初三数学暑假班讲义第03讲-因式分解-教案
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1、 高效提分 源于优学 第03讲 因式分解 温故知新一、重点回顾回忆:因式分解的一般方法:1、提公因式法2、公式法3、十字相乘法 课堂导入课题扩展:因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形,也是处理数学问题的重要手段和工具,学习因式分解,除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外,还要熟悉一些特殊的方法和技巧。一、巧拆项在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项(或某几项)适当拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易,迎刃而解。二、巧添项在某些多项式的因式分解过程中,若在所给多项式中加、减相同的项,再用基本方法分解,也可使问题化难为易。三、巧换元在某些多项式的因式分解过程
2、中,通过换元,可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式,从而使问题化繁为简,迅速获解。四、展开巧组合若一个多项式的某些项是积的形式,直接分解比较困难,则可展开重新组合,然后再用基本方法分解。五、巧用主元对于含有两个或两个以上字母的多项式,若无法直接分解,可以其中一个字母为主元进行变形整理。知识要点一 因式分解1、因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解。2、因式分解与整式乘法的关系 如果把整式乘法看成一个变形过程,那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程;如果把多项式的因式分解看成一个变形过程,那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。3、公因式的定
3、义: 我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。4、确定公因式的方法: 确定公因式的一般步骤:(1)如果多项式的第一项系数是负数,应把公因式的符号取“”;(2)确定公因式的数字因数:当各项系数都是整数时,取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数;(3)确定公因式的字母及其指数:取多项式各项都含有的相同字母(或因式),其指数取最低次。5、提公因式法: 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法。 提公因式法的依据是乘法的分配律,它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的“逆用”。6、公式法(
4、1)用平方差公式因式分解: (2)用完全平方公式因式分解: (3)因式分解的一般步骤:步骤: 有公因式先提公因式; 没有公因式,可以尝试公式法因式分解; 如果上述方法都不可以,可以先整理多项式,然后分解; 必须分解到最后。 典例分析一、因式分解的定义例1、下列从左边到右边的变形,是因式分解的是()A(3x)(3+x)=9x2 Bm2n2=(mn)(m+n)C(y+1)(y3)=(3y)(y+1) D4yz2y2z+z=2y(2zyz)+z【解答】选:B例2、若x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式,那么p+q的值等于31【解答】(x4+px2+q)(x2+2x+5)=x22x+p1(122
5、p)x+q5p+5,x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式,余数中122p=0,q5p+5=0,解得:p=6,q=25,p+q=31故答案为:31学霸说因式分解与整式乘法是相反方向的变形,二者是一个式子的不同表现形式;者赤裸裸的残酷的掠夺,激起了当地土著民族顽强的反抗。 举一反三1、下列各式从左到右的变形为分解因式的是()Am2m6=(m+2)(m3) B(m+2)(m3)=m2m6Cx2+8x9=(x+3)(x3)+8x Dx2+1=x(x+)【解答】故选A2、已知多项式x2+7xy+my25x+43y24可分解成x、y的两个一次因式,则实数m=18【解答】设x2+7xy+my25x+4
6、3y24=(x+ay+3)(x+by8),(x+ay+3)(x+by8)=x2+(a+b)xy+aby25x+(8a+3b)y24,x2+7xy+my25x+43y24=x2+(a+b)xy+aby25x+(8a+3b)y24,解得,m=ab=(2)9=18故答案为:183、先阅读第(1)题的解答过程,然后再解第(2)题(1)已知多项式2x3x2+m有一个因式是2x+1,求m的值解法一:设2x3x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),则:2x3x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b比较系数得,解得,解法二:设2x3x2+m=A(2x+1)(A为整式)由于上式为恒等式,为方便计
7、算了取,2=0,故 (2)已知x4+mx3+nx16有因式(x1)和(x2),求m、n的值【解答】设x4+mx3+nx16=A(x1)(x2)(A为整式),取x=1,得1+m+n16=0,取x=2,得16+8m+2n16=0,由、解得m=5,n=20二、提公因式法 典例分析例1、计算a2(2a)3a(3a+8a4)的结果是()A3a2 B3a C3a2 D16a5【解答】故选:C例2、先化简,再求值:(1)2(a2bab2)3(a2b1)+2ab2+1,其中a=1,b=2(2)2a(a+b)(a+b)2,其中a=3,b=5【解答】(1)2(a2bab2)3(a2b1)+2ab2+1=2a2b2
8、ab23a2b+3+2ab2+1=a2b+4当a=1,b=2时,原式=122+4=2;(2)原式=(a+b)(2aab)=(a+b)(ab)=a2b2,当a=3,b=5时,原式=3252=16 举一反三1、把多项式3m(xy)2(yx)2分解因式的结果是()A(xy)(3m2x2y) B(xy)(3m2x+2y)C(xy)(3m+2x2y) D(yx)(3m+2x2y)【解答】 故选B2、已知a=3+2,b=32,则代数式ab2a2b的值是4【解答】原式=ab(ba)=1(4)=4故答案为:43、阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)2(1+x)1+x+
9、x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3,则需用上述方法3次,结果是(x+1)4(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n(n为正整数)结果是(x+1)n+1【解答】(1)上述分解因式:提公因式法,共应用了2次故答案为:提公因式法,2次;(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3=(1+x)1+x+x(1+x)+x(1+x)2=(1+x)(1+x)1+x+x(1+x)=(1+x)2(1+x)(1+x)=(1+x)4,故分解1+x+
10、x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3,则需应用上述方法3次,结果是:(x+1)4(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n(n为正整数)的结果是:(x+1)n+1故答案为:(x+1)n+13、 公式法补充(1) 分组分解法:当被分解的多项式有四项或四项以上时,可以对多项式中的各个单项式适当的分组,然后再利用提公因式法、公式法对其进行分解因式。(2) 十字相乘法 典例分析例1、把下列各式分解因式(1); (2); 【解答】(1);(2)例2、分解因式 (1) (2) 【解答】: (3) (4) (5)【解答】(3);(4);(5)例3、已知:a=2014x+20
11、15,b=2014x+2016,c=2014x+2017,则a2+b2+c2abacbc的值是()A0 B1 C2 D3【解答】故选D例4、若a4+b4=a22a2b2+b2+6,则a2+b2=3【解答】有a4+b4=a22a2b2+b2+6,变形后(a2+b2)2(a2+b2)6=0,(a2+b23)(a2+b2+2)=0,又a2+b20,即a2+b2=3,故答案为3 举一反三1、把多项式x2+ax+b分解因式,得(x1)(x+3),则a,b的值分别是()Aa=2,b=3 Ba=2,b=3Ca=2,b=3 Da=2,b=3【解答】故选:B2、分解因式:(a+b)212(a+b)+36=(a+
12、b6)2【解答】原式=(a+b6)2故答案为:(a+b6)23、阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q);利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式,例如:将式子x2+3x+2分解因式分析:这个式子的常数项2=12,一次项系数3=1+2,所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+12解:x2+3x+2=(x+1)(x+2)请仿照上面的方法,解答下列问题(1)分解因式:x2+7x18=(x2)(x+9)启发应用(2)利用因式分解法解方程:x26x+8=0;(3)填空:若x2+px8
13、可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是7或7或2或2【解答】(1)原式=(x2)(x+9);(2)方程分解得:(x2)(x4)=0,可得x2=0或x4=0,解得:x=2或x=4;(3)8=18;8=81;8=24;8=42,则p的可能值为1+8=7;8+1=7;2+4=2;4+2=2故答案为:(1)(x2)(x+9);(3)7或7或2或2 课堂闯关 初出茅庐 1、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()A(a+3)(a3)=a29 BCa24a5=a(a4)5 Da2b2=(a+b)(ab)【解答】故选:D2、下列由左到右的变形,属于因式分解的是()A(x+2)(x2)=x24
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