初三数学寒假班第08讲-一元二次方程的综合应用（提高）-教案

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课主题第08讲-一元二次方程的综合应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 利用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题； 认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力； 熟练应用一元二次方程解决四类典型应用题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建1、 知识框架 2、 知识概念 （一）一元二次方程的根与系数的关系1、如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2= 2、

2、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=p，x1x2=q3、以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2（x1+x2）x+x1x2=0 （二）列一元二次方程解应用题1、步骤列一元二次方程解应用题的步骤可归结为审、设、列、解、验、答。2、几何面积问题（1）解题时注意联系图形中有关的几何定理、面积和体积公式；（2）不容易直接解决的问题可考虑添加辅助线；（3）重视数形结合的思想方法。3、平均增降率问题 对于P=a（1 + x）n （1）a是增长或降低的基础量；（2）x是平均增长或降低率；（3）n是增长或降低的次数；（4）P是增长或降低后的数量；（5）“+”表示增长

3、，“-”表示降低。4、利润问题（1）利润 = 售价-进价（成本）（2）利润率 = 100% = 100%（3）售价 = 进价（1+利润率）（4）总利润 = 单件商品利润销售量 = 销售额 - 总成本 5、行程问题 通常与构造直角三角形，使用勾股定理得到一元二次方程有关。典例分析考点一：一元二次方程的根与系数的关系例1、若m，n是一元二次方程x25x20的两个实数根，则mnmn的值是() A7 B7 C3 D3【解析】B例2、xy6和xy7有相同的解，若求x和y的值，可将x，y看作某方程的两根，则该方程应是()Am26m70 Bm26m70Cm26m70 Dm26m70【解析】C例3、设x1、x

4、2是一元二次方程2x2x30的两根，求下列代数式的值(1)x12x22 (2) (3)x12x223x1x2【解析】x1x2，x1x2， (1)3 (2) (3)例4、已知关于x的方程x2xn0有两个实数根2，m，求m，n的值【解析】由根与系数的关系可得：m(2)1，m1. 又2mn，n2考点二：几何面积问题例1、从一块正方形的木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是()A8 cm2B8 cm2或64 cm2 C64 cm2 D36 cm2【解析】C例2、小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无

5、盖的长方体盒子(如图)如果这个无盖的长方体底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为() A. 2 cm B1 cm C.0.5 cm D0.5 cm或9.5 cm【解析】C例3、如图，ABBC，AB10 cm，BC8 cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程()A2xx24 B(102x)(8x)24C(10x)(82x)24 D(102x)(8x)48【解析】D例4、如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设

6、计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价【解析】（1）设条纹的宽度为x米依题意得 2x5+2x44x2=54，解得：x1=（不符合，舍去），x2=答：配色条纹宽度为米（2）条纹造价：54200=850（元）其余部分造价：（1）45100=1575（元）总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元考点三：平均增降率问题例1、目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系某校去年上半年发给每个经济困难学生38

7、9元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是()A438(1x)2389 B389(1x)2438C389(12x)438 D438(12x)389【解析】B例2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是() A100(1x)281 B100(1x)281 C100(1x%)281 D100x281【解析】B例3、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则()A50(1x2)196 B5050(1x2)196C5050(1x)50(1x)21

8、96 D5050(1x)50(12x)196【解析】C考点四：销售问题例1、某种花卉每盆盈利与每盆株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元要使每盆盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是()A(3x)(40.5x)15 B(x3)(40.5x)15C(x4)(30.5x)15 D(x1)(40.5x)15【解析】A例2、某商场销售一种冰箱，每台进价2500元市场调查研究表明，当售价为2900元时，平均每天能售出8台；当售价每降50元时，平均每天就能多售出4台；商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台售价

9、应降低多少元？【解析】设每台冰箱的定价应为x元，依题意得 （x2500）（8+4）=5000， 解方程得x1=x2=2750 经检验x1=x2=2750符合题意 29002750=150（元）答：每台售价应降低150元例3、为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元【解析】设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元根

10、据题意，得 （x3）（50010）=800， 解得x1=7，x2=5 售价不能超过进价的200%， x3200%即x6x=5答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元考点五：行程问题例1、如图，两艘船同时从A点出发，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，几小时后两船正好相距100海里？【解析】设x小时后两船相距100海里，根据题意，得(15x)2(20x)21002， 解得x14，x24(舍去) 答：4小时后两船相距100海里P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、若x1，x2是方程x22x10的两个根，则x1

11、x22x1x2的值为()A3B0C1D4【解析】B2、对于任意的非零实数m，关于x的方程x24xm20的根的情况是()A有两个正实数根 B有两个负实数根C有一个正实数根，一个负实数根 D没有实数根【解析】C3、关于x的方程ax2（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1x1x2+x2=1a，则a的值是（）A1 B1 C1或1 D2【解析】依题意0，即（3a+1）28a（a+1）0， 即a22a+10，（a1）20，a1，x1x1x2+x2=1a，x1+x2x1x2=1a， =1a，解得：a=1，又a1，a=1故选：B4、有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队

12、之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）Ax（x1）=45 Bx（x+1）=45 Cx（x1）=45 Dx（x+1）=45【解析】A5、从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（）A100cm2 B121cm2 C144cm2 D169cm2【解析】A6、广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a%，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（）A188（1+a%）2=118 B188（1a%）2=118C188（12a%）=118 D188（1a2%）=118【解析】B7、某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、

13、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（）A50（1+x）2=175 B50+50（1+x）2=175C50（1+x）+50（1+x）2=175 D50+50（1+x）+50（1+x）2=175【解析】D8、如图，RtABC中，B90，AB6 cm，BC8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则点P、Q分别从点A，B同时出发，经过 秒钟，使PBQ的面积等于8 cm2.【解析】2或49、某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元若每件降价1元，则每天可多售出10件如果每天盈利1 400元，

14、每件应降价 元【解析】6或1010、某小区2012年屋顶绿化面积为2 000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2 880平方米如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_【解析】20%11、为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)【解析】设小道进出口的宽度为x米，依题意得 (302x)(20x)532.

15、 解得，x11，x234.3430(不合题意，舍去)， x1.答：小道进出口的宽度应为1米.12、小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？【解析】8010800(元)1 200元， 小丽买的服装数大于10件 设她购买了x件这种服装，根据题意，得 x802(x10)1 200. 解得x120，x230. 1 200304050，x230不合题意，舍去 答：她购买了

16、20件这种服装13、一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB=100海里若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由【解析】假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为th，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，由题意得：AC=20t，AE=ABBE=10040t，EC=20，根据勾股定理可得（20t）2+（10040t）2=202，方程无解，进而可

17、得不会受影响 课后反击1、一元二次方程x23x1的两根之和与两根之积分别是()A3，1 B3，1 C3，1 D3，1【解析】B2、若关于x的一元二次方程x2+2（k1）x+k21=0有实数根，则k的取值范围是（） Ak1 Bk1 Ck1 Dk1【解析】D3、已知x1、x2是一元二次方程3x2=62x的两根，则x1x1x2+x2的值是（）A B C D【解析】D4、元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（）Ax（x1）=90 Bx（x1）=290Cx（x1）=90

18、2 Dx（x+1）=90【解析】A5、有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（）A4x2=3600 B100504x2=3600C（100x）（50x）=3600 D（1002x）（502x）=3600【解析】D6、某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A

19、10（1+x）2=36.4 B10+10（1+x）2=36.4C10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4【解析】D7、已知x3是关于x的方程x22xm0的一根，则另一根是_，m_【解析】5，158、如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CDAD，ADBC，ABCD54，且三边的总长为20 m设AB的长为5xm. (1)请求AD的长；(用含字母x的式子表示) (2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长【解析】(1)作BHAD于点H，则AH3x，由BCDH209x， 得AD206x (2)由2(209

20、x)3x9x30得x， 由(209x)(206x)4x50得3x28x50， x1，x21(舍去)，5x. 答：AB的长为米9、关于x的方程2x2(a24)xa10. (1)a为何值时，方程的一根为0?(2)a为何值时，两根互为相反数？【解析】(1)由方程的一根为0可得：0，a1 (2)设方程的两根分别为x1，x2，两根互为相反数，x1x20.0. a2.当a2时，方程2x2(a24)xa10无解 a210、据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，去年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使明年的利用率提高到

21、60%，求每年的增长率(取1.41)【解析】设每年的增长率为x，秸杆总量为a， 则有30%a(1x)260%a， 解得x10.4141%，x22.41(不合题意，舍去) 答：每年的增长率为41%11、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获得2240元的利润，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【解析】(1)设每千克核桃应降价x元，根据题意得 (

22、60x40)(10020)2 240. 化简得x210x240， 解得x14，x26，则每千克核桃应降价4元或6元 (2)要尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价6元， 此时，售价为60654(元)，100%90%，则该店应按原售价的九折出售12、如图，一个农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边AD利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成为了方便进出，在CD边留一个1米宽的小门（1）若矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长；（2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度， 问BC边至少应为多少米？【解析】（1）设BC的长为xm，则AB的长为（25+1

23、x）m依题意得：（25+1x）x=80，化简，得x226x+160=0，解得：x1=10，x2=16（舍去）， （2）依题意得：，解得x12， 所以x最小= 答：略.直击中考1、【2016桂林】若关于x的一元二次方程方程（k1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak5 Bk5，且k1 Ck5，且k1 Dk5【解析】B2、【2014黄冈】若、是一元二次方程x2+2x6=0的两根，则2+2=（） A8 B32 C16 D40【解析】C3、【2013烟台】已知实数a，b分别满足a26a+4=0，b26b+4=0，且ab，则的值是（） A7 B7 C11 D11【解析】A4、

24、【2016恩施州】某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（）A8 B20 C36 D18【解析】B5、6、【2014莱芜】若关于x的方程x2+（k2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=【解析】16、【2016鄂州】关于x的方程（k1）x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根（2）设x1，x2是方程（k1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？ 若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由【解析】（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=1，此时该方程有实根；当k1时，方程是一元二次方程， =（2k）24（k1）

25、2=4k28k+8=4（k1）2+40，无论k为何实数，方程总有实数根.综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根 （2）由根与系数关系可知，x1+x2=，x1x2=，若S=2，则+x1+x2=2，即+x1+x2=2，将x1+x2、x1x2代入整理得：k23k+2=0，解得：k=1（舍）或k=2，S的值能为2，此时k=27、【2014随州】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆根据市场调查，月销售量不会突破30台 (1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x30，且x为正整数)，实际进价

26、为y万元/辆，求y与x的函数关系式； (2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么需售出多少辆汽车？(注：销售利润销售价进价)【解析】(1)由题意，得当0x5时，y30， 当5x30时，y300.1(x5)0.1x30.5， y (2)当0x5时，(3230)51025，不符合题意， 当5x30时，32(0.1x30.5)x25， 解得x125(舍去)，x210. 答：该月需售出10辆汽车.S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、平均增降率问题 对于P=a（1 + x）n （1）a是增长或降低的基础量； （2）x是平均增长或降低率； （3）n是增长或降低的次数； （4）P是增长或降低后的数量； （5）“+”表示增长，“-”表示降低。2、利润问题 （1）利润 = 售价-进价（成本） （2）利润率 = 100% = 100% （3）售价 = 进价（1+利润率） （4）总利润 = 单件商品利润销售量 = 销售额 - 总成本名师点拨 解一元二次方程的应用问题时，先找准等量关系，再根据等量关系列出方程并准确计算出结果是关键。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是14