAC的度数；（2）求这棵大树折断前的高度（结果保留根号）【解析】（1）延长BA交EF于一点G，如图所示， 则DAC=180BACGAE=18038（9023）=75；（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，在RtADH中，ADC=60，AHD

15、=90，DAH=30，AD=3，DH=，AH=，在RtACH中，CAH=CADDAH=7530=45，C=45，CH=AH=，AC=，则树高+（米） 课后反击1、如图，点A为边上任意一点，作ACBC于点C，CDAB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是（）A B C D【解析】D2、如图，在84的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tanACB的值为（）A B C3 D【解析】D3、若090，则下列说法不正确的是（）Asin随的增大而增大 Bcos随的增大而减小Ctan随的增大而增大 Dsin、cos、tan的值都随的增大而增大【解析】D4、如图

16、，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30、45，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A200米 B200米 C220米 D米【解析】D5、某人沿倾斜角为30的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为（）A3米 B3米 C米 D2米【解析】A6、如图，某天小明发现阳光下电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量的CD=8米，BC=20米，斜坡CD的坡度比为1：，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A（14+2）米 B28米 C（7+）米 D9米【解析】如图所示：过D作DE垂直BC的延长线于E，且过D作DFAB于F，在RtDEC中，

17、CD=8，斜坡CD的坡度比为1：，DCE=30，DE=4米，CE=4米，BF=4米，DF=20+4（米），1米杆的影长为2米，=，则AF=（10+2）米，AB=AF+BF=10+2+4=（14+2）米，电线杆的高度（14+2）米故选：A7、如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45，CDAB于点E，E、B、A在一条直线上信号塔CD的高度为（）A20 B208 C2028 D2020【解析】C8、如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为20（1

18、+）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上，则船R到岛P的距离为（）A40海里 B40海里 C40海里 D40海里【解析】A9、计算：（1）+tan60 （2）2cos45sin452sin30tan45+tan60【解析】（1）+； （2）310、观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，过A作 ADBC于D（如图1），则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即同理有：，所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），

19、运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素根据上述材料，完成下列各题（1） 如图2，ABC中，B=45，C=75，BC=60，则A=60；AC=20；（2）如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75的方向上（如图3），求此时货轮距灯塔A的距离AB【解析】（1）A=60，AC=；（2）如图，依题意：BC=600.5=30（海里）CDBE，DCB+CBE=180DCB=30，CBE=150ABE=75ABC=75，A=45，在ABC中，=，即=，解之得：AB=15答：货轮距

20、灯塔的距离AB=15海里直击中考1、【2016金华】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A米2 B米2C（4+）米2 D（4+4tan）米2【解析】D2、【2013深圳】如图，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin的值是（）A B C D【解析】如图，过点A作ADl1于D，过点B作BEl1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，CAD+ACD=90，BCE+ACD=90，CAD=BCE，在等腰直角ABC中，AC=BC

21、，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），CD=BE=1，在RtACD中，AC=，在等腰直角ABC中，AB=AC=，sin=故选：D3、【2016临沂】一般地，当、为任意角时，sin（+）与sin（）的值可以用下面的公式求得：sin（+）=sincos+cossin；sin（）=sincoscossin例如sin90=sin（60+30）=sin60cos30+cos60sin30=+=1类似地，可以求得sin15的值是【解析】sin15=sin（6045）=sin60cos45cos60sin45=故答案为4、【2016深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B

22、处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75，B处的仰角为30已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）【解析】设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，EC=5x，EM=x，CM=2x，EM2+CM2=CE2，CEM是直角三角形，sinECM=S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 三角函数的定义2、 特殊角的三角函数值3、 利用直角三角形边角关系解三角形4、 综合利用解三角形知识，构建直角三角形模型，解决实际问题名师点拨1、 熟练掌握特殊角的三角函数值是提高计算准确度的必要条件2、 明确坡角、仰角、俯角、方向角概念是解决问题的前提3、根据实际情况构建直角三角形模型，并求解实际三角形中的边角大小是解决问题关键学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15