初二数学暑假班讲义第05讲-勾股定理-学案
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1、高效提分 源于优学 第05讲 勾股定理 温故知新1、直角三角形:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。2、直角三角形的两个锐角互余。3、三角形的三边关系:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。4、直角三角形中,30角所对的直角边是斜边的一半。 课堂导入(1) 小红用一张边长为3cm的正方形纸片,按对角线折叠重合,你 知道折痕长是多少吗? (2) 如果把折叠成的直角三角形放在如图1所示的格点中(每个小 正方形的边长均为1cm),你 能知道其斜边长是多少吗? (3) 观察图1,完成表格 A的面积 B的面积 C的面积 问题:图1中A、B、C之间有什么关系?从图中你发现了什么?A的面积
2、B的面积C的面积图形知识要点一 勾股定理1、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”。2、勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用 和 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么有 。3、勾股数:我们把满足勾股定理的这样一组数称为够股数。常见的够股数有:3、4 、5; 5、12、13 ; 6、8、10 ; 7、24、25;8、15、 17; 9、12、15;典例分析例1、直角三角形斜边长是5,一直角边的长是3,则此直角三角形的面积为 6 例2、在ABC中,AB=AC=5,BC=6,D为BC中点,则AD的长为( )A3 B4 C5 D6
3、例3、如图,RtABC的周长为,以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN若这两个正方形的面积之和为25 cm2,则ABC的面积是 cm2例4、下列各组数中不是勾股数的是( )A3,4,5 B4,5,6 C5,12,13 D6,8,10例5、下列几组数中,是勾股数的是( )A1, B15,8,17 C13,14,15 D,1举一反三1、如图所示,在RtABC中,AB=8,AC=6,CAB=90,ADBC,那么AD的长为() A1B2C3D4.82、如图,在ABC中,ACB=90,分别以点A和点B为圆心,以相同的长(大于AB)为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交
4、BC于点E若AC=3,AB=5,则DE等于()A2 B C D3、一直角三角形的三边分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面积为()A13 B5 C13或5 D4 4、已知直角三角形的周长是2+,斜边长为 2,则它的面积是()A B1 C D 学霸说1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。数学表达式:在RtABC中,AB=c,AC=b,BC=a,则(即:a2+b2c2)2.要点精析(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形;(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数量关系,已知其中任意两边可以求出第三边(3)勾股定理的变形公式:a2c2 b2,b2= c2 a2;(4)运用勾股定
5、理时,要分清斜边,直角边。(5)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来,即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来,它是数形结合思想的典范。 知识要点二 勾股定理的证明勾股定理的常见证明:做8个全等的三角形,设他们的两条直角边分别为a,b,斜边长为c,在做三个边长为a,b,c的正方形,把他们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等。即a2+b2+4ab=c2+4ab,整理得a2+b2=c2 典例分析例1、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由
6、四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形,如图所示,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积为1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么(a+b)2的值为( )A13 B19 C25 D169例2、由四个全等的直角三角形如图所示的“赵爽弦图”,若直角三角形斜边长为2,一个锐角为30,则图中阴影部分的面积为( )A1 B3 C42 D4+2例3、在直角三角形中,两条直角边的长度分别为a和b,斜边长度为c,则a2+b2=c2即两条直角边的平方和等于斜边的平方,此结论称为勾股定理在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC和ABC,并把它们拼成如图形状 (点C和A重合,且两直角
7、三角形的斜边互相垂直)请利用拼得的图形证明勾股定理 举一反三1、如图,已知两正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是()A12 B13 C144 D1942、如图,以RtABC的三边为边分别作正方形、,已知正方形与正方形的面积分别为25和9,则正方形的面积为()A4 B8 C16 D343、如图,以直角三角形a、b、c为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有()A1 B2 C3 D4知识要点三 勾股定理的逆定理勾股定理逆定理:如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对
8、的角为直角。(数学表达式:ABC中, AB=c,AC=b,BC=a。若a2+b2c2,则三角形ABC是直角三角形, 且)分析:勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边,且a+b=c,则ABC是直角三角形。如果a+bc,则ABC是锐角三角形。如果a+bc,则ABC是钝角三角形。典例分析例1、如图,正方形网格中的ABC,若小方格边长为1,则ABC的形状为( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D以上答案都不对例2、满足下列条件的ABC,不是直角三角形的是( )Ab2=a2c2 Ba:b:c=3:4:5CC=AB DA:B:C=3:4:5例3、甲、乙两艘客轮同时离
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