初一数学寒假班讲义第07讲-完全平方公式与整式的除法（提高)-教案

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1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题 第07讲-完全平方公式与整式的除法授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进行计算。 掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念 （一）完全平方公式1、完全平方公式： 即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一

2、个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；（3）公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。（4）完全平方公式的变形公式： 2、完全平方公式的几何意义如右图2中，一方面大正方形面积为 ，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有如右图1中，左下角正方形面积为 ，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有 3、完全平方公式的应用。完全平方式：形如或者的叫做完全平方式。完全平方公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等

3、。会涉及完全平方公式的变形公式。（二）整式的除法 1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。 典例分析 考点一：完全平方公式例1、下列运算正确的是（）Aa2a3=a6 B（x5）2=x7 C（3c）2=9c2 D（a2b）2=a22ab+4b2【解析】C例2、下列计算正确的是（）A（a+2b）（a2b）=a22b2 B（2x+3）2=4x2+9C（a4b）2=a28ab+4b2 D（y5）2=y2+10y+25 【解析】D

4、例3、（1）已知a+b=5，ab=6，求（ab）2的值（2）已知a（a1）（a2b）=5，求（a2+b2）ab的值（3）（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2和a2ab+b2的值【解析】（1）解：a+b=5，ab=6（ab）2=（a+b）24ab=（5）24（6）=49（2）解：a（a1）（a2b）=5a2aa2+b=ba=5（a2+b2）ab=（a2+b22ab）=（ba）2=（5）2=（3）解：a2+b2=（a+b）22ab=322（2）=13a2ab+b2=（a+b）23ab=323（2）=15例4、已知a+b=8，ab=16+c2求下列各式的值（1）（ab+c）2014 （2）a

5、2+b2【解析】（1）a+b=8（a+b）2=64 ab=16+c24ab=64+4c2 =（ab）2=4c2（ab）2+4c2=0c=0，a=b=4（ab+c）2014=0（2）a2+b2=42+42=32例5、计算：（1）2（xy）2（2x+y）（y+2x） （2）x2+4216x2 （3）（x+y）2（xy）2 （4）（4x2y2）（2x+y）2+（2xy）2 （5）（xy）2（x+y）2（x2+y2）2 （6）（2x+y1）2【解析】（1）原式=2x24xy+3y2 （2）原式= （x+2）2（x2）2（3）原式=4xy （4）原式= 32x42y4（5）原式= x82x4y4+y8

6、（6）原式=4x2+4xy4x+y22y+1例6、阅读下列解答过程：已知：x0，且满足x23x=1求：的值解：x23x=1，x23x1=0 ，即 =32+2=11请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a0，且满足（2a+1）（12a）（32a）2+9a2=14a7求：（1）的值（2）的值【解析】解：（1）（2a+1）（12a）（32a）2+9a2=14a714a2（912a+4a2）+9a214a+7=0， 整理得：a22a1=0 （2）解：的倒数为 例7、若x2+mx+k是一个完全平方式，则k等于（）Am2 Bm2 Cm2 Dm2【解析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值x2+

7、mx+k是一个完全平方式k=m2，故选D考点二：完全平方公式的几何意义例1、如图（1），是一个长为2a宽为2b（ab）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（） Aab B（a+b）2 C（ab）2 Da2b2【解析】由题意可得，正方形的边长为（a+b） 故正方形的面积为（a+b）2 原矩形的面积为4ab 中间空的部分的面积=（a+b）24ab=（ab）2 故选C例2、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2你根据图乙能得到的数学公

8、式是（） A（a+b）（ab）=a2b2 B（ab）2=a22ab+b2 Ca（a+b）=a2+ab Da（ab）=a2ab版权所有【解析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积解：大正方形的面积=（ab）2 还可以表示为a22ab+b2 （ab）2=a22ab+b2，故选B例3、我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式例如图（1）可以用来解释（a+b）2（ab）2=4ab那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）Aa2b2=（a+b）（ab）B（ab）2=a22ab+

9、b2C（a+b）2=a2+2ab+b2 D（ab）（a+2b）=a2+ab2b2【解析】根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解空白部分的面积：（ab）2还可以表示为：a22ab+b2此等式是（ab）2=a22ab+b2，故选B例4、如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a1）cm的正方形（a1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）A2 cm2 B2a cm2 C4a cm2 D（a21）cm2【解析】矩形的面积就是边长是（a+1）cm的正方形与边长是（a1）cm的正方形的面积的差，

10、列代数式进行化简即可解：矩形的面积是：（a+1）2（a1）2=4a（cm2），故选：C考点三：整式的除法例1、计算8a3（2a）的结果是（）A4a B4a C4a2 D4a2【解析】故选D例2、计算：（12x38x2+16x）（4x）的结果是（）A3x2+2x4 B3x22x+4 C3x2+2x+4 D3x22x+4【解析】故选A例3、计算：（1）（8a2b4ab2）（4ab） （2）（3a+b）2b2a （3）（6x3y29x2y3）（xy） （4）（2ab）2（8a3b4a2b2）2ab （5）（3a2b3c4）2（a2b4） 【解析】（1）原式=2a+b （2）原式=9a+6b （3）原

11、式= 18x2y+27xy2 （4）原式= b22ab （5）原式= 27a2b2c8 例4、（1）已知（ambn）3（ab2）2=a4b5（a、b均不等于1和 -1），求m、n的值（2）小白在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以，结果得到（3x25xy），则第一个多项式是多少？正确的结果又该是多少？【解析】（1）解：（ambn）3（ab2）2=a3mb3na2b4=a3m2b3n4=a4b53m2=4，3n4=5m=2，n=3（2）解：根据题意得：（3x25xy）=6x10y，即第一个多项式是6x10y，则算式应为（6x10y）=3x2+3xy5xy5y2=3x22xy5y2例

12、5、已知多项式6a2+mabab10b2除以3a2b，得商为2a+5b，求m的值【解析】解：（3a2b）（2a+5b）=6a2+11ab10b2mabab=11abm1=11解得m=12故m的值为12P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列计算正确的是（）A（xy）2=x22xyy2 B（4x+1）2=16x2+8x+1C（2x3）2=4x2+12x9 D（a+2b）2=a2+2ab+4b2【解析】B2、已知x28x+1=0，求x2+2的值【解析】已知等式变形求出x+的值，两边平方求出x2+的值，代入原式计算即可解：由x28x+1=0，得到x+=8两边平方得：

13、（x+）2=x2+2=64，即x2+=62则原式=622=603、已知（2004a）（2002a）=2003，求（2004a）2+（2002a）2的值【解析】因为（2004a）（2002a）=（2003a+1）（2003a1）=（2003a）21=2003即可得：（2003a）2=2004所以（2004a）2+（2002a）2=（2003a+1）2+（2003a1）2=（2003a）2+2（2003a）+1+（2003a）22（2003a）+1=2（2003a）2+2=22004+2=40104、已知（x+y）2=4，（xy）2=10，求x2+y2和xy的值【解析】直接利用完全平方公式计算，进

14、而将x2+y2和xy看作整体求出即可 （x+y）2=4，（xy）2=10 x2+y2+2xy=4，x2+y22xy=10 故2（x2+y2）=14 x2+y2=7，故7+2xy=4， 解得：xy=5、计算：（1）（x+2yz）（x2yz）（x+yz）2 （2）（x+3）（x+4）（x1）2 （3）（2x+3y）2（4x9y）（4x+9y）+（2x3y）2 （4）（3x2y）2（4y3x）（3x+4y）； 【解析】（1）原式=5y22xy+2yz （2）原式=9x+11（3）原式= 8x2+18y2 （4）原式=18x212xy12y26、计算：（1）（12）2106（2105） （2）（3）（

15、9a3b2）3（4a2b3）2（6a4b4） （4）（5）（6）（a4a2）2+（2a）3a2+（a2）4a3【解析】（1）原式=7.21010 （2）原式=xn+2yn （3）原式=1944a9b8（4）原式=an+1b2n2 （5）原式= （6）原式=a47a57、若x（y1）y（x1）=4，求的值【解析】解：x（y1）y（x1）=4 xyxxy+y=4 yx=4 xy=4 = = =88、如图所示，用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a，b的4个直角三角形，恰好能拼成一个新的大正方形，其中a，b，c满足等式c2=a2+b2，由此可验证的乘法公式是（）Aa2+2ab+b2=（a+b）2

16、 Ba22ab+b2=（ab）2C（a+b）（ab）=a2b2 Da2+b2=（a+b）2【解析】根据4个直角三角形的面积+小正方形的面积=新的大正方形的面积，即可解答4个直角三角形的面积为：=2ab小正方形的面积为：c2c2=a2+b2小正方形的面积为：a2+b2新的大正方形的面积为：（a+b）2a2+2ab+b2=（a+b）2，故选：A9、求a=，b=3时，代数式（a2b3）2（ab）（ab3）的值【解析】解：a=，b=3原式=（a2b3）2（ab）（ab3）=a4b6（ab）（ab3）=a3b5（ab3）=a2b2=9=10、小明在做一个多项式除以的题时，由于粗心误以为是乘以，结果是8a

17、4b4a3+2a2，你能知道正确的结果是多少吗？【解析】解：根据题意得：原多项式=（8a4b4a3+2a2）=16a3b8a2+4a，则正确的结果是（16a3b8a2+4a）a=32a2b16a+8 课后反击1、下列各式中与2mnm2n2相等的是（）A（m+n）2 B（m+n）2 C（mn）2 D（mn）2【解析】D2、下列计算中，正确的是（）A（x1）2=x22x1 B（2a+b）2=2a2+4ab+b2C（3x+2）2=9x2+6x+4 D（mn）2=m2mn+n2【解析】D3、已知：（x+y）2=5，（xy）2=3 求3xy1的值【解析】解：（x+y）2=5，（xy）2=3 得：（x+y

18、）2（xy）2=2，即xy= 3xy1=31=4、计算： （1）（x+3）（x3）（x29） （2）（2x3y）2（4y3x）（4y+3x）（3）（2a+3b）2（2ab）（2a+b） （4）（a2b+3c）2（5）（a8b8）（a4+b4）（a2+b2） （6）（xm+1+xm+xm1）（xm1）【解析】（1）原式= x418x2+81 （2）原式=13x212xy7y2（3）原式=12ab+10b2 （4）原式= a24ab+4b2+6ac12bc+9c2 （5）原式=（ab）（a+b） （6）原式=18x2+10x+25、如图，是两块边长分别为a、b的黑色正方形瓷砖和两块白色的长方形瓷砖

19、拼成的无缝图案（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示（3）如果图中的a，b（ab）满足a2+b2=53，ab=14，求：ab【解析】（1）两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或 （a+b）22ab（2）a2+b2或 （a+b）22ab（3）a2+b2=53，ab=14（ab）2=a2+b22ab=25ab=5又ab0ab=56、x2+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值【解析】解：x2+2（a+4）x+25是完全平方式2（a+4）=25解得a=1或a=9故a的值是1或97、化简求值（1）（x+

20、2y）2（x+y）（xy），其中（2）（3ab）23（2a+b）（2ab）+3a2，其中a=1，b=2【解析】（1）解：（x+2y）2（x+y）（xy）=x2+4xy+4y2x2+y2=4xy+5y2当时原式=4（2）+5（）2=2（2）解：原式=9a26ab+b23（4a2b2）+3a2=9a26ab+b212a2+3b2+3a2=6ab+4b2当a=1，b=2时，原式=6（1）2+422=28直击中考 1、【2015 武汉】运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（）Ax2+9 Bx26x+9 Cx2+6x+9 Dx2+3x+9【解析】C2、【2015 枣庄】图（1）是一个长为2a，宽为2b（

21、ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）Aab B（a+b）2 C（ab）2 Da2b2【解析】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b2b=ab，则面积是（ab）2，故选C3、【2006 宁波】长、宽分别为a，b的矩形硬纸片拼成的一个“带孔”正方形如图所示利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 【解析】解：大正方形的面积小正方形的面积=4个矩形的面积，（a+b）2（ab）2=4abS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 （一）完全平方公式1、完全平方公式： 即两个

22、数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；（3）公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。（4）完全平方公式的变形公式： 名师点拨 1、完全平方公式的几何意义如右图2中，一方面大正方形面积为 ，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有如右图1中，左下角正方形面积为 ，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有 2、完全平方公式的应用。完全平方式：形如或者的叫做完全平方式。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 17