初三数学暑假班讲义第03讲-因式分解-学案

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1、 高效提分 源于优学 第03讲 因式分解 温故知新一、重点回顾回忆：整式乘法运算法则：1、单项式乘多项式2、多项式乘多项式 课堂导入课题扩展：因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，也是处理数学问题的重要手段和工具，学习因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外，还要熟悉一些特殊的方法和技巧。一、巧拆项在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或某几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。二、巧添项在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可使问题化难为易。三、巧换元在某些多项式的因式分解过程中，

2、通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，从而使问题化繁为简，迅速获解。四、展开巧组合若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。五、巧用主元对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理。知识要点一 因式分解1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。2、因式分解与整式乘法的关系 如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。3、公因式的定义：

3、 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。4、确定公因式的方法： 确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符号取“”；（2）确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；（3）确定公因式的字母及其指数：取多项式各项都含有的相同字母（或因式），其指数取最低次。5、提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 提公因式法的依据是乘法的分配律，它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的“逆用”。6、公式法（1）

4、用平方差公式因式分解： （2）用完全平方公式因式分解： （3）因式分解的一般步骤：步骤： 有公因式先提公因式； 没有公因式，可以尝试公式法因式分解； 如果上述方法都不可以，可以先整理多项式，然后分解； 必须分解到最后。 典例分析一、因式分解的定义例1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A（3x）（3+x）=9x2 Bm2n2=（mn）（m+n）C（y+1）（y3）=（3y）（y+1） D4yz2y2z+z=2y（2zyz）+z例2、若x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么p+q的值等于 学霸说因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；者赤裸裸的残酷的掠

5、夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。 举一反三1、下列各式从左到右的变形为分解因式的是（）Am2m6=（m+2）（m3） B（m+2）（m3）=m2m6Cx2+8x9=（x+3）（x3）+8x Dx2+1=x（x+）2、已知多项式x2+7xy+my25x+43y24可分解成x、y的两个一次因式，则实数m= 3、先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题（1）已知多项式2x3x2+m有一个因式是2x+1，求m的值解法一：设2x3x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），则：2x3x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得，解得，解法二：设2x3x2+m=A（2x+1）（A

6、为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取，2=0，故 （2）已知x4+mx3+nx16有因式（x1）和（x2），求m、n的值二、提公因式法 典例分析例1、计算a2（2a）3a（3a+8a4）的结果是（）A3a2 B3a C3a2 D16a5例2、先化简，再求值：（1）2（a2bab2）3（a2b1）+2ab2+1，其中a=1，b=2（2）2a（a+b）（a+b）2，其中a=3，b=5 举一反三1、把多项式3m（xy）2（yx）2分解因式的结果是（）A（xy）（3m2x2y） B（xy）（3m2x+2y）C（xy）（3m+2x2y） D（yx）（3m+2x2y）【解析】 故选B2、已知a=3+2

7、，b=32，则代数式ab2a2b的值是 3、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2（1+x）1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需用上述方法3次，结果是 （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数）结果是 三、公式法 典例分析例1、把下列各式分解因式（1）； (2）； 例2、分解因式 （1） （2） （3） （4） （5）例3、已知：a=2014x+2015，b=2014x+2016，

8、c=2014x+2017，则a2+b2+c2abacbc的值是（）A0 B1 C2 D3例4、若a4+b4=a22a2b2+b2+6，则a2+b2= 举一反三1、把多项式x2+ax+b分解因式，得（x1）（x+3），则a，b的值分别是（）Aa=2，b=3 Ba=2，b=3Ca=2，b=3 Da=2，b=32、分解因式：（a+b）212（a+b）+36= 3、阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式分

9、析：这个式子的常数项2=12，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+12解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x18= 启发应用（2）利用因式分解法解方程：x26x+8=0；（3）填空：若x2+px8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 课堂闯关 初出茅庐 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A（a+3）（a3）=a29 BCa24a5=a（a4）5 Da2b2=（a+b）（ab）2、下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A（x+2）（x2）=x24 Bx24=（x+2）（x2）Cx24+

10、3x=（x+2）（x2）+3x Dx2+4=（x+2）2 3、将m2（a2）+m（a2）分解因式的结果是（）A（a2）（m2m） Bm（a2）（m1）Cm（a2）（m+1） Dm（2a）（m1）4、多项式2x212xy2+8xy3的公因式是（）A2xy B24x2y3 C2x D以上都不对5、对下列各整式因式分解正确的是（）A2x2x+1=x（2x1）+1 Bx22x1=（x21）2C2x2xyx=2x（xy1） Dx2x6=（x+2）（x3）6、10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；第十名胜x10局，负y10

11、局，若记M=x12+x22+x102，N=y12+y22+y102，则（） AMN BMN CM=N DM、N的大小关系不确定7、由（x2）（x1）=x23x+2，则x23x+2分解因式为 8、 若4a2+kab+9b2可以因式分解为（2a3b）2，则k的值为 9、分解因式：3a312a2b+12ab2= 10、分解因式：2xy2+8xy8x= 优学学霸 1、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为（x+n），得x24x+m=（x+3）（x+n），则x24x+m=x2+（n+3）x+3nn+3=4，m=3n，解

12、得：n=7，m=21另一个因式为（x7），m的值为21问题：（1）若二次三项式x25x+6可分解为（x2）（x+a），则a= ；（2）若二次三项式2x2+bx5可分解为（2x1）（x+5），则b= ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5xk有一个因式是（2x3），求另一个因式以及k的值2、先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值（2）求（2xy）（2x+y）（2y+x）（2yx）的值，其中x=2，y=13、“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成

13、两个因数a1，a2的积，即a=a1a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1c2，并使a1c2+a2c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x22xy8y2解：如图1，其中1=11，8=（4）2，而2=12+1（4）x22xy8y2=（x4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第

14、1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=11，3=（1）3，2=12；而2=13+1（1），1=（1）2+31，3=12+11；x2+2xy3y2+3x+y+2=（xy+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x217xy+12y2= 2x2xy6y2+2x+17y12= x2xy6y2+2x6y= （2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy18y25x+my24可以分解成两个一次因式的积，求m的值 考场直播1、【2016春深圳期末】

15、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为（x+n），得x24x+m=（x+3）（x+n）则x24x+m=x2+（n+3）x+3n解得：n=7，m=21另一个因式为（x7），m的值为21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3xk有一个因式是（2x5），求另一个因式以及k的值2、【2015深圳】因式分解：（1）6xy29x2yy3 （2）（p4）（p+1）+3p套路揭密：（1）掌握因式分解的定义及意义；（2）因式分解中，提公因式及公式法需要熟练的掌握应用。 自我挑战 1、下列各式中，从左到右的变形

16、是因式分解的是（）A2a22a+1=2a（a1）+1 B（x+y）（xy）=x2y2Cx26x+5=（x5）（x1） Dx2+y2=（xy）2+2xy2、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）Am（a+b）=ma+mb Ba2a=2=a（a1）2C4a2+9b2=（2a+3b）（2a+3b） Dx2=（x）（x+）3、多项式5mx3+25mx210mx各项的公因式是（）A5mx2 B5mx3 Cmx D5mx4、多项式18a2b212a3b2c6ab2的公因式是（）A6ab2 B6ab2c Cab2 D6a3b2c5、下列因式分解正确的是（）Am2+n2=（m+n）（mn） Bx2+2x1=

17、（x1）2Ca2a=a（a1） Da2+2a+1=a（a+2）+16、因式分解的结果是（x+yz）（xy+z）的多项式是（）Ax2（y+z）2 B（xy）2z2 C（xy）2+z2Dx2（yz）27、多项式xnyn因式分解的结果是（xy）（x+y）（x2+y2），则n= 8、因式分解：6x3y12xy2+3xy= 9、分解因式：（3ab）（a+b）abb2= 10、把下列各式分解因式：（1）2m（mn）28m2（nm）（2）8a2b+12ab24a3b311、下面是某同学对多项式（x24x+2）（x24x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A提取公因式 B平方差公式C两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解13思考乐优学产品中心 初中组