九年级下册数学升学课程讲义第01讲-直角三角形的边角关系（提高）-教案

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第01讲-直角三角形的边角关系授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握三角函数的几何意义； 熟练进行三角函数值的相关计算； 熟练利用边角关系进行解三角形； 熟练应用边角关系构造直角三角形解决实际问题； 进一步提高数学建模、实际应用的能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一） 三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在 中，（1） （2） （3） 2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA、cosA

2、、tanA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)（2）sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）（3）sinA、 cosA 、tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 （二）特殊角的三角函数值度 数sincostan 30 45160（三）三角函数之间的关系1、余角关系：在A+B=90时 2、同角关系sin2A+cos2A=1. （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角俯角：视线在水平线下方的角叫俯角（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示坡角：坡面与水平面的夹角

3、叫坡角，用表示，则有i_tan 如图所示， ，即坡度是坡角的正切值（3）方向角：平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角（五）解三角形及其应用1、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系（2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决2、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键：（1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数；（2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角

4、的某一个三角函数；（3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则：尽量直接使用原始数据；计算简便；若能用乘法应避免除法 3、利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤： 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形； 寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解考点一：锐角三角函数例1、如图，在RtABC中，C=90，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A B C D【解析

5、】C例2、已知A为锐角，且tanA=，则A的取值范围是（）A0A30 B30A45C45A60 D60A90【解析】C例3、计算：sin45+cos230+2sin60【解析】原式=+（）2+2=+=1+考点二： 坡度、坡角实际问题例1、如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米则放水后水面上升的高度是（）米A1.2 B1.1 C0.8 D2.2【解析】过点E作EMGH于点M，过点F作FNGH于点N，可得四边形EFNM为矩形，则MN=EF，设ME=FN=x，在RtGME中，斜

6、坡AD的坡度为1：1.2，ME：GM=1：1.2，GM=1.2x，在RtNHF中，斜坡BC的坡度为1：0.8，NF：NH=1：0.8，NH=0.8x，则GH=1.2x+0.8x+3.8=6，解得：x=1.1故选B例2、如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高（结果保留根号）【解析】（1）坡度为i=1：2，AC=4m，BC=42=8m（2）作DSBC，垂足为S，且与AB相交于HD

7、GH=BSH，DHG=BHS，GDH=SBH，=，DG=EF=2m，GH=1m，DH=m，BH=BF+FH=3.5+（2.51）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，x2+（2x）2=52，x=mDS=+=2m考点三：解三角形例1、如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（）A3 B3.5 C4.8 D5【解析】在RtABC中，cosB=，sinB=，tanB=在RtABD中AD=3，AB=在RtABC中，tanB=，AC=，故选D例2、如图，ABC中，ACB=90，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E（1）求线段CD的长；（2

8、）求cosABE的值【解析】（1）在ABC中，ACB=90，sinA=，而BC=8，AB=10，D是AB中点，CD=AB=5；（2）在RtABC中，AB=10，BC=8，AC=6，D是AB中点，BD=5，SBDC=SADC，SBDC=SABC，即CDBE=ACBC，BE=，在RtBDE中，cosDBE=，即cosABE的值为考点四：三角函数综合应用例1、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45，测得B处发生险情渔船的俯角为30，此时

9、渔政船和渔船的距离AB是（）A3000m B3000（）mC3000（）m D1500m【解析】如图，由题意可知CEBD，CBA=30，CAD=45，且CD=3000m，在RtACD中，AD=CD=3000m，在RtBCD中，BD=3000m，AB=BDAD=30003000=3000（1）（m），故选C例2、如图，小山岗的斜坡AC的坡角=45，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6=0.45，cos26.6=0.89，tan26.6=0.50）（）A164m B178m C200m D1618m【解析】在直角三角形A

10、BC中，=tan=1，BC=AB，在直角三角形ADB中，=tan26.6=0.50，即：BD=2AB，BDBC=CD=200，2ABAB=200，解得：AB=200米，答：小山岗的高度为200米；故选C例3、如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（）A10分钟 B15分钟 C20分钟 D25分钟【解析】作MNAB于点N在直角BMN中，MBN=9030=60，BMN=30，又MAN=9060=30，AMN=60，MAB=AMB，AB=BM，BN=BM

11、，又由A到B航行半小时，即30分钟，由B到N是15分钟故选BP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、如图，点A为边上任意一点，作ACBC于点C，CDAB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是（）A B C D【解析】D2、如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）A B C2 D【解析】D3、是锐角，且，则（）A030 B3045 C4560 D6090【解析】B.4、如图，已知AD是等腰ABC底边上的高，且sinB=点E在AC上且AE：EC=2：3则tanADE等于（）A B C D【解析】D5、斜坡的倾

12、斜角为，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）A500sin米 B米 C500cos米 D米【解析】A6、如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高为（）A（3+）米 B8米 C6米 D5米【解析】D7、如图，热气球从C地垂直上升2km到达A处，观察员在A处观察B地的俯角为30，则B、C两地之间的距离为（）Akm B C2km D2【解析】D8、小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45，大厦底部的仰角为30，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米（1）

13、求出大厦的高度BD；（2）求出小敏家的高度AE【解析】（1）如图，ACBD，BDDE，AEDE，四边形AEDC是矩形，AC=DE=20米，在RtABC中，BAC=45，BC=AC=20米，在RtACD中，tan30=，CD=ACtan30=20=20（米），BD=BC+CD=20+20（米）；大厦的高度BD为：（20+20）米；（2）四边形AEDC是矩形，AE=CD=20米小敏家的高度AE为20米9、2016年10月强台风“海马”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）已知山坡的坡角AEF=23

14、，量得树干的倾斜角为BAC=38，大树被折断部分和坡面所成的角ADC=60，AD=3m（1）求DAC的度数；（2）求这棵大树折断前的高度（结果保留根号）【解析】（1）延长BA交EF于一点G，如图所示， 则DAC=180BACGAE=18038（9023）=75；（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，在RtADH中，ADC=60，AHD=90，DAH=30，AD=3，DH=，AH=，在RtACH中，CAH=CADDAH=7530=45，C=45，CH=AH=，AC=，则树高+（米） 课后反击1、如图，在RtABC中，C=90，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A B

15、C D【解析】C2、如图，在84的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tanACB的值为（）A B C3 D【解析】D3、若090，则下列说法不正确的是（）Asin随的增大而增大 Bcos随的增大而减小Ctan随的增大而增大 Dsin、cos、tan的值都随的增大而增大【解析】D4、如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（）A3 B3.5 C4.8 D5【解析】D5、某人沿倾斜角为30的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为（）A3米 B3米 C米 D2米【解析】A6、如图，某天小明发现阳光下电线杆AB的影子落在土坡的坡面

16、CD和地面BC上，量的CD=8米，BC=20米，斜坡CD的坡度比为1：，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A（14+2）米 B28米 C（7+）米 D9米【解析】如图所示：过D作DE垂直BC的延长线于E，且过D作DFAB于F，在RtDEC中，CD=8，斜坡CD的坡度比为1：，DCE=30，DE=4米，CE=4米，BF=4米，DF=20+4（米），1米杆的影长为2米，=，则AF=（10+2）米，AB=AF+BF=10+2+4=（14+2）米，电线杆的高度（14+2）米故选：A7、如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的

17、仰角为30，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45，CDAB于点E，E、B、A在一条直线上信号塔CD的高度为（）A20 B208 C2028 D2020【解析】C8、如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为20（1+）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上，则船R到岛P的距离为（）A40海里 B40海里 C40海里 D40海里【解析】A9、计算：（1）+tan60 （2）2cos45sin452sin30tan45+tan60【解析】（1）+； （2）310、据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度

18、不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，D=90，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得ABD=31，2秒后到达C点，测得ACD=50（tan310.6，tan501.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离（2）通过计算，判断此轿车是否超速【解析】（1）在RtABD中，AD=24m，B=31，tan31=，即BD=40m，在RtACD中，AD=24m，ACD=50，tan50=，即CD=20m，BC=BDCD=4020=20m，则B，C的距离为20m；（2）根据题意得：202=10m/s15m/s，则此轿车没有超速直击中考1、【2016

19、益阳】小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等小明将PB拉到PB的位置，测得PBC=（BC为水平线），测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A B C D【解析】A2、【2013深圳】如图，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin的值是（）A B C D【解析】如图，过点A作ADl1于D，过点B作BEl1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，CAD+ACD=90，BCE+ACD=90，CAD=BCE，在等腰直角ABC中，AC=BC，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），C

20、D=BE=1，在RtACD中，AC=，在等腰直角ABC中，AB=AC=，sin=故选：D3、【2016深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75，B处的仰角为30已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）【解析】设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，EC=5x，EM=x，CM=2x，EM2+CM2=CE2，CEM是直角三角形，sinECM=S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 三角函数的定义2、 特殊角的三角函数值3、 利用直角三角形边角关系解三角形4、 综合利用解三角形知识，构建直角三角形模型，解决实际问题名师点拨1、 熟练掌握特殊角的三角函数值是提高计算准确度的必要条件2、 明确坡角、仰角、俯角、方向角概念是解决问题的前提3、根据实际情况构建直角三角形模型，并求解实际三角形中的边角大小是解决问题关键学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14